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第19讲 反比例函数-讲义（学生版+教师版）2021-2022学年九年级数学人教版下册学案
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第19讲 反比例函数
知识导航
1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质；
3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质；
5.反比例函数与直线y＝a或x＝a；6.反比例函数与全等相似；
7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。
【板块一】反比例函数的定义和解析式
方法技巧
根据定义解题
1.定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
2.解析式：（k≠0）或xy＝k（k≠0）或 （k≠0）.
题型一根据定义判断反比例函数
【例1】下列函数：① ；@；③；④；⑤；
⑥ ；⑦； ⑧；⑨ .其中y是x的反比例函数的有 （填序号）.
题型二根据定义确定k值或解析式
【例2】（1）反比例函数 ，化为的形式，相应的k＝ ；
（2）函数中，当x＝2时，y＝3，则函数的解析式为
题型三根据定义确定待定系数的值
【例3】（1）如果函数 是关于x的反比例函数，则m的值为
（2）若函数 （m为常数）是关于x的反比例函数，求m的值及函数的解析式。
针对练习1
1.下列函数中，为反比例函数的是（B）
A. B. C. D.
2.反比例函数y＝一化为的形式后，相应的k＝
3.若关于x的函数 是反比例函数，求m的值
【板块二】反比例函数的图象和性质
式
抓住反比例函数的性质并结合图象解题
一般地，对于反比例函数，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：
1.图象分布
当k＞0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k＜0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。因此反比例函数的图象也叫做双曲线.
2.对称性
若点（a，b）在反比例函数的图象上，则点 ， ， 也在此图象上，故反比例函数的图象关于直线 ， 对称，关于点 成中心对称。
3.增减性
当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而 ；
当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而 。
题型一反比例函数的增减性
【例1】在反比例函数 的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜0＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【例2】已知反比例函数 .
（1）画出这个反比例的图象；
（2）当－6≤x＜－2时，y的取值范围是 ；
（3）当 时，x的取值范围是 .
题型二反比例函数的圈象的对称性
【例3】如图，直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于A，B两点，试说明A.B两点关于原点对称.
题型三反比例函数的图象与系数的关系
【例4】如图，反比例函数①，②，③，④的部分图象如图所示，则k1，k2，k3，k4的大小关系是
题型四反比例函数中k的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，则所得的矩形PMON的面积 ，即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段，则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于，且这个面积的值与取点的位置无关.
特别地，S△PMO＝S△PNO＝.
【例5】如图，平行于x轴的直线AB与双曲线和在第一象限内交于A，B两点，若S△OAB＝2，求k1－k2的值.
【例6】如图，直线 与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为－4.
（1）求k的值；
（2）过原点的另一直线交双曲线于P，Q两点，点P在第二象限。若A，B，P，Q四点组成的面积为24，求P的坐标.
1.对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A.图象经过点(1，－3) B.图象在第二、四象限
C.y随x的增大而减小 D.x＜0时，y随x增大而减小
2.在同一平面直角坐标系内画出函数y＝kx＋1和函数y＝(k≠0)的图象大致是( )
3.反比例函数y＝(a为常数)的图象上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
4.如图，点A是反比例函数y＝(x＜0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴负半x轴上一点，△ABP的面积为1，求k的值.
5.点A(a，y1)，B(2a，y2)是反比例函数y＝(k＞0)的图象上的两点.
(1)比较y1与y2的大小关系；
(2)若A，B两点在一次函数y＝－x＋b位于第一象限的图象上(如图所示)，分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接OA，OB，且S△OAB＝8，求a的值；
(3)在(2)的条件下，如果3m＝－4x＋24，3n＝，求使得m＞n的x的取值范围.
【板块三】反比例函数与方程、不等式
方法技巧
根据直线与双曲线的交点并结合图象解题
◆题型一反比例函数与方程
【例1】如图，直线y＝－x＋5与双曲线y＝交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)将直线AB向左平移n个单位长度，若平移后直线AB与双曲线有唯一公共点，求n的值.
