2018-2019学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）的值等于　　

A． B． C． D．1

2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）若一个反比例函数的图象经过，两点，则的值为　　

A．6 B． C．5 D．

4．（3分）已知关于的一元二次方程的一个解为2，则的值为　　

A．0 B．2 C．0或2 D．0或0.5

5．（3分）已知点，在抛物线上，则，的大小关系是　　

A． B． C． D．

6．（3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心在格点上，则的值等于　　

A． B． C．2 D．

7．（3分）直线与直线的交点在第二象限，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图，已知菱形的边长为4，，点为边的中点，点为边上一点，将菱形沿着对折，点的对应点为，则的最短距离为　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，已知的半径为2，四边形为的内接四边形，且，，则的度数为　　

A． B． C． D．

10．（3分）已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为点，抛物线对称轴与轴相交于点，连接、、、，则的值为　　

A． B．2 C．1 D．

二、填空题：（共4小题，每小题3分，计12分）

11．（3分）长为4米的竹竿斜靠在墙上，若竹竿与地面成角，则竹竿下端离墙角的距离为　　米．

12．（3分）已知的半径为2，弦的长为，点为上一点（不与点和点重合），则的度数是　　．

13．（3分）如图，点，是反比例函数图象上的两点，过点、分别作轴于点，轴于点，连接，，若，，则　　．

14．（3分）如图，已知正方形的边长为4，点为的中点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，连接，则的长为 　　．

三、解答题：（共10小题，计78分，解答应写出解题过程）

15．（5分）计算：．

16．（5分）解方程：．

17．（5分）如图，在四边形中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

18．（5分）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接，求证：．

19．（7分）已知甲楼和乙楼之间的有建筑垃圾，小明想通过学习的知识测量甲楼的高度，小明站在点处测得甲楼顶部处的仰角是，小明站在乙楼顶部处测得甲楼底部处的俯角是，已知乙楼的高是米，的距离是15米，请你根据以上数据计算甲楼的高度．（参考数据：，，

20．（7分）某网店销售某款童装，已知该款童装每件成本价40元，市场调查反映，如果每件售价为60元时，那么每星期可卖300件；如果每件售价为50元时，那么每星期可卖600件，若每星期的销量（件与每件童装售价（元之间满足一次函数关系．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？

21．（7分）现有4张卡片，分别标有、、、（四张卡片除字母外，其余完全相同），姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好，姐弟两人同时各随机抽取一张卡片，如果两张卡片上标有的字母大写和小写对应与对应，与对应）则称配对成功．

（1）姐姐从中随机抽出一张卡片，则恰好抽中标有卡片的概率是　　．

（2）请用列表或画树状图的方法，求姐弟两人同时各随机抽取一张卡片配对成功的概率．

22．（7分）如图，是的直径，、分别与相切于点、，交的延长线于点，的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

23．（10分）已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线的顶点记为点．

（1）求、、三点的坐标；

（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，点为抛物线上一点，连接、、，若是以为斜边的等腰直角三角形，求所有满足条件的抛物线的表达式．

24．问题提出：

（1）如图1，利用尺规作劣弧上的距离弦最远的点．

问题探究：

（2）如图2，已知中，，，，点为内一点，若的面积为6，连接，求的最小值．

问题解决：

（3）如图3，某地有四边形，其中，，，，，为了方便钓鱼爱好者，以为边向鱼塘内搭建一个钓鱼台，再过点向鱼塘边搭建一个通道，为了节约成本，要求且最短，试求通道的最小值（通道的宽度忽略不计）．

2018-2019学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1．（3分）的值等于　　

A． B． C． D．1

【解答】解：．

故选：．

2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．

故选：．

3．（3分）若一个反比例函数的图象经过，两点，则的值为　　

A．6 B． C．5 D．

【解答】解：设反比例函数的表达式为，

反比例函数的图象经过，两点，

，

解得，

故选：．

4．（3分）已知关于的一元二次方程的一个解为2，则的值为　　

A．0 B．2 C．0或2 D．0或0.5

【解答】解：把代入，得

，

解得．

故选：．

5．（3分）已知点，在抛物线上，则，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线，

抛物线开口向下，对称轴为直线，

关于对称轴的对称点为，

，

．

故选：．

6．（3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的的圆心在格点上，则的值等于　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：在中，，

，

．

故选：．

7．（3分）直线与直线的交点在第二象限，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：令，

解得，

则．

又交点在第二象限，

，，

即且

解得．

故选：．

8．（3分）如图，已知菱形的边长为4，，点为边的中点，点为边上一点，将菱形沿着对折，点的对应点为，则的最短距离为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，

四边形是菱形，

，，

，

点为边的中点，

，

，，

，

，，

，

，

将菱形沿着对折，

，

点在以点为圆心，为半径的圆上运动，

当点在线段上时，有最小值为，

故选：．

9．（3分）如图，已知的半径为2，四边形为的内接四边形，且，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：作于，于，如图，

，，

在中，，

，

在中，，

，

，

四边形为的内接四边形，

．

故选：．

10．（3分）已知抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为点，抛物线对称轴与轴相交于点，连接、、、，则的值为　　

