2019-2020学年江西省南昌市九年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年江西省南昌市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

1．（3分）下列各点中，在反比例函数的图象上的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）下列各组图形中，一定相似的是　　

A．任意两个圆 B．任意两个等腰三角形 

C．任意两个菱形 D．任意两个矩形

3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为　　

A． B． C． D．

4．（3分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点．寸，寸，则可得直径的长为　　

A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸

5．（3分）已知，是关于的一元二次方程的两个根，且满足，则的值为　　

A．2 B． C．1 D．

6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点的坐标为，若为线段的中点，连接，，且，则的值是　　

A．12 B．6 C．8 D．4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）已知反比例函数的图象经过一、三象限，则实数的取值范围是　　．

8．（3分）如图，在中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，则　　．

9．（3分）有三张除颜色外，大小、形状完全相同的卡片，第一张卡片两面都是红色，第二张卡片两面都是白色，第三张卡片一面是红色，一面是白色，用三只杯子分别把它们遮盖住，若任意移开其中的一只杯子，则看到的这张卡片两面都是红色的概率是　　．

10．（3分）如图，正五边形内接于，为上一点，连接，，则的度数为　　．

11．（3分）某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元．设平均每次下调的百分率为，则可列方程为　　．

12．（3分）如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点，分别是直线与抛物线上的点，若点，，，围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为　　．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）解方程：．

（2）如图，，，，四点都在上，为直径，四边形是平行四边形，求的度数．

14．（6分）如图，在中，点在边上，且满足．求证：．

15．（6分）如图，点，，都在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写作法，保留作图痕迹）

（1）在图1中，若，画一个的内接等腰直角三角形．

（2）在图2中，若点在弦上，且，画一个的内接等腰直角三角形．

16．（6分）已知布袋中有红、黄、蓝色小球各一个，用画树状图或列表的方法求下列事件的概率．

（1）如果摸出第一个球后，不放回，再摸出第二球，求摸出的球颜色是“一黄一蓝”的概率．

（2）随机从中摸出一个小球，记录下球的颜色后，把球放回，然后再摸出一个球，记录下球的颜色，求得到的球颜色是“一黄一蓝”的概率．

17．（6分）如图，反比例函数与一次函数交于和两点．

（1）根据题中所给的条件，求出一次函数和反比例函数的解析式．

（2）结合函数图象，指出当时，的取值范围．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．

（1）求证：与相切．

（2）若正方形的边长为1，求的半径．

19．（8分）如图，是中边上的中点，交于点，是中边上的中点，且与交于点．

（1）求的值．

（2）若，，求的长．（用含的代数式表示）

20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，作直线分别交，于，两点，已知，．

（1）求反比例函数，的解析式；

（2）求的面积．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在边、上，在边上．

（1）点到的距离为　　．

（2）求的长．

22．（9分）如图1，在矩形中，，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度．两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止．

（1）若两点的运动时间为，当为何值时，？

（2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论．

（3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则　　．

②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则　　（用含的代数式表示）．

六、（本大题共12分）

23．（12分）定义：无论函数解析式中自变量的字母系数取何值，函数的图象都会过某一个点，这个点称为定点．例如，在函数中，当时，无论取何值，函数值，所以这个函数的图象过定点．

求解体验

（1）①关于的一次函数的图象过定点　　．

②关于的二次函数的图象过定点　　和　　．

知识应用

（2）若过原点的两条直线、分别与二次函数交于点和点，且，试求直线所过的定点．

拓展应用

（3）若直线与抛物线交于、，两点，试在抛物线上找一定点，使，求点的坐标．

2019-2020学年江西省南昌市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）

1．（3分）下列各点中，在反比例函数的图象上的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，故不在函数图象上；

