2017-2018学年山东省潍坊市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2017-2018学年山东省潍坊市九年级（上）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年山东省潍坊市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．
1．（3分）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
2．（3分）如图，在中，为中点，交于点，则与的面积比为　　

A． B． C． D．
3．（3分）方程的解是　　
A． B． C．， D．，
4．（3分）如图，在中，，若，，则的值为　　

A． B． C． D．
5．（3分）下列各点中，抛物线经过的点是　　
A． B． C． D．
6．（3分）如图，是的外接圆，，则的大小为　　

A． B． C． D．
7．（3分）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是　　
A． B． C． D．
8．（3分）反比例函数的图象经过点，，则下列关系正确的是　　
A． B． C． D．不能确定
9．（3分）抛物线与轴的两个交点之间的距离为 4 ，则的值是　　
A ． B ． C ． D ．
10．（3分）当温度不变时，气球内气体的气压（单位：是气体体积（单位：的函数，下表记录了一组实验数据：与的函数关系式可能是　　
（单位：
1
1.5
2
2.5
3
（单位：
96
64
48
38.4
32
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）已知为锐角，若，则　 　度．
12．（3分）请你写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式 　 　．
13．（3分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，，然后张开两脚，使、两个尖端分别在线段的两个端点上，若，则的长为　 　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为　 　．

15．（3分）若关于的方程有两个相等实数根，则代数式的值为　　．
16．（3分）下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点，画过点的圆的切线．
画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点（与点不重合）处，使其一直角边经过点，另一条直角边与圆交于点，连接；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点重合，使一条直角边经过点，画出另一条直角边所在的直线．
所以直线就是过点的圆的切线．
请回答：该画图的依据是　 　．

三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）如图，在中，，是上一点，，垂足为．
求证：．

19．（5分）若二次函数的图象经过点和两点，求此二次函数的表达式．
20．（5分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？请根据图象，直接写出结果　 　．

21．（5分）已知矩形的一边长为，且相邻两边长的和为10．
（1）求矩形面积与边长的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求矩形面积的最大值．
22．（5分）如图，热气球探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球与楼的水平距离为100米，试求这栋楼的高度．

23．（5分）在矩形中，，，为边上一点，为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的，其中，如图1所示，则的值为　 　；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的（与小明的不同），并求此时的值．

24．（5分）如图，直线与双曲线只有一个公共点．
（1）求与的值；
（2）若直线与双曲线有两个公共点，请直接写出的取值范围．

25．（5分）如图，是的直径，弦于点．，是的外角的平分线．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，射线与交于点，请写出求长的思路．

26．（5分）有这样一个问题：探究函数的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
①当函数时，随增大而　 　（填“增大”或“减小” ；
②当函数时，它的图象与直线的交点坐标为　 　；
（2）当函数时，
下表为其与的几组对应值．
　


0
1

2

3
4
　

　



1

2

3
7
　

①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：　 　．

27．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
（1）求点的坐标；
（2）将线段沿轴向右平移2个单位长度得到线段．
①直接写出点和的坐标；
②若抛物线与四边形有且只有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．

28．（7分）在中，，，点是内一点，且，连接，试探究、、满足的等量关系．
（1）当时，将绕点逆时针旋转得到，连接，如图1所示．由可以证得是等边三角形，再由可得的大小为　　度，进而得到是直角三角形，这样可以得到、、满足的等量关系为　　；
（2）如图2，当时，参考（1）中的方法，探究、、满足的等量关系，并给出证明；
（3）、、满足的等量关系为　　．

29．（8分）定义：点为内部或边上的点，若满足、、至少有一个三角形与相似（点不与顶点重合），则称点为的自相似点．
例如：如图1，点在的内部，，，则，故点为的自相似点．
在平面直角坐标系中，
（1）点坐标为，，轴于点，在，，，，这三个点中，其中是自相似点的是　　（填字母）；
（2）若点是曲线上的一个动点，为轴正半轴上一个动点；
①如图2，，点横坐标为3，且，若点是的自相似点，求点的坐标；
②若，点为，且的自相似点有2个，则曲线上满足这样条件的点共有　　个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．


