2019-2020学年江西省南昌市八校联考九年级（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年江西省南昌市八校联考九年级（上）期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年江西省南昌市八校联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（3分）下列成语所描述的事件是随机事件的是　　
A．瓮中捉鳖 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水中捞月
3．（3分）如图，是的直径，点、在上，，，则的度数是　　

A． B． C． D．
4．（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为　　
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，点的坐标为，．将先绕点顺时针旋转，再向右平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标是　　

A． B． C． D．
6．（3分）如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连接，取中点，连接，则线段的最大值为　　

A．3 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填在答题纸上）
7．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是 　　个．
8．（3分）已知一元二次方程的两根为，，则　 　．
9．（3分）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　　米．

10．（3分）如图，、、是的切线，、、为切点，如果，，则的长为　 　．

11．（3分）如图，正六边形内接于，若的面积是4，则正六边形的面积是　　．

12．（3分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，则的取值范围是　　．
三、解答题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．（6分）（1）解方程：
（2）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长．

14．（6分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
（1）求从中任意抽取1个球恰好是红球的概率；
（2）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙，你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
15．（6分）请仅用无刻度的直尺，根据已知条件完成下列画图．
（1）如图1，已知内接于，，画出线段，使于点；
（2）如图2，已知内接于，，点，分别为，的中点，画出线段，使于点．

16．（6分）如图，抛物线经过点，．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，抛物线的对称轴与轴交于点，点是中点，连接，求线段的长．

17．（6分）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，，解答下列各题：
（1）求圆心的坐标；
（2）在上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．

四、解答题：本大题共3小题，每小题8分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（8分）为了提高中学生身体素质，学校开设了：篮球、：足球、：跳绳、：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．

（1）这次调查中，一共调查了　 　名学生；
（2）请补全两幅统计图；
（3）若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．
19．（8分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：设这种双肩包每天的销售利润为元
（1）求与之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？
20．（8分）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．

五、解答题：本大题共2小题，每小题9分，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．（9分）如图，已知为的直径，、是的弦，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
（3）若，，将以点为中心逆时针旋转，求扫过的图形的面积（结果用表示）．

22．（9分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为，，，．对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为正方形边上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形的“正方距”，记作．
（1）已知点，
①直接写出（点的值；
②直线与轴交于点，当（线段取最小值时，求的取值范围；
（2）的圆心为，半径为1．若，直接写出的取值范围．
六、解答题：本大题共1小题，每小题12分，共12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23．（12分）已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点在点右侧），点、关于直线对称．
（1）坐标为　 　坐标为　 　；坐标为　 　；
（2）求二次函数解析式；
（3）在轴上找一点，使得最大，求点坐标；
（4）过点作直线交直线于点，、分别为直线和直线上的两个动点，连接、、，求和的最小值．


2019-2020学年江西省南昌市八校联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
2．（3分）下列成语所描述的事件是随机事件的是　　
A．瓮中捉鳖 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水中捞月
【解答】解：、是必然事件，故不符合题意；
、是随机事件，故符合题意；
、是必然事件，故不符合题意；
、是不可能事件，故不符合题意；
故选：．
3．（3分）如图，是的直径，点、在上，，，则的度数是　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，如图，
，
．
故选：．

4．（3分）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，则所列方程正确的为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，点的坐标为，．将先绕点顺时针旋转，再向右平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标是　　

A． B． C． D．
【解答】解：点的坐标为，，
点的坐标为，
如图所示，将先绕点顺时针旋转，
则点的坐标为，
再向右平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标为，
故选：．

6．（3分）如图，为的直径，为上一点，其中，，为上的动点，连接，取中点，连接，则线段的最大值为　　

A．3 B． C． D．
【解答】解：如图，连接，作于．

，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点在的延长线上时，的值最大（也可以通过求解）
在中，，，
，，
在中，，
的最大值为，
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填在答题纸上）
7．（3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是 　24　个．
【解答】解：小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，
口袋中白色球的个数很可能是个．
故答案为：24．
8．（3分）已知一元二次方程的两根为，，则　25　．
【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
则．
故答案为：25．
9．（3分）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　　米．

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，

抛物线以轴为对称轴，且经过，两点，和可求出为的一半2米，抛物线顶点坐标为，
通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入点坐标，
到抛物线解析式得出：，所以抛物线解析式为，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
所以水面宽度增加到米，
故答案为：．
10．（3分）如图，、、是的切线，、、为切点，如果，，则的长为　2　．

【解答】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故答案为：2．
11．（3分）如图，正六边形内接于，若的面积是4，则正六边形的面积是　12　．

【解答】解：六边形是正六边形，
，，，
，，
，，
为直径，，
是等边三角形，
的面积是4，
的面积的面积，
正六边形的面积的面积；
故答案为：12．
12．（3分）在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，则的取值范围是　或或　．
【解答】解：直线中，令代入直线得，令代入直线得，
，，
点向右平移5个单位长度，得到点，
；
将点代入抛物线中得，即，
抛物线的对称轴；
抛物线经过点且对称轴，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过的对称点，
①时，如图1，
将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
，
将代入抛物线得，
，
，
；
②时，如图2，
将代入抛物线得，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
；
③当抛物线的顶点在线段上时，则顶点为，如图3，
将点代入抛物线得，
解得．
综上所述，或或，
故答案为或或．



三、解答题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13．（6分）（1）解方程：
（2）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长．