、，故不在函数图象上；

、，故在函数图象上；

、，故不在函数图象上．

故选：．

2．（3分）下列各组图形中，一定相似的是　　

A．任意两个圆 B．任意两个等腰三角形 

C．任意两个菱形 D．任意两个矩形

【解答】解：、任意两个圆是相似图形，故此选项正确；

、任意两个等腰三角形不是相似图形，故此选项错误；

、任意两个菱形不是相似图形，故此选项错误；

、任意两个矩形不是相似图形，故此选项错误；

故选：．

3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将绕着旋转中心顺时针旋转，得到，则旋转中心的坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据旋转中心的确定方法可知：

旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点．

如图，连接、，

作和的垂直平分线交于点，

点即为旋转中心，

所以旋转中心的坐标为．

故选：．

4．（3分）《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，为的直径，弦于点．寸，寸，则可得直径的长为　　

A．13寸 B．26寸 C．18寸 D．24寸

【解答】解：连接，，

由垂径定理知，点是的中点，，，

设半径为寸，由勾股定理得，，

即，

解得：，

所以，

即圆的直径为26寸．

故选：．

5．（3分）已知，是关于的一元二次方程的两个根，且满足，则的值为　　

A．2 B． C．1 D．

【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个根，

，，

，

，

故，

解得：．

故选：．

6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，已知点的坐标为，若为线段的中点，连接，，且，则的值是　　

A．12 B．6 C．8 D．4

【解答】解：由直线得，

，，

为线段的中点，

，

点的坐标为，

，

，

．

如图，在轴负半轴上截取，可得是等腰直角三角形，

．

又，，

，

，

，即，

解得（舍去）或，

的值是12，

故选：．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）已知反比例函数的图象经过一、三象限，则实数的取值范围是　　．

【解答】解：反比例函数的图象经过一、三象限，

，即．

故答案为：．

8．（3分）如图，在中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，则　　．

【解答】解：四边形是平行四边形，

，即，，

，

，即，

，

，

故答案为：．

9．（3分）有三张除颜色外，大小、形状完全相同的卡片，第一张卡片两面都是红色，第二张卡片两面都是白色，第三张卡片一面是红色，一面是白色，用三只杯子分别把它们遮盖住，若任意移开其中的一只杯子，则看到的这张卡片两面都是红色的概率是　　．

【解答】解：画树状图如下：

根据树状图可得出，所有可能为3种，两面都是红色的有1种，

卡片两面都是红色的概率是：，

故答案为：．

10．（3分）如图，正五边形内接于，为上一点，连接，，则的度数为　　．

【解答】解：连接、，如图所示：

五边形是正五边形，

，

，

故答案为：．

11．（3分）某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元．设平均每次下调的百分率为，则可列方程为　　．

【解答】解：设平均每次降价的百分率是，根据题意列方程得，

．

故答案为：．

12．（3分）如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连接，点，分别是直线与抛物线上的点，若点，，，围成的四边形是平行四边形，则点的坐标为　或或　．