2017-2018学年山东省潍坊市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．
1．（3分）抛物线的顶点坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：
，
顶点坐标为，
故选：．
2．（3分）如图，在中，为中点，交于点，则与的面积比为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
是边的中点，
，
．
故选：．
3．（3分）方程的解是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：，
，
，，
，，
故选：．
4．（3分）如图，在中，，若，，则的值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，
故选：．
5．（3分）下列各点中，抛物线经过的点是　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，；当时，；当时，；当时，，
所以点在抛物线上．
故选：．
6．（3分）如图，是的外接圆，，则的大小为　　

A． B． C． D．
【解答】解：
，
由圆周角定理可知：
故选：．
7．（3分）一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设扇形的半径为，
由题意：，解得，
，
，
这个扇形的半径为．
故选：．
8．（3分）反比例函数的图象经过点，，则下列关系正确的是　　
A． B． C． D．不能确定
【解答】解：反比例函数的图象经过点，，
，，
，
．
故选：．
9．（3分）抛物线与轴的两个交点之间的距离为 4 ，则的值是　　
A ． B ． C ． D ．
【解答】解： 设抛物线与轴的两个交点为，，，，
则，，
，
，
，
检验 ．是原方程的解 ．
故选：．
10．（3分）当温度不变时，气球内气体的气压（单位：是气体体积（单位：的函数，下表记录了一组实验数据：与的函数关系式可能是　　
（单位：
1
1.5
2
2.5
3
（单位：
96
64
48
38.4
32
A． B．
C． D．
【解答】解：观察发现：，
故与的函数关系式为，
故选：．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）已知为锐角，若，则　45　度．
【解答】解：为锐角，，
．
12．（3分）请你写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式 　，答案不唯一　．
【解答】解：由于反比例函数图象经过二、四象限，
所以比例系数为负数，
故解析式可以为．答案不唯一．
故答案为：，答案不唯一．
13．（3分）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，，然后张开两脚，使、两个尖端分别在线段的两个端点上，若，则的长为　9.6　．

【解答】解：，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为9.6．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为　　．

【解答】解：的对应点的坐标为，
点的对应点的坐标为．
故答案为．
15．（3分）若关于的方程有两个相等实数根，则代数式的值为　1　．
【解答】解：关于的方程有两个相等实数根，
△，
．
故答案为：1．
16．（3分）下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点，画过点的圆的切线．
画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点（与点不重合）处，使其一直角边经过点，另一条直角边与圆交于点，连接；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点重合，使一条直角边经过点，画出另一条直角边所在的直线．
所以直线就是过点的圆的切线．
请回答：该画图的依据是　的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线　．

【解答】解：利用的圆周角所对的弦是直径可得到为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线就是过点的圆的切线．
故答案为的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：原式．
18．（5分）如图，在中，，是上一点，，垂足为．
求证：．

【解答】证明：，
，
，
，
，
．
19．（5分）若二次函数的图象经过点和两点，求此二次函数的表达式．
【解答】解：二次函数的图象经过和两点，
，
解得：，
二次函数的表达式为．
20．（5分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？请根据图象，直接写出结果　　．

【解答】20．（1）解：设反比例函数的表达式为，
由图象可知函数的图象经过点，
．
反比例函数的表达式为．
（2），，
，
，
即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．
21．（5分）已知矩形的一边长为，且相邻两边长的和为10．
（1）求矩形面积与边长的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求矩形面积的最大值．
【解答】解：（1）矩形的一边长为，
则另一边长为，
则，；

（2），
当时，最大值为25．
22．（5分）如图，热气球探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球与楼的水平距离为100米，试求这栋楼的高度．

【解答】解：由题意可得，
，，米，，
在中，，米，
，
米，
在中，，米，
，
米，
米，
即这栋楼的高度是米．
23．（5分）在矩形中，，，为边上一点，为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的，其中，如图1所示，则的值为　1　；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的（与小明的不同），并求此时的值．

