第2讲 根的判别式与根系关系-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版上册 学案

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第2讲  根的判别式与根系关系知识导航1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．【板块一】一元二次方程根的判别式方法技巧1.不解方程，判断一元二次方程根的情况；2.确定一元二次方程中字母参数的取值范围；3.解决一元二次方程的整数根的问题；4.求代数式的最值；5.借助判别式，运用一元二次方程有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题； 题型一   用于参数方程根的判定【例1】关于的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根大于，求的取值范围．      题型二 判别式求参数的取值范围【例2】若关于的方程有实数根，求的取值范围．      【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．     【例4】若关于的方程只有个不相等的实数根，求的值或取值范围.      题型三  判别式用于整数根问题例5 当m是什么整数时，关于x的方程与的根都是整数？         题型四 判别式法求极值例6 若x，y是实数，且,试确定m的最小值         针对练习11、当k＝      时，关于x的二次三项式是完全平方式 2、已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值      3、m为何值时，关于x的方程（1）有两个实根？（2）只有一个实根？（3）有实根？      4、已知关于x的一元二次方程，其中a,b,c分别为△ABC的三边长（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.          5、若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，求m的值或取值范围.          板块二 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）方法技巧1、求方程中字母系数的值或取值范围2、求代数式的值3、结合根的判别式，判断根的符合特征；利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足：①a≠0,②判别式△≥0题型一  根的定义与根系关系结合求值（一）对称式求值例1 若的值       （二）非对称式求值例2  设方程的两个根是，求的值       题型二  求方程中待定系数的值（一）先用判别式求字母的范围，再用根系关系求字母的值例3 已知关于x的方程（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；（2）若两实数根满足，求m的值        （二）先用根系关系求字母的值，再用判别式检验例4 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立，求其实数a的可能值        题型三 利用根系关系求最值例5 若关于x的方程有两个实数根，求的最小值       题型四  一元二次方程根的分布例6  当m为何值时，关于x的一元二次方程的两根都大于2？       例7  已知关于x的一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围          针对练习21、若实数a,b满足（   ）A. B. C. D.2、已知a,b是关于x的方程的两个根，则（    ）A.365 B.245 C.210 D.1753、已知是关于x的方程的两个实数根，且，则k的值为     4、已知方程的两个根为α，β，求的值     5、已知a,b是方程的两个实数根，求的值     6、已知关于x的方程的两根，给出四个结论中：①；②；③；④若，且a＜b,，则正确结论的序号是（    ）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④7．已知a≥2，m2－2m＋2＝0，n2－2an＋2＝0，且m≠n，则(m－1) 2＋(n－1)2的最小值是(    )A．6 B．－3 C．3 D．0 8．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．       9．已知x1，x2是关于x的方程x2－x＋t＝0的两个非负实数根．设y＝x14＋x24的最大值为M，最小值为m，求M－m．        10．已知关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x1，x2是方程(k－1)x2＋2kx＋2＝0的两个根，记S＝＋＋x1＋x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．             11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x1－1)(x2－1)＝19，求m的值；(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．