专题13.1 轴对称（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题13.1  轴对称（知识讲解）【学习目标】1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．【要点梳理】要点一、轴对称图形
轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.特别说明：
　　轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.
要点二、轴对称
1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点
　　特别说明：
    轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质
　　轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【典型例题】类型一、轴对称图形的判定 1．如图中，哪一条是轴对称图形？哪一些不是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴．【答案】长方形是轴对称图形，其余不是【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后两部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴.解答：第一幅图，是个矩形，它是轴对称图形，有两条对称轴，均为边的垂直平分线：；第二幅图，是个普通三角形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形；第三幅图，是个平行四边形，找不到对称轴，故其不是轴对称图形.【点拨】理解对称轴的含义是解答此类问题的关键.举一反三：【变式1】 如图所示的四个图形中，从几何图形变换的角度考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．        【答案】图(2)，仅它不是轴对称图形试题分析：观察图形发现（1）（3）（4）都是轴对称图形，而（2）不是轴对称图形，由此即可得出结论．解：（1）（3）（4）都是轴对称图形，而（2）不是轴对称图形．故从几何图形变换的角度考虑，图（2）与其它三个不同．【变式2】 如图，是由4个大小相同的正方形组成的L形图案．(1)请你改变其中一个正方形的位置，使它变成轴对称图形；(2)请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形． 分析：根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出．本题解析：（1）答案不惟一，​（2）答案不惟一，​类型二、成轴对称图形的识别 2．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称．BC与DE的交点F在直线MN上．①指出两个三角形中的对称点；②指出图中相等的线段和角；③图中还有对称的三角形吗？【答案】①A→A，B→D，C →E；②AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E；EF=FC，BF=BD，∠BAE=∠DAC，∠EAF=∠CAF③不另加字母和线段的情况下：ΔAFC与ΔAFE，ΔABF与ΔADF．【详解】试题分析：根据轴对称的性质即可得出答案．试题解析：①A→A，B→D，C →E，②AB=AD，AC=AE，BC=DE，EF=FC，BF=BD，∠BAE=∠DAC，∠EAF=∠CAF∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E．③不另加字母和线段的情况下：ΔAFC与ΔAFE，ΔABF与ΔADF，也都关于直线MN成轴对称．考点：轴对称的性质．举一反三：【变式1】 如图，△ABC 和△关于直线 PQ 对称，△和△关于直线 MN对称.（1）用无刻度直尺画出直线MN；（2）直线 MN 和 PQ 相交于点 O，试探究∠AOA2 与直线 MN，PQ 所夹锐角α的数量关系.【答案】(1)见解析;(2) ∠AO=2α.【分析】（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理．解：（1）如图，连接；作线段的垂直平分线MN．
则直线MN是△和△的对称轴．（2）∠AO 是直线 MN，PQ 所夹锐角α的2倍，理由：∵△和△关于直线MN对称，∴ 与关于MN对称，
∴.又∵△ABC 和△关于直线 PQ 对称，
∴∠AOP=∠OP．
∴∠AO =+∠AOP+∠OP =2（ +∠OP）=2α
即∠AO=2α．【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称的性质求角的度数是解题的关键.【变式2】 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；（1）求证：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．【答案】（1）见解析；（2）（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可；（2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可．（）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，∴，在△ABD和△ACD′中，∵ ，∴ △ABD≌△ACD′（SSS）.（）解：∵≌，∴，∴，∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，∴，即．点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键.类型三、根据成轴对称的两个图形特征进行识别 3．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知点，点和直线． （1）在直线上求作一点，使最短；（2）请在直线上任取一点（点与点不重合），连接和，试说明．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据题意，做点A关于直线的对称点，连接交直线与点P即可；（2）根据两点之间线段最短，结合三角形两边之和大于第三边即可证得．