A． B．2 C．1 D．

【解答】解：由知，，．

设直线与对称轴相交于点，

令，则，

所以，点，

易求直线的解析式为，

，

抛物线对称轴为直线，顶点的坐标为，

当时，，

点，

，，

，，

．

故选：．

二、填空题：（共4小题，每小题3分，计12分）

11．（3分）长为4米的竹竿斜靠在墙上，若竹竿与地面成角，则竹竿下端离墙角的距离为　2　米．

【解答】解：

，，

，

米，

（米，

故答案为：2．

12．（3分）已知的半径为2，弦的长为，点为上一点（不与点和点重合），则的度数是　或．　．

【解答】解：如图，当点在优弧上时，作于，则

在中，，，

，

，

，

，

当点在劣弧上时，，

综上所述，的度数为或．

13．（3分）如图，点，是反比例函数图象上的两点，过点、分别作轴于点，轴于点，连接，，若，，则　9　．

【解答】解：设，则，，

点和点的坐标分别为，，

，

，

，

，

，

故答案为：9．

14．（3分）如图，已知正方形的边长为4，点为的中点，连接，以为直角边作等腰直角三角形，连接，则的长为 　　．

【解答】解：如图，延长，交于点，过点作于，

正方形的边长为4，点为的中点，

，，，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

，

，

又，

，

，

，

，

，，

，

，，

，

，

，

，，

，

，

故答案为：．

三、解答题：（共10小题，计78分，解答应写出解题过程）

15．（5分）计算：．

【解答】解：

．

16．（5分）解方程：．

【解答】解：法1：方程整理得：，

即，

，

，

解得：，；

法2：方程移项得：，

即，

分解因式得：，

可得或，

解得：，．

17．（5分）如图，在四边形中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：如图，点为所作．

18．（5分）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接，求证：．

【解答】证明：四边形是正方形，

，，，

在和中，

，

，

，

，

，

，

又，

．

19．（7分）已知甲楼和乙楼之间的有建筑垃圾，小明想通过学习的知识测量甲楼的高度，小明站在点处测得甲楼顶部处的仰角是，小明站在乙楼顶部处测得甲楼底部处的俯角是，已知乙楼的高是米，的距离是15米，请你根据以上数据计算甲楼的高度．（参考数据：，，

【解答】解：在中，

，米，

（米，

在中，（米，

，

（米，

答：甲楼的高度为40米．

20．（7分）某网店销售某款童装，已知该款童装每件成本价40元，市场调查反映，如果每件售价为60元时，那么每星期可卖300件；如果每件售价为50元时，那么每星期可卖600件，若每星期的销量（件与每件童装售价（元之间满足一次函数关系．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？

【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为，由题意得：

，

解得：，

；

（2）设每星期的销售利润为元，由题意得：

，

，

当时，，

当每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．

21．（7分）现有4张卡片，分别标有、、、（四张卡片除字母外，其余完全相同），姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好，姐弟两人同时各随机抽取一张卡片，如果两张卡片上标有的字母大写和小写对应与对应，与对应）则称配对成功．

（1）姐姐从中随机抽出一张卡片，则恰好抽中标有卡片的概率是　　．

（2）请用列表或画树状图的方法，求姐弟两人同时各随机抽取一张卡片配对成功的概率．

【解答】解：（1）姐姐从中随机抽出一张卡片，则恰好抽中标有卡片的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，姐弟两人同时各随机抽取一张卡片配对成功的结果有4个，

姐弟两人同时各随机抽取一张卡片配对成功的概率为．

22．（7分）如图，是的直径，、分别与相切于点、，交的延长线于点，的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

【解答】（1）证明：、分别与相切于点，，的延长线于点，

，，

又，

，

，

；

（2）如图，连接，

、分别与相切于点，，

，，

，

，

不妨设，，则，，，

在中，，即，

解得，

，

故的半径为3．

23．（10分）已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），抛物线的顶点记为点．

（1）求、、三点的坐标；

（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，点为抛物线上一点，连接、、，若是以为斜边的等腰直角三角形，求所有满足条件的抛物线的表达式．

【解答】解：（1）令，则．

解这个一元二次方程得：或．

点在点的左侧，

，．

，

．

（2）设出平移后得到的抛物线的解析式为，

①如下图，，，过点作轴于点，过作轴于点，

，

，．

，

，

．

轴，轴，

．

．

，

．

．

在和中，

，

．

，．

．

．

将代入得：

，

解得：．

或，

即：或．

②如下图，，，过点作轴于点，过作轴于点，

，

，．

，

，

．

轴，轴，

．

．

，

．

．

在和中，

，

．

，．

．

．

将代入得：

，

解得：．

或．

即：或．

综上，满足条件的抛物线的表达式为：或或或．

24．问题提出：

（1）如图1，利用尺规作劣弧上的距离弦最远的点．

问题探究：

（2）如图2，已知中，，，，点为内一点，若的面积为6，连接，求的最小值．

问题解决：

（3）如图3，某地有四边形，其中，，，，，为了方便钓鱼爱好者，以为边向鱼塘内搭建一个钓鱼台，再过点向鱼塘边搭建一个通道，为了节约成本，要求且最短，试求通道的最小值（通道的宽度忽略不计）．

【解答】解：（1）如图：

分别以、为圆心，大于的线段长为半径作弧，两弧交于，

连接交劣弧于，

则即为所求；

（2）作作于，过作于，过作交于，交于，交于，如图：

，，

，，，

，的面积为6，

，即，

，

的轨迹是平行于且到距离等于3的线段（不包括、，

当与重合时，最小，最小值即为的长，

，，，

四边形是矩形，

，

，

即的最小值为；

（3）以为斜边，在四边形外作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，作作于交于，过作于，如图：

是等腰直角三角形，，

，，，

又，，

，

，

即的轨迹是劣弧（不含、，而当，为与交点时，最小，

，，，

四边形是矩形，

，，

，，

，

在中，，

，

而，

，即最小为．

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日期：2021/12/9 19:03:00；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122