专题12.5 三角形全等的判定2（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.5  三角形全等的判定2（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“角边角” 全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.             要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：   已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS  SSS 2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1． 如图，已知在中，，，求证：． 【分析】证明，为三角形的全等提供条件即可．证明：，，，，，在和中，≌(ASA) ．     【点拨】本题考查了ASA证明三角形的全等，抓住题目的特点，补充全等需要的条件是解题的关键．举一反三：【变式】 如图，已知：∠AEC=∠ADB，AD=AE．BD与CE相等吗？为什么？    【答案】，理由见解析；【分析】根据三角形全等即可得到结果．解答：，理由如下：在△AEC和△ADB中，，∴，∴．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键．类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、 如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．求证：△ABC≌△EAD．      【分析】根据中点的定义，再根据AAS证明△ABC≌△EAD解答即可．证明：∵C为AE的中点，AE＝4，DE＝2，∴AC＝AE＝2＝DE，又∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠E，在△ABC和△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS）．【点拨】此题考查全等三角形的判定，关键是根据AAS证明△ABC≌△EAD解答．举一反三：【变式1】 将的直角顶点置于直线上，，分别过点 、作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．若， ．求的面积．    【答案】32【分析】根据AAS即可证明，根据全等三角形的对应边相等，得出，，所而，从而求出AD的长，则可得到的面积．解：∵，，∴，∵，∴，在与中， ∴∴，，∵，∴．．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】、 如图，在中，，为的中点，，，垂足为、，求证：． 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据为的中点，得到，再根据，，得到，利用全等三角形的性质和判定即可证明．解：，，，，，为的中点，，在与中，≌，∴．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，找到全等的条件是解题的类型三、添加条件构造三角形全等　3．如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC；（1）若以“SAS”为依据，还缺条件______________；（2）若以“ASA”为依据，还缺条件__________________；（3）若以“AAS”为依据，还缺条件_____________________；【答案】BC=EC    ∠A=∠EDC    ∠ACB=∠DCE (或∠ACD=∠BCE)    【解析】根据三角形全等的判定方法，和题目中所给的条件，依次去判断添加哪一个条件；现有的条件是，∠B＝∠DEC，AB＝DE，如以“SAS”为依据，还缺边相等，找边即可；若以“ASA”为依据，还缺角相等，找角即可；以“AAS”为依据，也是缺角相等，找角即可．解答：∵∠B=∠DEC，AB=DE
∴（1）要利用SAS，则还缺少一边即：BC=EC
（2）要利用ASA，则缺少一角即：∠A=∠EDC
（3）要利用AAS，则缺少一角即：∠ACB=∠DCE．
故填BC=EC，∠A=∠EDC，∠ACB=∠DCE．点睛：本题属开放型的题目，解答关键是明白SAS、ASA、AAS的含义，据已知，缺什么条件，找什么条件，直接或间接的都可以．答案不唯一是本题的特点．要根据已知条件的位置选择方法．【变式1】如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【答案】AC=DF(答案不唯一)，理由见解析【分析】先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．   解答：添加AC=DF．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．考点：全等三角形的判定．【变式2】如图，点D，C分别在线段AB，AE上，ED与BC相交于O点，已知AB＝AE，请添加一个条件（不添加辅助线）使△ABC≌△AED，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．     解：根据SAS可以条件AC＝AD，根据ASA可以条件∠B＝∠C，根据AAS可以条件∠ACB＝∠ADC．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3】如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF.(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果⊗，⊗，那么⊗”)；(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由． 解：(1)命题1：如果①，②，那么③；命题2：如果①，③，那么②(2)命题1的证明：∵①AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵②AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，在△AEC和△DFB中，∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，AC＝DB，∴△AEC≌△DFB(AAS)，∴CE＝BF③(全等三角形对应边相等)；命题2的证明：∵①AE∥DF，∴∠A＝∠D，在△AEC和△DFB中，∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，③CE＝BF，∴△AEC≌△DFB(AAS)，∴AC＝DB(全等三角形对应边相等)，则AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD②.注：命题“如果②，③，那么①”是假命题． 类型四、全等三角形判定的综合训练　4  如图（1），已知中，，；是过的一条直线，且，在的异侧，于，于．（1）求证：；（2）若直线绕点旋转到图（2）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线绕点旋转到图（3）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线在不同位置时与，的位置关系．【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；（4）当，在的同测时，；当，在的异侧时，若，则，若，则【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，则有一个角及斜边相等，则可判定△BAD≌△AEC，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（2）由题中条件同样可得出△BAD≌△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系；
（3）同（2）的方法即可得出结论．
（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论． 解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°
∴∠ABD+∠BAD=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠EAC+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC，
∴BD=DE+CE
（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE
   ∴∠ADB=∠CEA=90°
   ∴∠ABD+∠BAD=90°
   又∵∠BAC=90°
   ∴∠EAC+∠BAD=90°
   ∴∠ABD=∠CAE
   在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE
∴BD=AE，AD=EC
∴BD=DE-CE，
（3）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD与△CAE中，∴△ABD≌△CAE，
  ∴BD=AE，AD=CE，
  ∵DE=AD+AE=BD+CE，
  ∴BD=DE-CE．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE- DE.