解答：（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于，则点即为所求，作图如下：（2）在直线上任取另一点，连接、、，∵点与关于直线成轴对称，点在直线上，∴，，∵，∴即，∴，∴最小．【点拨】本题考查了点对称的性质，“将军饮马”模型求同侧线段之和最短，三角形三边关系的应用，掌握点的对称性和两点之间线段最短是解题的关键．举一反三：【变式1】 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称．（1）结合图形指出对称点．（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．【答案】解：（1）对称点有A和A'，B和B'，C和C'．（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上．【详解】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．根据轴对称的性质即可得出答案．【变式2】 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km，北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【答案】17km.【分析】首先作点A关于MN的对称点A’,连接A’B，根据轴对称性得出最短距离，然后根据直角三角形的勾股定理得出最短距离为多少.【详解】作点A 关于直线MN的对称点A’,链接A’B，则A’B就是所走的最短路程AA’=4×2=8km∴A’O= AA’＋OA=8+7+15km由勾股定理得(A’B)2= (O A’)2+ (OB) 2=152+82=289∴A’B==17km类型四、根据成轴对称的两个图形特征进行求解 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD'E，连接D'C，若BD＝CD'．（1）求证：△ABD≌△ACD'．（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）由对称得到，再证明 即可；（2）由全等三角形的性质，得到，∠BAC＝=100°，最后根据对称图形的性质解题即可． 解：（1）以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，在△ABD与中， （2） ，∠BAC＝=100°，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△A，∠DAE．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．举一反三：【变式1】 如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，．（1）求出的长度；（2）求的度数．【答案】（1）＝3cm；（2）＝18°【分析】（1）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称确定对称点，从而确定对称线段相等即BC＝ED，即可求出的值；（2）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称，利用轴对称的性质得出对称角∠EAD＝∠BAC，即可解决问题； 解：（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm，
∴BC＝ED＝4cm，
∴BF＝BC−FC＝3cm．（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°，
∴∠EAD＝∠BAC＝76°，
∴∠CAD＝∠EAD−∠EAC＝76°−58°＝18°．【点拨】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式2】 如图，△ABC和△ABD关于直线n的轴对称，点E是线段AB上的一点，不与点A和点B重合，写出图中的全等三角形（只写出全等三角形，不须证明）．【答案】【分析】利用轴对称性质即可找到全等三角形，由轴对称得△ABC≌△ABD，利用全等三角形性质，可证另外两对三角形全等即可． 解：．∵△ABC和△ABD关于直线n的轴对称，∴△ABC≌△ABD，∴AC=AD，∠CAB=∠DAB，BC=BD，∠ABC=∠ABD在△ACE和△ADE中，∴△ACE≌△ADE（SAS），在△BCE和△BDE，∴△BCE≌△BDE（SAS），【点拨】本题考查找出全等三角形，轴对称性质，全等三角形的判定与性质，掌握找出全等三角形方法，轴对称性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．类型五、轴对称的应用  5．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线． 如图所示：运动路线：．【点拨】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质．举一反三：【变式1】 如图，、分别是的边、上的点，在上求作一点，使的周长最小，并说明你这样作的理由． 【分析】由于△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在在AC上找一点N，使MN+PN最小即可，作点P关于直线AC的对称点P′，连接MP′交直线AC于点N，则此时△MNP的周长最小． 解：作点P关于直线AC的对称点P′，连接MP′交直线AC于点N，则PN=P′N，由于△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM是定值，故只需在在AC上找一点N，使MN+PN最小即可；∵此时MN+PN=MN+P′N=MP′，MN+PN最小，∴此时△PMN的周长最小，最小值等于PM+P′M．【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．【变式2】 作图题（不写作法，保留作图痕迹，画出路径即可）（1）请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边反射后，撞到球Q；（2）请你设计一条路径，使得球P依次撞击台球桌边反射后，撞到球Q．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作点P关于AB是对称点，连接Q交AB于M，点M即为所求．