苏科版七年级下册9.5 多项式的因式分解学案及答案

第五讲：公式法

一、主要内容     

1、公式法——平方差公式           2、公式法——完全平方公式        

二、基本概念

1、公式法——平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.

（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.

1、下列各式中能用平方差公式分解因式的有________（填序号）．

①；②；③；④；

⑤；⑥．

【答案】②④⑥；

2、分解因式：

（1）；   （2）；  （3）；  （4）．

【答案与解析】

（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

举一反三：【变式1】分解因式：

（1）；（2）．

【答案】解：（1）．

（2）

．

【变式2】下列各式能用平方差公式计算的是（　　）

　 A.（2a+b）（2b﹣a）   B.（﹣x+1）（﹣x﹣1） 

C.（a+b）（a﹣2b）   D.（2x﹣1）（﹣2x+1）

【答案】B．

2、公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.

形如，的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

          （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.

（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.

1、下列各式是完全平方式的是（  ）．

A．  B．  C．  D．

【答案】A；

【总结升华】形如，的式子叫做完全平方式.

举一反三：【变式】若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（　　）

　 A．﹣1 B．7 C．7或﹣1 D． 5或1

【答案】C.

2、分解因式：

（1）；  （2）；  （3）；  （4）．

【答案与解析】（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

举一反三：【变式】分解因式：

（1）；   （2）；

（3）；            （4）．

【答案】（1）

．

（2）．

（3）．

（4）

．

3、分解因式：（1）；（2）；（3）．

【答案与解析】（1）．

（2）．

（3）

．

举一反三：【变式】分解因式：

（1）．（2）．

（3）；（4）；（5）； 

【答案】（1）原式

．

（2）原式

．

（3）原式

（4）原式＝

（5）原式

三、课堂讲解                            

1、分解因式：

（1）；   （2）；  （3）．

【答案与解析】解：（1）．

（2）

．

（3）．

2、将下列各式分解因式：

（1）；     （2）

（3）；               （4）；

【答案】解：（1）原式

（2）原式＝＝

（3）原式

（4）原式

3、分解因式：

 （1）；   （2）；   （3）；    （4）

【答案与解析】

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

4、先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=．

【答案】解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）

=4a×6b=24ab，当a=，即ab=时，原式=24ab=4．

5、阅读下面的计算过程：

（2+1）（22+1）（24+1）

=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）

=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．

根据上式的计算方法，请计算：

（1）

（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．

【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）

=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）

=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；

（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣

=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣

=（364﹣1）﹣=﹣．

6、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．

【答案与解析】 

 解：设大正方形的边长为，则小正方形的边长为(－24)．

    依题可列．

    运用平方差公式：[＋(－24)][ －(－24)]＝960．

    24(2－24)＝960．

    解得＝32．－24＝32－24＝8．

答：它们的边长分别为32厘米，8厘米．

【达标检测】

一.选择题

1. 把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（　　）

A．（x﹣3）2                          B．（x﹣9）2 

C．（x+3）（x﹣3）                  D．（x+9）（x﹣9）

2. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）．

A．  B．  C．  D．

3. 已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（　　）

　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

4．在一个边长为12.75的正方形内挖去一个边长为7.25的正方形，则剩下的面积应当是（     ）

    A．    B．    C．    D．

5. 如果是一个完全平方公式，那么是（    ）

   A.6         B.－6          C.±6             Ｄ.18

6. 下列分解因式结果正确的是（    ）

   A.   B.

   C.      D.

二.填空题

7. 分解因式：a2﹣4b2=　         　．

8.  因式分解:＝____________.

9. 分解因式：___________，______________.

10.将4x2+1再加上一项，使它成为（a+b）2的形式（这里a、b指代的是整式或分式），则可以添加的项是　                    　．

11. 若多项式能用平方差公式分解因式，那么单项式M＝________.（写出一个即可）

12. （1）（2）.

三. 解答题

13.已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值．

14. 已知，. (1)求的值; (2)求和的值.

15. 新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？

【答案与解析】

一.选择题

1. B；2. B；3. D；4. C；5. C；6. D；

二.填空题

7. （a+2b）（a﹣2b）.8. －198000；5200；9. ；

10.-7；11.；12.－2009；

三.解答题

13.（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

14.解：

    ∴

解方程组，解得.

15.

解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，

根据题意得，（x+3）2﹣x2=63，由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63，

解得，x=9；∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；

答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．