【解答】解：（1）原方程可化为：，
或，
解得：或；

（2）圆锥的底面周长，
设圆锥的母线长为，
则：
解得：，
所以该圆锥的母线长为．
14．（6分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
（1）求从中任意抽取1个球恰好是红球的概率；
（2）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙，你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【解答】解：（1）一共有5个球，其中红球有3个，因此；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

一共有20种可能出现的结果，其中两个球是同色的有8种情况，
：；

，
此游戏不公平．
15．（6分）请仅用无刻度的直尺，根据已知条件完成下列画图．
（1）如图1，已知内接于，，画出线段，使于点；
（2）如图2，已知内接于，，点，分别为，的中点，画出线段，使于点．

【解答】解：（1）作直线交于点，则，线段即为所求．
（2）作直线，分别交，于，，作的中线，与交于点，作直线交于点，连接，则，线段即为所求．

16．（6分）如图，抛物线经过点，．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线上，抛物线的对称轴与轴交于点，点是中点，连接，求线段的长．

【解答】解：（1）抛物线经过点，，
，
解得：．
抛物线的解析式为：；

（2）如图，连接，
点在抛物线上，
，
，
，
点是中点，抛物线的对称轴与轴交于点，即为的中点，
是三角形的中位线，
．

17．（6分）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，，解答下列各题：
（1）求圆心的坐标；
（2）在上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1），，
，；
中，由勾股定理，得：；
，
是的直径；
的半径；
过作轴于，则；
是的中点，
是的中位线，
则，，即，；
故的半径为2，，；
（2）如图，作的垂直平分线，交于、，交于，连接；
由垂径定理知：必过点，即是的直径；
，，，；
在中，，，
；
是直径，
，；
由于垂直平分，所以、都是等腰三角形，因此、均符合点的要求；
由于此时同时，因此不需要考虑为腰的情况．
故存在符合条件的点：，，；，，．

四、解答题：本大题共3小题，每小题8分，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（8分）为了提高中学生身体素质，学校开设了：篮球、：足球、：跳绳、：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）．

（1）这次调查中，一共调查了　200　名学生；
（2）请补全两幅统计图；
（3）若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：（名；
故答案为：200；

（2）占的百分比为：，
的人数为：（名；
如图：


（3）分别用，，表示3名喜欢跳绳的学生，表示1名喜欢足球的学生；
画树状图得：

共有12种等可能的结果，一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的有6种情况，
一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率为：．
19．（8分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价每个20元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：设这种双肩包每天的销售利润为元
（1）求与之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【解答】解：（1），
与之间的函数解析式；
（2）根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值是400；
（3）当时，，解得，，
，不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得300元的销售利润，销售单价应定为30元．
20．（8分）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．

【解答】解：（1）抛物线对称轴是直线且经过点
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点
设抛物线的解析式为
即：
把代入得：

抛物线的解析式为：．
（2）设直线的解析式为，
，，
，
直线为，
作轴于，交直线于，
设，则，
，
．
当时，，，
的面积的最大值为，此时点的坐标为，

五、解答题：本大题共2小题，每小题9分，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21．（9分）如图，已知为的直径，、是的弦，是的切线，切点为，，、的延长线相交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
（3）若，，将以点为中心逆时针旋转，求扫过的图形的面积（结果用表示）．

【解答】证明：（1）连接，如图，

，
，，
又，
，
．
在和中

，
．
是的切线，
，
，
，
又点在上，
是的切线；
（2）设圆的半径为，
则，，
是圆的切线，
，
，
，
，
圆的半径为4；
（3），，
，
扫过的图形的面积．
22．（9分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别为，，，．对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为正方形边上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形的“正方距”，记作．
（1）已知点，
①直接写出（点的值；
②直线与轴交于点，当（线段取最小值时，求的取值范围；
（2）的圆心为，半径为1．若，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1）①正方形的顶点分别为，，，，点在轴上，
点到正方形边上点间的距离最大值，，
即（点的值为5；
②如图1所示：（点，
（线段的最小值是5，
符合题意的点满足（点，
当（点时，，
点的坐标为，点的坐标为，
将点的坐标代入得：，
解得：，
将点的坐标代入得：，
解得：，
或．
当（线段取最小值时，直线中，直线中，
当（线段取最小值时，的取值范围为：或；
（2）的圆心为，半径为1，当时，如图2所示：
，，
，，
，，
，的取值范围为：．


六、解答题：本大题共1小题，每小题12分，共12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23．（12分）已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点在点右侧），点、关于直线对称．
（1）坐标为　　坐标为　 　；坐标为　 　；
（2）求二次函数解析式；
（3）在轴上找一点，使得最大，求点坐标；
（4）过点作直线交直线于点，、分别为直线和直线上的两个动点，连接、、，求和的最小值．

【解答】解：（1）设，，，，
，解得，，
，，
由直线可知，，
，
作于，如图1，
，
，
，
，
，；
故答案为，，，；
（2）把，代入得，，
解得，
二次函数解析式为；
（3），
当点和点重合时最大，
；
（4）设直线的解析式为，把和点的坐标代入求出，，
过点作直线，
直线的解析式为中的，
又因为在直线上，代入求出，
直线的解析式为：，
联立，解得：，
交点的坐标是，，
则，
点、关于直线对称，，，
的最小值是，，
过作轴于，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，，
则，，，
根据两点之间线段最短得出的最小值是，即的长是的最小值，
，
，
由勾股定理得，
的最小值为8．


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日期：2021/12/3 18:44:56；用户：初中数学3；邮箱：jse034@xyh.com；学号：39024124