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．举一反三：【变式】 如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是线段BC上一个动点，点F在线段AB上，且∠FDB＝∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延长线上．（1）如图2，当点D与点C重合时，试探究线段BE和DF的数量关系．并证明你的结论；（2）若点D不与点B，C重合，试探究线段BE和DF的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）BE＝FD．证明见解析；（2）BE＝FD，证明见解析．【分析】（1）首先延长CA与BE交于点G，根据∠FDB=∠ACB，BE⊥DE，判断出BE=EG=BG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABG≌△ACF，即可判断出BG=CF=FD，再根据BE=BG，可得BE=FD，据此判断即可．
（2）首先过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，根据DG∥AC，∠BAC=90°，判断出∠BDE=∠EDG；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△DEB≌△DEG，即可判断出BE=EG=BG；最后根据全等三角形的判定方法，判断出△BGH≌△DFH，即可判断出BG=FD，所以BE=FD，据此判断即可． 解：（1）如图，延长CA与BE交于点G，∵∠FDB＝∠ACB，∴∠EDG＝∠ACB，∴∠BDE＝∠EDG，即CE是∠BCG的平分线，又∵BE⊥DE，∴BE＝EG＝BG，∵∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFE＝∠CFA，∴∠EBF＝∠ACF，即∠ABG＝∠ACF，在△ABG和△ACF中，，∴△ABG≌△ACF（ASA），∴BG＝CF＝FD，又∵BE＝BG，∴BE＝FD．（2）BE＝FD，理由如下：如图，过点D作DG∥AC，与AB交于H，与BE的延长线交于G，，∵DG∥AC，∠BAC＝90°，∴∠BDG＝∠C，∠BHD＝∠BHG＝∠BAC＝90°，又∵∠BDE＝∠ACB，∴∠EDG＝∠BDG﹣∠BDE＝∠C﹣∠C＝∠C，∴∠BDE＝∠EDG，在△DEB和△DEG中，，∴△DEB≌△DEG（ASA），∴BE＝EG＝BG，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠GDB，∴HB＝HD，∵∠BED＝∠BHD＝90°，∠BFE＝∠DFH，∴∠EBF＝∠HDF，即∠HBG＝∠HDF，在△BGH和△DFH中，，∴△BGH≌△DFH（ASA），∴BG＝FD，又∵BE＝BG，∴BE＝FD．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．类型四、全等三角形判定的实际应用　5、如图，小颖站在堤岸边的A处，正对她的S点停有一艘游艇．她想知道这艘游艇距离她有多远，于是她沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后她向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时她位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小颖与游艇间的距离．请你用所学的数学知识解释其中的道理．【分析】先根据题目条件证明，再由全等三角形的性质即可得到答案；解：根据题意，可知：，，．在和中，所以．所以（全等三角形对应边相等）．即两点间的距离就是在点处小颖与游艇间的距离．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，小明站在乙楼BE前方的点C处，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点，若B、C相距30米，C、D相距60米，乙楼高BE为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD是多少米？【答案】甲楼的高AD是40米．【分析】由图可知，EF∥DC，AD⊥DC，EB⊥BC，证明△AEF≌△ECB，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．  解：∵EF∥DC，AD⊥DC，EB⊥BC，
∴∠AEF=∠C，∠AFE=∠EBC=90°，
∵B、C相距30米，C、D相距60米，
∴EF=DB=BC=30米，
∴△AEF≌△ECB（ASA），
∴AF=BE，
∵DF=BE，
∴AD=2BE=2×20=40（米）．
答：甲楼的高AD是40米．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找出证明三角形全等的条件．