【例2】直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，直线y＝m(m＞0)与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于N，若MN＝4，求m的值.
题型二反比例函数与不等式
【例3】如图，一次函数y＝－x＋4与反比例函数y＝(m＞0，x＞0)的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分別相交于C，D两点.如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4－x＜的解集.
◆题型三反比例函数.与数形结合比较大小
【例4】如图，直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象相交于A(－3，a)和B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)直接写出不等式≤2x＋4的解集.
【例5】如图，双曲线y＝(x(k＞0)与直线y＝－x＋4相交于A，B两点.
(1)当k＝6时，求点A，B的坐标；
(2)在双曲线y＝(k＞0)的同一支上有三点C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(，y0)，请你借助图象，直接写出y0与的大小关系；
(3)点M(x1，y1)，N(x2，y2)是双曲线y＝(x＞0)上任意两点，s＝，t＝，试比较s与t的大小.
【例6】当1≤x≤4时，直线y＝－2x＋b与双曲线y＝只有一个公共点，则b的取值范围是_______.
针对训练3
1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝x＋m与双曲线C：y2＝相交于A(2，5)，B两点.
(1)求点B的坐标；
(2)当y1＞y2时，x的取值范围是___________；
(3)当x＜2时，y2的取值范围是___________.
2.如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2).
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出当x＞0时，比较y1和y2的大小；
(3)直接写出不等式≤x＋1的解集.
3.如图，一次函数y1＝x＋5的图象与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点.当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2.
(1)直接写出反比例函数y2的解析式；
(2)过点D(t，0)(t＞0)作x轴的垂线，分别交双曲线y2＝和直线y1＝x＋5于P，Q两点.若PQ＝3PD时，求t的值.
【板块四】反比例函数与神奇的几何性质
方法技巧
根据反比例函数k的意义结合全等、相似或参数思想、根系关系，可得出反比例函数一些重要几何性质，在解题中可运用这些重要性质，从而大大提高解题效率.
性质一 如图，直线AB：y＝mx＋n交x轴于点A，交y于点B，交双曲线y＝于C，D两点.
求证：AC＝BD.
【例1】如图，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y＝于点C，D，若CD＝2(AC＋BD)，则k的值为__________.
性质二 如图1，A，B为双曲线y＝上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点E.求证：①AB∥CD；②＝.
变式1：如图2，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC，BD交于点E，求证：①AB∥CD；②＝。
变式2：如图3，A，B为双曲线y＝上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点E。求证：①AB∥CD；②＝。
【例2】如图，双曲线y＝经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝ 。
【例3】如图，点P为双曲线y＝ (x＞0)上一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA，PB分别交双曲线y＝上(x＞0)于C，D两点，若S△PCD＝1，则k＝ 。
性质三：如图，直线AB与双曲线y＝只有唯一公共点A，且AB与y轴不平行，AB交x轴于点B，连接OA，求证：OA＝AB。
性质四：如图，直线y＝mx交双曲线y＝于A，B两点，点P为双曲线上一点，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，求证：PM＝PN。
【例4】(2018十堰中考)如图，直线y＝－x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，求的值。
针对练习4
1.如图，点A，B分别是双曲线y＝和y＝第一象限分支上的点，且AB∥y轴，BC⊥y轴于点C，则AB·BC＝ 。
2.如图，直线y＝－x＋b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第一象限交于B，C两点，且AB·AC＝4，则k＝ 。