【解答】解：抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，

，．

当为平行四边形的边时，，且，

线段可由线段平移得到．

点在直线上，

①当点的对应点为时，如图，需先将向左平移1个单位长度，

此时点的对应点的横坐标为，将代入，

得，

．

②当点的对应点为时，同理，先将向右平移2个单位长度，可得点的对应点的横坐标为2，

将代入，得，

；

当为平行四边形的对角线时，可知的中点坐标为，，

在直线上，

根据对称性可知的横坐标为，将代入，得，

．

综上所述，点的坐标为或或，

故答案为或或．

三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）解方程：．

（2）如图，，，，四点都在上，为直径，四边形是平行四边形，求的度数．

【解答】解：（1），

，

则或，

解得：，；

（2）四边形是平行四边形，，

四边形是菱形，

，

，

是等边三角形，

，

为直径，

，

．

14．（6分）如图，在中，点在边上，且满足．求证：．

【解答】证明：在和中，

，

，

，

．

15．（6分）如图，点，，都在上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写作法，保留作图痕迹）

（1）在图1中，若，画一个的内接等腰直角三角形．

（2）在图2中，若点在弦上，且，画一个的内接等腰直角三角形．

【解答】解：

（1）如图1，即为所求（画法不唯一）．

（2）如图2，即为所求（画法不唯一）．

16．（6分）已知布袋中有红、黄、蓝色小球各一个，用画树状图或列表的方法求下列事件的概率．

（1）如果摸出第一个球后，不放回，再摸出第二球，求摸出的球颜色是“一黄一蓝”的概率．

（2）随机从中摸出一个小球，记录下球的颜色后，把球放回，然后再摸出一个球，记录下球的颜色，求得到的球颜色是“一黄一蓝”的概率．

【解答】解：（1）画树状图如图所示：

共有6种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，

球颜色是“一黄一蓝”的概率为：；

（2）画树状图如图所示：

共有9种等可能的情况，其中摸到的球是“一黄一蓝”的情况有2种，

球颜色是“一黄一蓝”的概率为：．

17．（6分）如图，反比例函数与一次函数交于和两点．

（1）根据题中所给的条件，求出一次函数和反比例函数的解析式．

（2）结合函数图象，指出当时，的取值范围．

【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，

，

反比例函数的表达式为，

点也在反比例函数的图象上，

，即，

把点，点代入一次函数中，

得，

解得，

一次函数的表达式为；

（2）观察图象可得，或．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．

（1）求证：与相切．

（2）若正方形的边长为1，求的半径．

【解答】证明：（1）连，过作于；

与相切，

，

四边形是正方形，

平分，

，

与相切．

解：（2）四边形为正方形，

，，，

，，

，

；

又，

，

．

19．（8分）如图，是中边上的中点，交于点，是中边上的中点，且与交于点．

（1）求的值．

（2）若，，求的长．（用含的代数式表示）

【解答】解：（1）为的中点，，

为的中点，，

，，

，

，

，

．

（2），

．

，

．

，

．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，作直线分别交，于，两点，已知，．

（1）求反比例函数，的解析式；

（2）求的面积．

【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点，

，，

，．

（2）由（1）可知两条曲线与直线的交点为，，

，

．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）如图，在中，，，，正方形的顶点、分别在边、上，在边上．

（1）点到的距离为　　．

（2）求的长．

【解答】解：（1），，，

，

由三角形面积相等，

可得点到的距离为，

故答案为；

（2）如图，过点作于点，交于点，

四边形是正方形，

，

，，

，

，

设，则，

解得，

的长．

22．（9分）如图1，在矩形中，，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度．两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止．

（1）若两点的运动时间为，当为何值时，？

（2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论．

（3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则　　．

②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则　　（用含的代数式表示）．

【解答】解：（1），

，

，

解得．

（2）．

证明：，

．

，

，

，

即．

（3）①，

，

，

，

，，

，

，

，

．

故答案为：；

②由①知，，

，

，

，

，

．

故答案为：．

六、（本大题共12分）

23．（12分）定义：无论函数解析式中自变量的字母系数取何值，函数的图象都会过某一个点，这个点称为定点．例如，在函数中，当时，无论取何值，函数值，所以这个函数的图象过定点．

求解体验

（1）①关于的一次函数的图象过定点　　．

②关于的二次函数的图象过定点　　和　　．

知识应用

（2）若过原点的两条直线、分别与二次函数交于点和点，且，试求直线所过的定点．

拓展应用

（3）若直线与抛物线交于、，两点，试在抛物线上找一定点，使，求点的坐标．

【解答】求解体验

解：（1）①，

又，

当时，，

故过定点，

故答案为：．

②，当或1时，，

二次函数的图象过定点，．

故答案为：，．

知识应用

（2）设直线的解析式为，将点，的坐标代入并解得直线的解析式为．

如图1，分别过点，作轴的垂线于点，，

，．

，

，

，

，

，

即，解得，

故直线的解析式为．

当时，，故直线上的定点为．

（3）点，的坐标分别为，，

同（2）可得直线的解析式为，

，

，．

设点，如图2，过点作直线轴，过点，作直线的垂线与直线分别交于点，．

同（2）可得，，

，

即，

化简得，

即，

当时，上式恒成立，

故定点为．

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日期：2021/12/3 18:44:36；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124