（2）作点P关于AB是对称点，点Q关于BC的对称点，连接Q交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．【详解】解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．【点拨】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．【变式3】 如图，长方形台球桌上有两个球，．（1）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边反弹后，正好撞到球；（2）请画出一条路径，使得球撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球．【答案】（1）如图，点M即为所求；（2）如图，点E，点F即为所求．【分析】（1）作点P关于AB是对称点P′，连接QP′交AB于M，点M即为所求．（2）作点P关于AB是对称点P′，点Q关于BC的对称点Q′，连接QP′交AB于E，交BC于F，点E，点F即为所求．【详解】解：（1）如图，点M即为所求．（2）如图，点E，点F即为所求．【点拨】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．类型六、折叠问题  6．如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD．（1）求△AED的周长；（2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数．【答案】（1）7cm；（2）65°【分析】（1）先根据折叠的性质可得BE=BC，DE=CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长=AC+AE，即可得出答案；（2）由折叠的性质可得∠C=∠DEB=100°，∠BDE=∠CDB，由三角形的外角性质可得∠ADE=50°，即可求解． 解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），∴△AED的周长＝AD＋DE＋AE＝AD＋CD＋AE＝AC＋AE＝5＋2＝7（cm）；（2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB，∵∠DEB＝∠A＋∠ADE，∴∠ADE＝100°﹣50°＝50°，∴∠BDE＝∠CDB＝＝65°．【点拨】本题考查了翻折变换的性质，三角形的外角性质，三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．举一反三：【变式1】 如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求的周长【答案】7cm【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，
∴DE=CD，BE=BC，
∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE，
=AD+CD+AE，
=AC+AE，
=5+2，
=7cm．【点拨】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．【变式2】 (1)如图①，有一张长方形纸片，如图②，将它折叠，使边落在边上，折痕为，如图③，再将折叠，使点与点重合，折痕为．如果图①中的，图③中的，那么         ．(2)定义一种新运算“※”，规定※，其中、为常数，且，2※，则1※   ．【答案】(1)3;(2)10.【分析】(1)根据折叠的性质列出等式代入数据求值即可.(2)根据新定义的运算规律,先求出a、b,再代入数求值即可.解答：(1)由折叠可知：BM=AB=（AD+BD）=BD+MD，
又∵AD=5cm，MD=1cm，
∴（5+BD）=BD+1
解得BD=3．(2)由，2※可得:，解得:1※3=【点拨】本题考查折叠的性质及新定义,关键在于结合图形找到等式及理解新定义算法.类型七、关于轴对称的作图  7．（1）如图，已知五边形ABCDE是轴对称图形，点B、E是一对对称点．请用无刻度的直尺画出该图形的对称轴．(保留作图痕迹，不要求写作法)（2）一个多边形的内角和与外角和的和是1440°，求它的边数．【分析】五边形ABCDE是轴对称图形，点B、E是一对对称点，则C、D为一对对称点，故连接BD，CE，可以利用三角形全等说明直线l即为所求；(2)根据n边形内角和(n-2)·180°和多边形外角和360º解答即可.解：（1）如图，直线l为该图形的对称轴，（2）设它是n边形，依题意得：(n-2)·180°+360°=1440°，解得：n=8.故答案为：(1)见解析；(2)8.【点拨】本题考查了轴对称图形的概念，作对称轴的方法.已知多边形的内角和求边数，可以转化为解方程的问题解决.举一反三：【变式1】 如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图1中，画出过点A的正五边形的对称轴；（2）在图2中，画出一个以点C为顶点的720的角. 【分析】(1)根据对称轴的性质，过A点作AG⊥CD，垂足为G，AG所在直线即为所求.（2）根据正五边形的性质，过点C连接点A即可推出∠ACD=72°（1）解答：如图，过A点作AG⊥CD，垂足为G，AG所在直线即为所求（2）如图，连接CA∠BCA=∠ACD=∠BCD∠BCD=108°∠ACD=72°【点拨】本题考查作图，熟练掌握轴对称的性质是解题关键.【变式2】 如图，已知扇形OAB与扇形O′A′B′成轴对称，请你画出对称轴．       【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此解答即可．解答：如图所示，直线MN即为所求作的对称轴.【点拨】此题考查了根据轴对称图形定义画出轴对称图形的对称轴的方法．类型八、对称轴条数  8．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格：正多边形的边数34567…对称轴的条数     …根据上表，猜想正n边形有________条对称轴．【答案】对称轴见解析；3，4，5，6，7；n.【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可解答．【详解】解：如图．故表格中依次填3，4，5，6，7；猜想正n边形有n条对称轴．【点拨】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键.