3.如图，△OAC的顶点A在双曲线y＝上，点C在x轴上，OA交双曲线y＝上于点B，直线AC与双曲线y＝是只有唯一公共点，且AC与y轴不平行，则S△ABC＝ 。
4.如图1，直线y＝－2x＋6交x轴于点B，交y轴于点A，直线AB与双曲线y＝ (k＜0)交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F。
(1)若k＝－8，求CD的长；
(2)求CE一DF的值；
(3)如图2，P是双曲线y＝ (k＜0)上第二象限上一动点，PG⊥x轴于G，交双曲线y＝ (k＜0)于M，PH⊥y轴于H，交y＝ (k＜0)于N，请直接写出MN的最小值为 。(用含k的式子表示)
【板块五】反比例函数与直线x＝a或y＝a
方法技巧
此类问题一般可用a表示相关点的坐标，从而表示出相关线段长，将几何问题坐标化，解题时注意情况不明时需分类讨论。
【例1】如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)，过x轴正半轴上的点D(a，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线y＝交于点P，Q，且点P不与点Q重合。
(1)求m和n的值；
(2)当a＞1，PQ＝2QD时，求△APQ的面积；
(3)连接CQ，当CP＝CQ时，求a的值。
针对练习5
1.如图，直线l：y＝x＋3与双曲线y＝左在第一象限内交于点A(a，6)。
(1)求双曲线的解析式；
(2)直线x＝t(t＞0且t≠2)分别交直线l，双曲线y＝于C，D两点，连接AD，若AC＝AD，请直接写出t的值。
【板块六】反比例函数与全等及勾股定理
利用全等、相似将线段关系转化为坐标关系，实现“几何问题坐标化”。
题型一 反比例函数与全等
例1：如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 。
例2：(2018原创题)如图，点A(2，4)，B均为双曲线y＝在第一象限上的点，且∠AOB＝45°，求点B的坐标。
题型二 反比例函数与勾股定理
例3：如图，矩形ABCO的顶点B(10，8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y＝ (k＞0)的图象与
边AB交于点F，求点F的坐标。
针对练习6
1.如图，A(2，3)是双曲线y＝ (x＞0)上的一点，P为x轴正半轴上一点，将点A绕点P顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，求点P的坐标。
2.如图，已知点A(2，2)，P(0，a)是y轴上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得线段PA’，若线段PA’与反比例函数y＝－ (x＜0)的图象有公共点，求a的取值范围。
3.如图，直线y＝3x－ 3交坐标轴于A，B两点，将△AOB沿AB翻折得到△ACB，点D在AC的延长线上. 且CD＝ 4AC，反比例函数y＝的图象经过点D，求k的值.
【板块七】反比例函数与图形变换
图形变换的本质是点的变换，解题的关键是根据变换规律，将变换后的关键点的坐标表示出来，再根据条件建立关系式.
【例1】平面直角坐标系中，点 A( －2，0) ，B(0，3)，点P为第二象限内一点，
(1)如图，将线段AB绕点P旋转180*得线段CD，点A与点C对应，试画出图形；
(2)若(1)中得到的点C，D恰好在同－ －个反比例函数y＝ R的图象上，求直线BC的解析式；
(3)若点Q(m ，m)为第四象限的一点，将线段AB绕点Q顺时针旋转90°得到线段EF ，其中点A与点E对应，若点E，F恰好在同一个反比例函数的图象上，直接写出m，n之间的关系式为 。
【例2】已知点 A(a，m)在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为点B.
(1)如图1，当a＝－2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C.
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝ 经过点C，求t的值；
(2)如图2，将图1中的双曲线y＝ (x ＞0)沿y轴折叠得到B双曲线y＝－(x ＜0) ，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝－(x＜0)上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.
针对训练7
1.在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一动点，点M的坐标为(1，－1)，点N的坐标为(3，－4)，连接AM，MN，点N关于直线AM的对称点为点N'.
(1)若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN'(保留作图痕迹)，直接写出点N'的坐标为 ；
(2)若a＞0，连接AN，AN' ，当点A运动到∠N'AN＝90°时，点N'恰好在双曲线y＝上(如图2)，求k的值；
(3)点A在x轴上运动，若∠N' MN＝90° ，此时a的值为 。
【板块八】 反比例函数与定值、最值
通过采取解析法求定值，建立二次函数模型求最值.