【解答】解：（1）四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得：，
；
故答案为：1；
（2）分两种情况：
①时，，
；
②时，，
，



24．（5分）如图，直线与双曲线只有一个公共点．
（1）求与的值；
（2）若直线与双曲线有两个公共点，请直接写出的取值范围．

【解答】解：（1）直线与双曲线只有一个公共点．
，
解得：，；
（2）若直线与双曲线有两个公共点，
则方程组有两个不同的解，
有两个不相等的解，
整理得：，
△，
解得：，或．
25．（5分）如图，是的直径，弦于点．，是的外角的平分线．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，射线与交于点，请写出求长的思路．

【解答】解：（1）是的直径，弦于点，
垂直平分，
，
，
是的外角的平分线，
，
，
，
是的切线；

（2）设与交于，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
26．（5分）有这样一个问题：探究函数的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
①当函数时，随增大而　增大　（填“增大”或“减小” ；
②当函数时，它的图象与直线的交点坐标为　 　；
（2）当函数时，
下表为其与的几组对应值．
　


0
1

2

3
4
　

　



1

2

3
7
　

①如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：　 　．

【解答】解：（1）①，
，
随增大而增大，
故答案为：增大；

②解方程组得：，，
所以两函数的交点坐标为，，
故答案为：，；
（2）①

②该函数的性质：
①随的增大而增大；
②函数的图象经过第一、三、四象限；
③函数的图象与轴轴各有一个交点等，
故答案为：随的增大而增大．
27．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．
（1）求点的坐标；
（2）将线段沿轴向右平移2个单位长度得到线段．
①直接写出点和的坐标；
②若抛物线与四边形有且只有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．

【解答】解：（1），
抛物线的顶点的坐标为．
（2）由（1）知，，
线段沿轴向右平移2个单位长度得到线段．
，；
（3）如图，

抛物线与四边形有且只有两个公共点，
．
由图象可知，抛物线是始终和四边形的边相交，
抛物线已经和四边形有两个公共点，
将代入中，得．
．
28．（7分）在中，，，点是内一点，且，连接，试探究、、满足的等量关系．
（1）当时，将绕点逆时针旋转得到，连接，如图1所示．由可以证得是等边三角形，再由可得的大小为　150　度，进而得到是直角三角形，这样可以得到、、满足的等量关系为　　；
（2）如图2，当时，参考（1）中的方法，探究、、满足的等量关系，并给出证明；
（3）、、满足的等量关系为　　．

【解答】解：（1），
，
由旋转变换的性质可知，，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：150，；
（2）如图2，作将绕点逆时针旋转得到，连接，
作于，
由旋转变换的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将绕点逆时针旋转得到，连接，
作于，
由旋转变换的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

29．（8分）定义：点为内部或边上的点，若满足、、至少有一个三角形与相似（点不与顶点重合），则称点为的自相似点．
例如：如图1，点在的内部，，，则，故点为的自相似点．
在平面直角坐标系中，
（1）点坐标为，，轴于点，在，，，，这三个点中，其中是自相似点的是　，　（填字母）；
（2）若点是曲线上的一个动点，为轴正半轴上一个动点；
①如图2，，点横坐标为3，且，若点是的自相似点，求点的坐标；
②若，点为，且的自相似点有2个，则曲线上满足这样条件的点共有　　个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．

【解答】解：（1）如图1中，连接、、、，作于，于．

由题意可知点在上，
，
，
，
，
，，
，
点是自相似点，
同理可得，，
，
点是自相似点，
故答案为，．

（2）①如图2，过点作轴于点．

点的横坐标为3，
，
，
，，，
直线的表达式为，
在中，，，
设，则，
，
，
△，△，
，，
，
△是等边三角形，
，
的横坐标为1，的横坐标为2，代入，
可得，
综上所述，点坐标为或．

②如图3中，满足条件的点有4个．

以为圆心2为半径作圆交反比例函数于，，以为圆心2为半径作圆交反比例函数的图象于，，
故答案为4．
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日期：2021/12/6 11:14:28；用户：星星卷大葱；邮箱：jse035@xyh.com；学号：39024125