专题11.15 《三角形》全章复习与巩固（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

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专题11.15 《三角形》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系．2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题． 3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识结构】【知识点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类： 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．特别说明：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．特别说明：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特别说明：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性
　　如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．
    特别说明：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余       2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念
1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 
　　特别说明：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．特别说明：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
　　　　　　　　　　　　　　　　
   特别说明：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有 条对角线．
要点五、多边形的内角和及外角和公式
1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
    特别说明：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.　　2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
特别说明：(1)外角和公式的应用：
　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数；
　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数. 
　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：
　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征
1、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.
    特别说明：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.类型一、三角形的三边关系类型二、三角形中重要线段类型三、与三角形有关的角类型四、三角形的稳定性类型五、多边形内角和及外角和公式类型六、多边形对角线公式的运用类型七、镶嵌问题
 【典型例题】类型一、三角形三边关系1．已知，的三边长为，，．（1）求的周长的取值范围；（2）当的周长为偶数时，求．【答案】（1）的周长；（2），或．【分析】（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值． 解：（1）的三边长分别为，，，，即，的周长，即：的周长；（2）的周长是偶数，由（1）结果得的周长可以是，或，的值为，或．【点拨】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 举一反三：【变式】 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．【答案】．(1) 三角形三边的长为cm、cm、cm;(2) 能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm【分析】（1）可设出底边xcm，则可表示出腰长，由条件列出方程，求解即可；（2）分腰长为4cm和底边长为4cm两种情况讨论即可．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，,依题意，得，解得，∴，∴三角形三边的长为cm、cm、cm；（2）若腰长为4cm，则底边长为18-4-4=10cm，而4+4＜10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形，若底边长为4cm，则腰长为=7cm，此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm．【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证．  类型二、三角形中重要线段2．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】⑴4.8cm；⑵12cm²；⑶2cm.【分析】（1）利用直角三角形面积的两种求法求线段AD的长度即可；（2）先求△ABC的面积，再根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求得△ABE的面；（3）由AE是中线，可得BE=CE，根据△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，即可求 解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴AB•AC=BC•AD，∴AD= =4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，∴S△ABC=AB•AC=×6×8=24（cm2）．又∵AE是边BC的中线，∴BE=EC，∴BE•AD=EC•AD，即S△ABE=S△AEC，∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．∴△ABE的面积是12cm2．（3）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．【点拨】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用直角三角形面积的两两种表达方式求线段AD的长． 举一反三：【变式】如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H．（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数．    （2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．【答案】（1）110°；（2）125°.【解析】试题分析：（1）已知BE⊥AC，CD⊥AB，根据直角三角形的两锐角互余可求得∠EBC、∠DCB的度数，在△BHC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠BHC的度数；（2）已知BE、CD平分∠ABC和∠ACB，根据角平分线的都有可求得∠EBC、∠DCB的度数，在△BHC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠BHC的度数.解：（1）∵BE⊥AC，∠ACB=70°，∴∠EBC=90°﹣70°=20°，∵CD⊥AB，∠ABC=40°，∴∠DCB=90°﹣40°=50°，∴∠BHC=180°﹣20°﹣50°=110°．（2）∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，∴∠EBC=20°，∵DC平分∠ACB，∠ACB=70°，∴∠DCB=35°，∴∠BHC=180°﹣20°﹣35°=125°.