2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求）

1．（3分）下列事件是必然事件的是　　

A．打开电视机，正在播放篮球比赛 

B．守株待兔 

C．明天是晴天 

D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球

2．（3分）一元二次方程的一次项系数和常数项依次是　　

A．和1 B．1和1 C．2和1 D．0和1

3．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

4．（3分）方程的根是　　

A． B． C．， D．，

5．（3分）如图，是的外接圆，已知，则的大小为　　

A． B． C． D．

6．（3分）在中，，，，将绕边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是　　

A． B． C． D．

7．（3分）如图，抛物线和直线．当时，的取值范围是　　

A． B． 或 C． 或 D．

8．（3分）已知点、点关于原点对称，则的值为　　

A．1 B．3 C． D．

9．（3分）王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为　　

A． B． C． D．

10．（3分），是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立？则正确的结论是　　

A．时成立 B．时成立 C．或2时成立 D．不存在

11．（3分）若函数，则当函数值时，自变量的值是　　

A． B．4 C．或4 D．4或

12．（3分）如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④△；⑤，其中正确的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案直接填写在题中横线上）

13．（3分）小明制作了十张卡片，上面分别标有这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是　　．

14．（3分）同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是　 　．

15．（3分）中，，分别是，的中点，连接，则　　．

16．（3分）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个小孔的直径是　 　．

17．（3分）将抛物线向上平移一个单位后，又沿轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是　 　．

18．（3分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为　　．

三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤）

19．（1）解方程：．

（2）已知：关于的方程

①求证：方程有两个不相等的实数根；

②若方程的一个根是，求另一个根及值．

20．（1）解方程：；

（2）图①②均为的正方形网格，点，，在格点上．

（a）在图①中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）．

（b）在图②中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）

21．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．

22．用一段长为的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18米

（1）若围成的面积为72米，求矩形的长与宽；

（2）菜园的面积能否为120米，为什么？

23．如图，的直径为，弦为，，分别是的平分线与，直径的交点，为延长线上一点，且．

（1）求、的长；

（2）试判断直线与的位置关系，并说明理由．

24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线且经过，两点，与轴的另一交点为点．

（1）求抛物线解析式．

（2）抛物线上是否存在点，过点作垂直轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求）

1．（3分）下列事件是必然事件的是　　

A．打开电视机，正在播放篮球比赛 

B．守株待兔 

C．明天是晴天 

D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球

【解答】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，不正确；

守株待兔是随机事件，不正确；

明天是晴天是随机事件，不正确；

在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件；

故选：．

2．（3分）一元二次方程的一次项系数和常数项依次是　　

A．和1 B．1和1 C．2和1 D．0和1

【解答】解：一元二次方程的一次项系数和常数项依次是和1．

故选：．

3．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形；

、是轴对称图形，也是中心对称图形；

、是轴对称图形，不是中心对称图形；

、不是轴对称图形，是中心对称图形．

故选：．

4．（3分）方程的根是　　

A． B． C．， D．，

【解答】解：方程变形为：，

，

或，

，．

故选：．

5．（3分）如图，是的外接圆，已知，则的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

6．（3分）在中，，，，将绕边所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：中，，，，

，

母线长，半径为5，

圆锥的侧面积是．

故选：．

7．（3分）如图，抛物线和直线．当时，的取值范围是　　

A． B． 或 C． 或 D．

【解答】解：，解得，，

所以抛物线与一次函数的交点的横坐标为0和2，

所以当或时，．

故选：．

8．（3分）已知点、点关于原点对称，则的值为　　

A．1 B．3 C． D．

【解答】解：点、点关于原点对称，

，，

，

故选：．

9．（3分）王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设定期一年的利率是，

根据题意得：一年时：，

取出3000后剩：，

同理两年后是，

即方程为，

解得：，（不符合题意，故舍去），即年利率是．

故选：．

10．（3分），是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立？则正确的结论是　　

A．时成立 B．时成立 C．或2时成立 D．不存在

【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，

，．

假设存在实数使成立，则，

，

．

当时，方程即为，此时△，

符合题意．

故选：．

11．（3分）若函数，则当函数值时，自变量的值是　　

A． B．4 C．或4 D．4或

【解答】解：把代入函数，

先代入上边的方程得，

，不合题意舍去，故；

再代入下边的方程，

，故，

综上，的值为4或．

故选：．

12．（3分）如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④△；⑤，其中正确的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：①由抛物线的开口向下知，故本选项错误；

