专题13.3 垂直平分线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题13.3  垂直平分线（知识讲解）【学习目标】1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线．2．能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．【要点梳理】定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
　  性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．特别说明：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.【典型例题】类型一、垂直平分线性质 1．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．（1）若，则的度数是          ；（2）连接，若，的周长是．①求的长；②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．【答案】（1）50° （2）① 6cm；②存在点P，点P与点M重合，△PBC周长的最小值为【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝70°,在△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠A＝40°，在△AMN中，根据三角形内角和定理求得∠NMA＝50°;（2）①根据线段垂直平分线可得AM＝BM，根据△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM即可求解；②根据对称轴的性质可知，M点就是点P所在的位置，△PBC的周长最小值就是△MBC的周长．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°－70°－70°＝40°∵MN垂直平分AB交AB于N∴MN⊥AB, ∠ANM＝90°，在△AMN中，∠NMA＝180°－90°－40°＝50°；（2）①如图所示，连接MB，∵MN垂直平分AB交于AB于N∴AM＝BM，∴△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM＝BC＋AC＝又∵AB＝AC＝8cm，∴BC＝14 cm－8 cm＝6cm；②如图所示，∵MN垂直平分AB，∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；∴△MBC的周长就是△PBC周长的最小值，∴△PBC周长的最小值＝△MBC的周长＝．【点拨】本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题．解题的关键是熟练掌握这些知识点． 举一反三：【变式1】 已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF是CD的垂直平分线，求证：∠B=∠E．解：证明：连接AC，AD∵AF⊥CD且F是CD的中点∴可知AF是CD的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等∴AC=AD，在和中 【变式2】 已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM=CN；（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠DCB=35°【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）由HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出∠ADM=∠ADN=55°，由于∠BDM=∠CDN，因此∠BDC=110°，因此∠EDC=55°，根据两角互余的关系即可求得∠DCB的度数．解：（1）证明：连接BD、CD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB=DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，∴BM=CN；（2）由（1）得：∠BDM=∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，∴∠ADM=∠ADN∵∠BAC=70°∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，∵∠BDM=∠CDN∴∠BDC=∠MDN=110°∵AD是BC的垂直平分线∴∠EDC=55°∴∠DCB=90°-∠EDC=35°∴∠DCB=35°故答案为∠DCB=35°．【点拨】考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式3】 如图，直线l与m分别是边AC和BC的垂直平分线，它们分别交边AB于点D和点E.（1）若，则的周长是多少？为什么？（2）若，求的度数.【答案】（1）10；（2）【分析】根据垂直平分线定理即可推出，同理，即的周长为10由垂直平分线定理可得，，再根据三角形内角和定理，即，再由三角形外角和定理得 ，即可计算出.解：（1）的周长为10∵l是AC的垂直平分线∴同理∴的周长（2）∵l是AC的垂直平分线∴同理∴，∵①∴∵∴②联立①②，解得：【点拨】本题考查垂直平分线和三角形的内角和定理，熟练掌握垂直平分线定理推出=AB是解题关键. 类型二、垂直平分线判定 2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， （1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【答案】（1）65°（2）证明见解析【分析】（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°； （2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键. 举一反三：【变式1】 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。【分析】由DE⊥AB,DF⊥AC，得出∠AED=∠AFD；因为AD是△ABC的角平分线，可得∠1=∠2，DE=DF，推出△AED≌△AFD，即AE=AF，所以点A在EF的垂直平分线上，又DE=DF，推出点D在EF的垂直平分线上，即可证明AD垂直平分EF；解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2，DE=DF，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），∵DE=DF，∴点D在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF.【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，全等三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义，全等三角形的性质是解题的关键. 【变式2】 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 已知AD=2cm，BC=5cm.（1）求证：FC=AD；（2）求AB的长.    【答案】（1）证明见解析 ；（2）AB=7cm.试题分析：（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．试题解析：（1）∵AD∥BC∴∠ADC=∠ECF ，∵E是CD的中点，∴DE=EC ，∵在△ADE与△FCE中， ，∴△ADE≌△FCE(ASA) ，∴FC=AD ；（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF ，∵BE⊥AE ，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF ，∴AB=BC+AD=5+2=7(cm). 