专题11.5 三角形高线、中线与角平分线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.5  三角形高线、中线与角平分线（知识讲解）【学习目标】 1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段；2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算；3. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【知识点梳理】知识点一、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.                      图一                                   图二注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；特别说明：如图二                           （1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。（2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.知识点二、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.                           图三                                           图四特别说明：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四：知识点三、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.                         图五                                         图六注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .特别说明：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线；图七                         知识点四、三角形的稳定性   三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.   特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】 类型一、三角形的高线（1）、三角形高线的画法1 如图，已知，画出的高AD和CE．  解：如图，AD、CE为所作．
 【点拨】作三角形高线的方法：作一边上的高，就过这边所对的角的顶点作这边所在直线的垂线段。此垂线段就是这边上的高。（2）、三角形高线等面积法的计算2. 如图，已知，按要求作图．（1）过点作的垂线段；（2）过作、的垂线分别交于点、；（3），，，，求点到线段的距离．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点到线段的距离为．       【分析】（1）、（2）根据几何语言作图；（3）利用三角形面积公式得到，然后把，，代入计算可求出． 解：（1）如图，为所作；（2）如图，、为所作；         （3），，即点到线段的距离为．【点拨】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键. 类型二、三角形的中线1）三角形中线中有关线段和角的计算 3.如图，AD为的中线，BE为的中线．（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；（2）若的面积为40，BD边上的高为5，BD为多少？【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接根据三角形的外角性质即可得；（2）先根据三角形的面积公式可得，再根据三角形中线的定义即可得．解：（1）∵是的外角，∴，又∵，，∴；（2）的面积为40，BD边上的高为5，，解得，AD为的中线，，即．【点拨】本题考查了三角形的外角性质、三角形中线的定义等知识点，熟练掌握三角形的相关知识是解题关键．2）与三角形重心有关线段和面积的计算4. 已知点是的重心，连接、，那么_________．【答案】【分析】直接根据三角形重心的性质进行解答即可． 解：连接AG并延长交BC于D∵点G为△ABC的重心，
∴AG=2DG，∴△DGC的面积等于△ADC面积的，△DGB的面积等于△ADB面积的，∴△DGC的面积+△DGB的面积=（△ADC的面积+△ADB的面积）∴△BCG的面积=△ABC的面积∴故答案为：【点拨】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心是三角形三边中线的交点是解答此题的关键．举一反三：【变式1】 如图，点G为△ABC的重心，AG＝4，则中线AD的长为________．【答案】6【分析】根据G是△ABC的重心，利用重心的性质求出GD，然后再将AG+GD即可求出AD．解：∵G是△ABC的重心，AD是中线，AG=4，
∴AG:GD=2:1，∴GD=2
∴AD=AG+GD=6．
故答案为：6．【点拨】此题主要考查了三角形重心的性质这一知识点，比较简单，要求同学们应熟练掌握． 类型三、三角形的角平线1）与三角形的角平分线的有关角和线段计算5． 如图，已知AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=______．【答案】60°【分析】由AD∥BC，∠B=30°，根据平行线的性质，可得∠ADB=30°，又由DB平分∠ADE，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．解：∵AD∥BC，∠B=30°，∴∠ADB=∠B=30°，∵DB平分∠ADE，∴∠ADE=2∠ADB=60°，∵AD∥BC，∴∠DEC=∠ADE=60°．【点拨】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式1】 已知：如图，与点不重合的两点、分别在、上，平分，所在的直线与的平分线所在的直线相交于点．（1）当点、分别在射线、上，且时，求的度数；（2）当点、分别在射线、上运动时，的大小是否发生变化？若不变，请给出证明；若发生变化，请求出的范围．【答案】（1）45°；（2）不变，45°【分析】（1）由题意，先求出，由角平分线的定义，求出，，由三角形外角的性质，即可求出答案；（2）由三角形的外角性质，得，再根据角平分线的定义即可求出答案．     解：（1）∵，即，，∴，∵平分，平分，∴，，∴．（2）的大小不会发生变化，理由如下：∵平分，平分，∴，，∴．【点拨】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握所                   学的知识，正确的得到角的关系．2）与三角形的角平分线的有关线段最值问题 6． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，平分交于点，点、分别是线段、上的动点，求的最小值．【答案】【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质求出CH的长度，CH的长度即为的最小值． 解：如解图，过点作于点，交于点，过点作 于点，     ∵平分，∴．∴．∵，∴此时最短，即的值最小．∵、、，∴，．∴为等腰直角三角形． ∴．∴的最小值为．【点拨】本题考查最短路径问题，过点作于点，根据垂线段最短、角平分线的性质得到CH的长度即为的最小值是解题的关键．质是解题的关键．3）三角形角平分线的有关几何模型7． 如图BO、CO分别平分和，DE过点D且，，，求的周长．【答案】周长为23cm.【分析】根据已知可以推出OD=DB,OE=EC,那么△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=23.解：∵BO、CO分别平分和，，，又．，，，，，，∴周长【点拨】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及定理是解题关键.8． 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…．已知∠A=α，则∠A2018的度数为________（用含α的代数式表示）．【答案】【分析】根据角平分线的定义以及三角形的外角性质可得∠A1＝α，∠A2＝α，∠A3＝α，据此找出规律解答即可． 解：在△ABC中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α，同理可得∠A2＝∠A1＝α，∠A3＝∠A2＝α，……以此类推，∠A2018＝．故答案为：．【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质以及规律探求问题，熟练掌握上述知识是解题的关键． 类型五、三角形的稳定性9. 如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；②四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ．【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可；②根据四边形的不稳定性进行解答即可．【详解】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ．故答案为： 是三角形， 稳定性；②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ．故答案为： 四边形， 稳定性 ．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．举一反三：【变式】 如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？【答案】根木条；根木条．【分析】要使六边形不变形，即需要在内部放入木条，使其变成多个三角形.寻找规律，从四边形需要一根，五边形需要两根，六边形需要三根，同理则n边形需要多少很容易得出规律了. 解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上根木条；要使一个边形木架不变形，至少再钉上根木条．【点拨】本题考查三角形的基本概念以及探索规律的能力，熟记三角形具有稳定性是解答本题的关键.