专题12.9 角平分线的性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题12.9  角平分线的性质（知识讲解）【知识回顾】1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。2、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。3、线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题.3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：∵DC平分∠ADB ,又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F，∴PE=PF特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件要点二、角的平分线的判定　 角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F，又∵PE=PF∴DC平分∠ADB ,即点P在∠ADB的平分线上。要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图
 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E.
　　（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
　　（3）作射线OC.∴射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心，三角形内心到这个三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．如图，在中，是的角平分线，，，D是的中点，证明：．【点拨】首先根据角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），即可得证∠B=∠C．证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°∵D是的中点，∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴∠B=∠C．【点拨】此题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质和利用HL证两个三角形全等是解题关键．2．如图，中，，平分，交于点，，，则的长为（  ）A．2 B．3 C．4 D．5 【点拨】过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线上的点到角两边距离相等证明CD=DE，再根据三角形面积公式即可求得DE的长度，从而解决问题．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
∵S△ABD＝AB•DE＝15，且AB=10，
∴DE=3，即CD=DE=3．
故答案为3．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的面积公式等，解题的关键是正确作出辅助线．举一反三：【变式】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD=3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（　　）A．1 B．2 C．2．5 D．3【答案】B【点拨】根据点到直线的距离垂线段最短可知，当DQ与AB垂直的时候最短，再结合角平分线的性质即可求解．【详解】当时，DQ最小，根据角平分线的性质可知，此时DC=DQ，则DQ=2，故选：B．【点拨】本题考查点到直线的距离及角平分线的性质，熟练掌握基本性质和定理是解题关键．3、已知中，，边上的垂直平分线交于，为垂足．（1）若，，求的周长；（2）若平分，求的度数．【点拨】（1）由线段的垂直平分线性质，解得，结合等腰三角形中解题即可；（2）设，由等腰三角形的性质，解得，再由角平分线的性质得到，结合垂直平分线的性质解题即可．解：（1）垂直平分又的周长=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=BC+AB=5+7=12;（2）设平分垂直平分解得【点拨】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式】 已知ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB．求证：OD=OE=OF．解：连接BO、CO、AO，∵BO是的角平分线，且OD⊥BC，OF⊥AB，∴，同理可得，，∴．【点拨】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 类型二、角的平分线的判定4．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．【解析】首先过D作DN⊥AC，DM⊥AB，分别表示出再△DCE和△DBF的面积，再根据条件“△DCE和△DBF的面积相等”可得到BF•DM＝DN•CE，由于CE＝BF，可得结论DM＝DN，根据角平分线性质的逆定理进而得到AD平分∠BAC．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，△DBF的面积为：BF•DM，△DCE的面积为：DN•CE，∵△DCE和△DBF的面积相等，∴BF•DM＝DN•CE，∵CE＝BF，∴DM＝DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．【点拨】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性. 举一反三：【变式】已知：如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E，F为垂足，且DE=DF，点G是BC上的一点，且BG=DG．求证：AB∥DG．证明：连结BD，∵DE⊥AB，DF⊥BC，E，F为垂足，且DE=DF，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BG=DG，∴∠CBD=∠BDG，∴∠ABD=∠BDG，∴AB∥DG．【点拨】本题考查角平分线的性质与等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质与等腰三角形的性质是解题关键．类型三、角的平分线的作图题5．北师版初中数学教科书八年级上册第57页告诉了我们利用尺规作一个角的角平分线的方法：已知：如图，钝角．求作：的角平分线．作法：①以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点D，交OB于点E；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点C；③作射线OC．所以射线OC就是所求作的角平分线．（1）请你根据上述的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）（2）在该作图中蕴含着几何的证明过程：由①可得：；由②可得：______；由③可知：；∴____________（依据_____）．∴可得（全等三角形对应角相等）即OC就是所求作的的角平分线．（3）如图2，点O处是一个老鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正沿着BO向洞口逃窜．若猫以与老鼠相同的速度去追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置M．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）利用作法得到OD＝OE，CD＝CE，加上OC＝OC，则可根据“SSS”判断OCD≌OCE，于是得到∠COD＝∠COE．（3）连接AB．做AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为M，因为速度一样，所以AM的距离等于BM的距离，所以三角形AMB为等腰三角形．因此，AB的垂直平分线必经过M点．解：（1）如图，OC为所作；（2）由①可得：OD＝OE；由②可得：CD＝CE；由③可知：OC＝OC；∴OCD≌OCE（SSS），∴∠COD＝∠COE（全等三角形对应角相等）．即OC就是所求作的∠AOB的角平分线．故答案为：CD＝CE；OCD，OCE，SSS；（3）连接AB．作AB的垂直平分线，则垂直平分线与BO的连接处为M，因为速度一样，所以AM的距离等于BM的距离，所以三角形AMB为等腰三角形．因此，AB的垂直平分线必经过M点．【点拨】本题为三角形综合题，主要考查了角平行线、三角形全等和中垂线的性质以及基本作图，解题的关键是画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式】如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论）【分析】分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线，两条线的交点即为所求．【解答】如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等，再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等，此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P．【点拨】本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用，理解它们的性质是解题关键．