【变式3】 如图所示，在中，是平分线，的垂直平分线分别交延长线于点.求证：.证明：∵平分∴           (角平分线的定义)∵垂直平分∴           （线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）∴（                 ）∴（等量代换）∴（                 ）【答案】，；，；等边对等角；内错角相等，两直线平行.【分析】根据角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等边对等角解决问题即可.解：证明:AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC(角平分线的定义)EF垂直平分AD∴FD＝FA(线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等)∴∠BAD＝∠ADF(等边对等角)∴∠DAC＝∠ADF(等量代换)∴DF∥AC(内错角相等两直线平行)故答案为:BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 类型三、垂直平分线的应用 3．如图，在△OBC中，边BC的垂直平分线交∠BOC的平分线于点D，连接DB，DC，过点D作DF⊥OC于点F.(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数； (2)若∠BOC＝，则∠BDC＝        ；（直接写出结果）(3)直接写出OB，OC，OF之间的数量关系. 【答案】（1）120°；（2）180°－α；（3）OB＋OC＝2OF【分析】(1)首先过点D作DE⊥OB于E，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由∠EOF+∠EDF=180゜，即可求得答案；(2)由（1），可求得∠BDC的度数;(3) OB＋OC＝OE＋OF＝2OF解：(1)过点D作DE⊥OB，交OB延长线于点E，DF⊥OC于F，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴△DEB≌△DFC（HL）∴∠BDE=∠CDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠EOF+∠EDF=180゜，∵∠BOC=60゜，∴∠BDC=∠EDF=120゜．（2）∵∠EOF+∠EDF=180゜，∵∠BOC=α，∴∠BDC=∠EDF=180゜-α．故答案为：180゜-α．（3）由（1）知OB＋OC＝OE＋OF＝2OF【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 举一反三：【变式1】 如图，中，，，．（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）．【分析】（1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线即可．（2）设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：（1）如图直线即为所求．（2）∵垂直平分线段，∴，设，在中，∵，∴，解得，∴．【点拨】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式2】 如图，点和点在内部．（1）请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说明作图理由．【分析】（1）由垂直平分线性质可知点到点和点的距离相等即点P在MN的垂直平分线，由角平分线的性质可知两边的距离相等，即点P在∠AOB的角平分线上.分别作出MN的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为所求.（2）根据作法即可说出理由.解：（1）如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等；（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．【点拨】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式3】 如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC=60°，猜测DG与AG间有何数量关系？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）AG=3DG，理由见解析.【分析】(1)、根据角平分线的性质得出DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，从而得出∠DEF=∠DFE，则∠AEF=∠AFE，从而说明AE=AF，即点A、D都在EF的垂直平分线上，得出答案；(2)、根据∠BAC=60°，AD平分∠BAC得出AD=2DE，根据∠EGD=90°，∠DEG=30°得出DE=2DG，从而说明AD=4DG，即AG=3DG.解：(1)、∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，∴∠DEF=∠DFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF ∴点A、D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF．(2)、AG=3DG．∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=30°，∴AD=2DE，∠EDA=60°，∵AD⊥EF，∴∠EGD=90°，∴∠DEG=30°  ∴DE=2DG，∴AD=4DG，  ∴AG=3DG．考点：(1)、角平分线的性质；(2)、中垂线的性质. 类型四、作图-垂直平分线 4．如图，在中．利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；利用尺规作图，作出中的线段PD．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑【分析】由点P到AB的距离的长等于PC的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．解：如图，点P即为所求；如图，线段PD即为所求．【点拨】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． 举一反三：【变式1】 尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）【分析】分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．解答：如图，点P为所作．【点拨】本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 【变式2】 如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．解答：如图，点M即为所求，作法：如解图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接；以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于、，连接，则的延长线与的延长线的交点即为所求的点.【点拨】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键． 【变式3】 已知，按下列要求：（尺规作图，保留痕迹，不写作法）（1）作边上的高；（2）作的平分线．（尺规作图）（3）作出线段的垂直平分线．（尺规作图）【分析】（1）根据钝角三角形高的做法即可；（2）根据角平分线的尺规作图方法即可；（3）根据线段垂直平分线的尺规作图方法即可．解：（1）如图所示：AD为BC边上的高．（2）如图所示：BE为△ABC的平分线．（3）如图所示：为线段的垂直平分线．【点拨】本题考查了钝角三角形的高、角平分线、线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键掌握相应的作图方法