题型一 反比例函数与定值
【例1】如图，点 C(6，1)，D(1 ，6)在双曲线y＝的图象上，点T在双曲线第－象限上(不同于C，D)，直线TC，TD分别交y轴于E，F，则OF－OE的值是 .
题型二 反比例函数与最值
【例2】如图，双曲线 y＝的第一象限的分支上一动点P，点A(－2，－2)，B(2，2)，则PA－ PB的值为
。
【例3】如图 ，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝x＋m与双曲线C：y2＝ 相交于A，B两点，其中点A(2，5)，AC⊥y轴于点C.
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)直接写出x＜2时，反比例函数值y2的取值范围；
(3)点E为点B下方直线AB上一动点，直线EF⊥AB，分别与直线AB，双曲线C及y轴交于E，F，G三点，求EF· FG的最大值.
针对训练8
1.如图，若直线y＝ －x＋m与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于两个不同点E，F(点E在点F的左边)，与y轴相交于点M。
(1)m的取值范围为 ；
(2)求ME·MF的值。
2.如图，已知反比例函数y＝和一次函数y＝x＋6的图象有一个交点为P(－2，m).
(1)求反比例函数解析式；
(2)若过点P的直线l与反比例函数y＝的图象只有一个交点，求直线l的解析式；
(3)点Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y＝只有一个公共点，且与x轴，y轴分别交于点C，D，直线y＝x＋6与x轴，y轴分别交于点A，B，求四边形ABCD面积的最小值.
第19讲 反比例函数
知识导航
1.反比例函数的定义和解析式；2.反比例函数的图象和性质；
3.反比例面数与方程及不等式；4.反比例函教与神奇的几何性质；
5.反比例函数与直线y＝a或x＝a；6.反比例函数与全等相似；
7.反比例函数与图形变换；8.反比例函数与定值及最值。
【板块一】反比例函数的定义和解析式
方法技巧
根据定义解题
1.定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
2.解析式：（k≠0）或xy＝k（k≠0）或 （k≠0）.
题型一根据定义判断反比例函数
【例1】下列函数：① ；@；③；④；⑤；
⑥ ；⑦； ⑧；⑨ .其中y是x的反比例函数的有 （填序号）.
题型二根据定义确定k值或解析式
【例2】（1）反比例函数 ，化为的形式，相应的k＝ ；
（2）函数中，当x＝2时，y＝3，则函数的解析式为
题型三根据定义确定待定系数的值
【例3】（1）如果函数 是关于x的反比例函数，则m的值为
（2）若函数 （m为常数）是关于x的反比例函数，求m的值及函数的解析式。
针对练习1
1.下列函数中，为反比例函数的是（B）
A. B. C. D.
2.反比例函数y＝一化为的形式后，相应的k＝
3.若关于x的函数 是反比例函数，求m的值
【板块二】反比例函数的图象和性质
式
抓住反比例函数的性质并结合图象解题
一般地，对于反比例函数，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：
1.图象分布
当k＞0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k＜0时，x，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。因此反比例函数的图象也叫做双曲线.
2.对称性
若点（a，b）在反比例函数的图象上，则点 ， ， 也在此图象上，故反比例函数的图象关于直线 ， 对称，关于点 成中心对称。
3.增减性
当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而 ；
当k＜0时，在每一个象限内，y随x的增大而 。
题型一反比例函数的增减性
【例1】在反比例函数 的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜0＜x2，y1＞y2，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【例2】已知反比例函数 .
（1）画出这个反比例的图象；
（2）当－6≤x＜－2时，y的取值范围是 ；
（3）当 时，x的取值范围是 .
题型二反比例函数的圈象的对称性
【例3】如图，直线y＝ax（a≠0）与双曲线交于A，B两点，试说明A.B两点关于原点对称.