②由对称轴为，

，

，则，故本选项正确；

③由图象可知，当时，，则，故本选项正确；

④从图象知，抛物线与轴有两个交点，

△，故本选项正确；

⑤由图象可知，当时，，则，故本选项正确；

故选：．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案直接填写在题中横线上）

13．（3分）小明制作了十张卡片，上面分别标有这十个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是　　．

【解答】解：小明制作了十张卡片，上面分别标有这十个数字．其中能被4整除的有4，8；

从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是：．

故答案为：．

14．（3分）同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是　　．

【解答】解：如图所示：

圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，设内接正三角形的边长为，

等边三角形的高为，

该等边三角形的外接圆的半径为

同圆外切正三角形的边长．

周长之比为：，

故答案为：．

15．（3分）中，，分别是，的中点，连接，则　　．

【解答】解：中，、分别是、的中点，，

是的中位线，

，，

，

，

故答案为：．

16．（3分）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个小孔的直径是　8　．

【解答】解：钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，

则下面的距离就是2．

利用相交弦定理可得：，

解得．

故答案为：8．

17．（3分）将抛物线向上平移一个单位后，又沿轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是　　．

【解答】解：抛物线的顶点坐标为，点向上平移一个单位所得对应点的坐标为，点关于轴的对称点的坐标为，

因为新抛物线的开口向下，

所以新抛物线的解析式为．

故答案为

18．（3分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为　　．

【解答】解：连接，，

抛物线的解析式为，

点的坐标为，

的长为3，

设，则，

解得：或3，

，

，，

为半圆的直径，

，

，

，

，

，

故答案为：．

三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤）

19．（1）解方程：．

（2）已知：关于的方程

①求证：方程有两个不相等的实数根；

②若方程的一个根是，求另一个根及值．

【解答】（1）解：，

，

，；

（2）①证明：，，，

△，

方程有两个不相等的实数根；

②解：当时，，

解得：，

则原方程为：，

即，

解得：，，

所以另一个根为2．

20．（1）解方程：；

（2）图①②均为的正方形网格，点，，在格点上．

（a）在图①中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）．

（b）在图②中确定格点，并画出以、、、为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）

【解答】解：（1）由原方程，得，

整理，得，

解得；

（2）如图①所示：等腰梯形为轴对称图形；

；

（3）如图②所示：矩形为轴对称图形；

．

21．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．

【解答】解：画树状图得：

共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是黄色的有4种情况，

两次摸出的球都是黄色的概率为：．

22．用一段长为的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18米

（1）若围成的面积为72米，求矩形的长与宽；

（2）菜园的面积能否为120米，为什么？

【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为米，

则，

解方程得：，．

当时，长，故舍去，

所以．

答：矩形的长为12米，宽为6米；

（2）假设面积可以为120平方米，

则，

整理得即，

△，

方程无实数解，

故面积不能为120平方米．

23．如图，的直径为，弦为，，分别是的平分线与，直径的交点，为延长线上一点，且．

（1）求、的长；

（2）试判断直线与的位置关系，并说明理由．

【解答】解：（1）连接，如图1所示，

为直径，

，

在中，，，

；

平分，

，

为等腰直角三角形，

；

（2）与圆相切．理由如下：

连接，如图2所示：

，

，

，

而，，

，

，

即，

，

为的切线．

24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线且经过，两点，与轴的另一交点为点．

（1）求抛物线解析式．

（2）抛物线上是否存在点，过点作垂直轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）当时，，即，

当时，，解得，即．

由、关于对称轴对称，得

．

将、、点坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为；

（2）①当点在轴上方时，过点作垂直轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，

如图，

设，．

，．

由勾股定理，得，．

，

，

当时，，此时点与点重合，．

当时，，此时与关于抛物线的对称轴对称，．

②当点在轴下方时，

当时，，

此时直线的解析式为，

由，解得或，

，

当时，，

此时，

直线的解析式为，

由，

解得或，

综上所述：抛物线存在点，过点作垂直轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，点的坐标或或或．

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日期：2021/12/2 15:17:59；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124