点拨：本题考查三角形内角和定理、三角形的高、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．  类型三、与三角形有关的角3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【答案】(1) 65°；(2) 25°． 分析：（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．点拨：本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．【答案】(1)  ∠BAE=30 °；(2) ∠EAD=20°.   分析：（1）由三角形内角和为180°结合已知条件易得∠BAC=60°，再结合AE平分∠BAC即可得到∠BAE=30°；（2）由AD是△ABC的高可得∠ADB=90°，结合∠ABC=40°可得∠BAD=50°，再结合∠BAE=30°即可解得∠DAE=20°. 解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=30°；（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°.点拨：这是一道有关三角形角度的几何计算题，熟悉“三角形内角和为180°，三角形高的定义和三角形角平分线的定义”是解答本题的关键.  类型四、三角形的稳定性4、如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点连接，设计出两种不同的连接方案（用直尺连接）． 【答案】图形见解析【解析】试题分析：根据三角形的稳定性，并利用轴对称即可设计出方案. 本题为开放题答案不唯一．解：所设计连接方案画图形如下所示：  点拨：本题主要考查三角形的稳定性及轴对称相关知识.解题的关键要利用三角形的稳定性并结合轴对称来设计方案.   举一反三：【变式】如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；②四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ．【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可；②根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ．故答案为： 是三角形， 稳定性；②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ．故答案为： 四边形， 稳定性 ．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．  类型五、三角形的内（外）角和5、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度，求这个多边形的边数.【答案】这个多边形的边数是9【分析】设这个多边形的边数为n，再根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可． 解：设这个多边形的边数是，则（n-2）·180°-360°×3=180°，解得.答：这个多边形的边数是9.【点拨】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可． 举一反三：【变式】一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．【答案】七边形.【解析】多边形的内角和定理为(n－2)×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．解：根据题意可得：  解得： 点拨：本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．明白这两个公式是解题的关键．  类型六、多边形的对角线6、连接多边形任意两个不相邻顶点的线段称为多边形的对角线．（1）对角线条数分别为　   　、　   　、　   　、　   　．（2）n边形可以有20条对角线吗？如果可以，求边数n的值；如果不可以，请说明理由．（3）若一个n边形的内角和为1800°，求它对角线的条数．【答案】（1）2；5；9；；（2）n边形可以有20条对角线，此时边数n为八；（3）这个多边形有54条对角线【解析】分析：（1）设n边形的对角线条数为an，根据多边形对角线条数公式即可求出结论；（2）假设可以，根据多边形对角线条数公式，可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）根据多边形内角和定理，可求出边数，再套用多边形对角线条数公式，即可得出结论．    解：（1）设n边形的对角线条数为an，则a4==2，a5==5，a6==9，…，an=．（2）假设可以，根据题意得：=20，解得：n=8或n=-5（舍去），∴n边形可以有20条对角线，此时边数n为八．（3）∵一个n边形的内角和为1800°，∴180°×（n-2）=1800°，解得：n=12，∴==54．答：这个多边形有54条对角线．点拨：本题考查了一元二次方程的应用、多边形的对角线以及多边形内角和定理，解题的关键是：（1）根据多边形对角线条数公式求出多边形的对角线条数；（2）根据多边形对角线条数公式，列出关于n的一元二次方程；（3）根据多边形内角和定理，求出边数n． 举一反三：【变式】（1）问题：①从四边形的一个顶点出发可以画______条对角线，四边形共有______条对角线；②从五边形的一个顶点出发可以画______条对角线，五边形共有______条对角线；③从六边形的一个顶点出发可以画______条对角线，六形共有______条对角线.（2）猜想：①从100边形的一个顶点出发可以画______条对角线，100边形共有______条对角线；②从n边形的一个顶点出发可以画______条对角线，n边形共有______条对角线.（3）应用：有32支足球队进行单循环赛，一共需要赛几场？【答案】（1）①1；2；②2；5；③3；9（2）①97；4850；②；；（3）496场  【分析】对于（1），画出图形得到各图形从一个顶点出发引的对角线的条数及对角线的总条数；对于（2），结合（1）中的解答，可类比得到100边形从一个顶点出发引的对角线的条数及对角线的总条数，进而结合规律，得到n边形的结果；对于（3），应用（2）中的规律进行计算即可得出结果.解：（1）画出图形观察图形可得：①从四边形的一个顶点出发可以画1条对角线，四边形共有2条对角线；②从五边形的一个顶点出发可以画2条对角线，五边形共有5条对角线；③从六边形的一个顶点出发可以画3条对角线，六边形共有9条对角线；（2）①由（1）可知：从100边形的一个顶点出发可以画97条对角线，100边形共有4850条对角线；②从n边形的一个顶点出发可以画（n-3）条对角线，因为它有n个顶点，所以共有n(n-3)条对角线，其中每一条对角线都重复一次，因此共有（n≥3，且n为整数）条对角线；（3）根据多边形对角线条数是来计算，把每支球队都看做32边形的一个顶点，每支球队与相邻球队比赛，要赛32场，与不相邻球队比赛要赛（场）.答：一共需要赛496场.【点拨】此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到其规律.  类型七、镶嵌问题7、现有①正三角形、②正方形、③正五边形三种形状的地砖，只选取其中一种地砖镶嵌地面，不能进行地面镶嵌的有___________（填序号）．【答案】③【分析】根据正多边形的内角度数解答即可.解：∵正三角形的每个内角都是60度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正方形的每个内角都是90度，能将360度整除，故可以用其镶嵌地面；∵正五边形的每个内角都是108度，不能将360度整除，故不可以用其镶嵌地面，故答案为：③.【点拨】此题考查正多边形的性质，镶嵌地面问题，正确计算正多边形的每个内角的度数与360度的整除关系是解题的关键. 举一反三：【变式】把边长为1的正方形纸片分割成如图的四块，其中点分别为的中点，四边形是菱形，用这四块纸片拼成四边形（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形的周长是________．【答案】或或4【分析】先根据题意画出图形，再根据周长的定义即可求解．   解：根据题意，如图：∵PQ=MN=1，，∴四边形MNPQ的周长为：；如图：∵OP=MN=，OQ=QM=1，，∴四边形MNPQ的周长为：；如图：∵，∴四边形MNPQ的周长为：；故答案为：或或4．【点拨】考查了平面镶嵌（密铺），关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙）的各种情况．