题型三反比例函数的图象与系数的关系
【例4】如图，反比例函数①，②，③，④的部分图象如图所示，则k1，k2，k3，k4的大小关系是
题型四反比例函数中k的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线段PM，PN，则所得的矩形PMON的面积 ，即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段，则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于，且这个面积的值与取点的位置无关.
特别地，S△PMO＝S△PNO＝.
【例5】如图，平行于x轴的直线AB与双曲线和在第一象限内交于A，B两点，若S△OAB＝2，求k1－k2的值.
【例6】如图，直线 与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为－4.
（1）求k的值；
（2）过原点的另一直线交双曲线于P，Q两点，点P在第二象限。若A，B，P，Q四点组成的面积为24，求P的坐标.
1.对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( )
A.图象经过点(1，－3) B.图象在第二、四象限
C.y随x的增大而减小 D.x＜0时，y随x增大而减小
2.在同一平面直角坐标系内画出函数y＝kx＋1和函数y＝(k≠0)的图象大致是( )
3.反比例函数y＝(a为常数)的图象上有三个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
4.如图，点A是反比例函数y＝(x＜0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴负半x轴上一点，△ABP的面积为1，求k的值.
5.点A(a，y1)，B(2a，y2)是反比例函数y＝(k＞0)的图象上的两点.
(1)比较y1与y2的大小关系；
(2)若A，B两点在一次函数y＝－x＋b位于第一象限的图象上(如图所示)，分别过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接OA，OB，且S△OAB＝8，求a的值；
(3)在(2)的条件下，如果3m＝－4x＋24，3n＝，求使得m＞n的x的取值范围.
【板块三】反比例函数与方程、不等式
方法技巧
根据直线与双曲线的交点并结合图象解题
◆题型一反比例函数与方程
【例1】如图，直线y＝－x＋5与双曲线y＝交于A，B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)将直线AB向左平移n个单位长度，若平移后直线AB与双曲线有唯一公共点，求n的值.
【例2】直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，直线y＝m(m＞0)与直线AB相交于点M，与反比例函数的图象相交于N，若MN＝4，求m的值.
题型二反比例函数与不等式
【例3】如图，一次函数y＝－x＋4与反比例函数y＝(m＞0，x＞0)的图象交于A，B两点，与x轴，y轴分別相交于C，D两点.如果点A的横坐标为1，利用函数图象求关于x的不等式4－x＜的解集.
◆题型三反比例函数.与数形结合比较大小
【例4】如图，直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象相交于A(－3，a)和B两点.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)直接写出不等式≤2x＋4的解集.
【例5】如图，双曲线y＝(x(k＞0)与直线y＝－x＋4相交于A，B两点.
(1)当k＝6时，求点A，B的坐标；
(2)在双曲线y＝(k＞0)的同一支上有三点C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(，y0)，请你借助图象，直接写出y0与的大小关系；
(3)点M(x1，y1)，N(x2，y2)是双曲线y＝(x＞0)上任意两点，s＝，t＝，试比较s与t的大小.
【例6】当1≤x≤4时，直线y＝－2x＋b与双曲线y＝只有一个公共点，则b的取值范围是_______.
针对训练3
1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝x＋m与双曲线C：y2＝相交于A(2，5)，B两点.
(1)求点B的坐标；
(2)当y1＞y2时，x的取值范围是___________；
(3)当x＜2时，y2的取值范围是___________.
2.如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝(k为常数，且k≠0)的图象都经过点A(m，2).
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出当x＞0时，比较y1和y2的大小；
(3)直接写出不等式≤x＋1的解集.
3.如图，一次函数y1＝x＋5的图象与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点.当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2.
(1)直接写出反比例函数y2的解析式；
(2)过点D(t，0)(t＞0)作x轴的垂线，分别交双曲线y2＝和直线y1＝x＋5于P，Q两点.若PQ＝3PD时，求t的值.
【板块四】反比例函数与神奇的几何性质
方法技巧
根据反比例函数k的意义结合全等、相似或参数思想、根系关系，可得出反比例函数一些重要几何性质，在解题中可运用这些重要性质，从而大大提高解题效率.
性质一 如图，直线AB：y＝mx＋n交x轴于点A，交y于点B，交双曲线y＝于C，D两点.
求证：AC＝BD.
【例1】如图，直线y＝x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y＝于点C，D，若CD＝2(AC＋BD)，则k的值为__________.
性质二 如图1，A，B为双曲线y＝上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点E.求证：①AB∥CD；②＝.
变式1：如图2，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC，BD交于点E，求证：①AB∥CD；②＝。
变式2：如图3，A，B为双曲线y＝上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点E。求证：①AB∥CD；②＝。
【例2】如图，双曲线y＝经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝ 。
【例3】如图，点P为双曲线y＝ (x＞0)上一点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA，PB分别交双曲线y＝上(x＞0)于C，D两点，若S△PCD＝1，则k＝ 。
性质三：如图，直线AB与双曲线y＝只有唯一公共点A，且AB与y轴不平行，AB交x轴于点B，连接OA，求证：OA＝AB。
性质四：如图，直线y＝mx交双曲线y＝于A，B两点，点P为双曲线上一点，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，求证：PM＝PN。
【例4】(2018十堰中考)如图，直线y＝－x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D，直线AD交反比例函数y＝的图象于另一点C，求的值。
针对练习4
1.如图，点A，B分别是双曲线y＝和y＝第一象限分支上的点，且AB∥y轴，BC⊥y轴于点C，则AB·BC＝ 。
2.如图，直线y＝－x＋b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第一象限交于B，C两点，且AB·AC＝4，则k＝ 。
3.如图，△OAC的顶点A在双曲线y＝上，点C在x轴上，OA交双曲线y＝上于点B，直线AC与双曲线y＝是只有唯一公共点，且AC与y轴不平行，则S△ABC＝ 。
4.如图1，直线y＝－2x＋6交x轴于点B，交y轴于点A，直线AB与双曲线y＝ (k＜0)交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F。
(1)若k＝－8，求CD的长；
(2)求CE一DF的值；
(3)如图2，P是双曲线y＝ (k＜0)上第二象限上一动点，PG⊥x轴于G，交双曲线y＝ (k＜0)于M，PH⊥y轴于H，交y＝ (k＜0)于N，请直接写出MN的最小值为 。(用含k的式子表示)
【板块五】反比例函数与直线x＝a或y＝a
方法技巧
此类问题一般可用a表示相关点的坐标，从而表示出相关线段长，将几何问题坐标化，解题时注意情况不明时需分类讨论。
【例1】如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)，过x轴正半轴上的点D(a，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线y＝交于点P，Q，且点P不与点Q重合。
(1)求m和n的值；
(2)当a＞1，PQ＝2QD时，求△APQ的面积；
(3)连接CQ，当CP＝CQ时，求a的值。
针对练习5
1.如图，直线l：y＝x＋3与双曲线y＝左在第一象限内交于点A(a，6)。
(1)求双曲线的解析式；
(2)直线x＝t(t＞0且t≠2)分别交直线l，双曲线y＝于C，D两点，连接AD，若AC＝AD，请直接写出t的值。
【板块六】反比例函数与全等及勾股定理
利用全等、相似将线段关系转化为坐标关系，实现“几何问题坐标化”。
题型一 反比例函数与全等
例1：如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 。
例2：(2018原创题)如图，点A(2，4)，B均为双曲线y＝在第一象限上的点，且∠AOB＝45°，求点B的坐标。
题型二 反比例函数与勾股定理
例3：如图，矩形ABCO的顶点B(10，8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y＝ (k＞0)的图象与
边AB交于点F，求点F的坐标。
针对练习6
1.如图，A(2，3)是双曲线y＝ (x＞0)上的一点，P为x轴正半轴上一点，将点A绕点P顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，求点P的坐标。
2.如图，已知点A(2，2)，P(0，a)是y轴上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得线段PA’，若线段PA’与反比例函数y＝－ (x＜0)的图象有公共点，求a的取值范围。
3.如图，直线y＝3x－ 3交坐标轴于A，B两点，将△AOB沿AB翻折得到△ACB，点D在AC的延长线上. 且CD＝ 4AC，反比例函数y＝的图象经过点D，求k的值.
【板块七】反比例函数与图形变换
图形变换的本质是点的变换，解题的关键是根据变换规律，将变换后的关键点的坐标表示出来，再根据条件建立关系式.
【例1】平面直角坐标系中，点 A( －2，0) ，B(0，3)，点P为第二象限内一点，
(1)如图，将线段AB绕点P旋转180*得线段CD，点A与点C对应，试画出图形；
(2)若(1)中得到的点C，D恰好在同－ －个反比例函数y＝ R的图象上，求直线BC的解析式；
(3)若点Q(m ，m)为第四象限的一点，将线段AB绕点Q顺时针旋转90°得到线段EF ，其中点A与点E对应，若点E，F恰好在同一个反比例函数的图象上，直接写出m，n之间的关系式为 。
【例2】已知点 A(a，m)在双曲线y＝上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为点B.
(1)如图1，当a＝－2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C.
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝ 经过点C，求t的值；
(2)如图2，将图1中的双曲线y＝ (x ＞0)沿y轴折叠得到B双曲线y＝－(x ＜0) ，将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线y＝－(x＜0)上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.
针对训练7
1.在平面直角坐标系中，点A(a，0)为x轴上一动点，点M的坐标为(1，－1)，点N的坐标为(3，－4)，连接AM，MN，点N关于直线AM的对称点为点N'.
(1)若a＝2，在图1中画出线段MN关于直线AM的对称图形MN'(保留作图痕迹)，直接写出点N'的坐标为 ；
(2)若a＞0，连接AN，AN' ，当点A运动到∠N'AN＝90°时，点N'恰好在双曲线y＝上(如图2)，求k的值；
(3)点A在x轴上运动，若∠N' MN＝90° ，此时a的值为 。
【板块八】 反比例函数与定值、最值
通过采取解析法求定值，建立二次函数模型求最值.
题型一 反比例函数与定值
【例1】如图，点 C(6，1)，D(1 ，6)在双曲线y＝的图象上，点T在双曲线第－象限上(不同于C，D)，直线TC，TD分别交y轴于E，F，则OF－OE的值是 .
题型二 反比例函数与最值
【例2】如图，双曲线 y＝的第一象限的分支上一动点P，点A(－2，－2)，B(2，2)，则PA－ PB的值为
。
【例3】如图 ，在平面直角坐标系中，直线AB：y1＝x＋m与双曲线C：y2＝ 相交于A，B两点，其中点A(2，5)，AC⊥y轴于点C.
(1)求直线与双曲线的解析式；
(2)直接写出x＜2时，反比例函数值y2的取值范围；
(3)点E为点B下方直线AB上一动点，直线EF⊥AB，分别与直线AB，双曲线C及y轴交于E，F，G三点，求EF· FG的最大值.
针对训练8
1.如图，若直线y＝ －x＋m与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于两个不同点E，F(点E在点F的左边)，与y轴相交于点M。
(1)m的取值范围为 ；
(2)求ME·MF的值。
2.如图，已知反比例函数y＝和一次函数y＝x＋6的图象有一个交点为P(－2，m).
(1)求反比例函数解析式；
(2)若过点P的直线l与反比例函数y＝的图象只有一个交点，求直线l的解析式；
(3)点Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y＝只有一个公共点，且与x轴，y轴分别交于点C，D，直线y＝x＋6与x轴，y轴分别交于点A，B，求四边形ABCD面积的最小值.
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