专题13.5 画轴对称图形（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题13.5  画轴对称图形（知识讲解）

【学习目标】

1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形．

2．能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.

3．运用所学的轴对称知识，认识和掌握在平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．

4．能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．

【要点梳理】

要点一、对称轴的作法
    若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．

特别说明：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

 要点二、 用坐标表示轴对称
1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
　 已知P点坐标，则它关于轴的对称点的坐标为，如下图所示：

　  即关于轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系
　 已知P点坐标为，则它关于轴对称点的坐标为，如上图所示．
　 即关于轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系
　 P点坐标关于直线的对称点的坐标为．

　 P点坐标关于直线的对称点的坐标为．

【典型例题】

类型一、对称轴 

1．如图，两个三角形成轴对称，画出对称轴．

 【分析】连接一对对应点AB，作AB的垂直平分线即可得出答案

解答：连接一对对应点AB，作AB的垂直平分线即可得出答案．

【点拨】此题主要考查了利用轴对称设计图案，解决此类问题的关键是熟练掌握其性质，根据要求找出对应点再画图形．

举一反三：

【变式1】 如图，已知和关于某直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

 【分析】利用关于直线成轴对称的性质作出AD的垂直平分线进而得出答案．

解答：如图，

（1）连接；

（2）分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点．

（3）作直线．

即为所求．

【点拨】本题主要考查了画对称轴，根据关于直线对称的对应点的性质得出是解题关键．

【变式2】 如图，在平面直角坐标系中，已知，点M与关于直线l成轴对称．

（1）在题图中画出直线l及线段关于直线l对称的线段；

（2）求的面积．

【答案】(1)画图见解析，(2)6．

【分析】(1)根据轴对称的性质，画的垂直平分线即可；再根据轴对称的性质画出点即可；

(2)根据三角形面积公式计算即可．

解答：(1)直线l如图所示；线段关于直线l对称的线段如图所示；

(2) 的面积为：．

【点拨】本题考查了轴对称变换，解题关键是熟悉轴对称的性质，会准确画图，正确计算．

【变式3】 请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图1，四边形中，，，画出四边形的对称轴；

（2）如图2，四边形为等腰梯形，，，画出等腰梯形的对称轴．

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【分析】（1）作直线AC，就是所求的对称轴；

（2）连接AC，BD，得到一个交点，延长BA，CD，得到另外一个交点，再过两个交点画直线，即可．

解答：(1)作直线AC，即为直线m，如图①，直线m即为所求；

(2)连接AC，BD，得到一个交点，延长BA，CD，得到另外一个交点，再过两个交点画直线n，如图②，直线n即为所求．

【点拨】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，熟练掌握轴对称图形的性质，是解题的关键．

类型二、画轴对称图形 

2．如图，以树干为对称轴，画出树的另一半．

 【分析】首先找出图形中的关键点，接下来作出其关于对称轴的点，然后将对应的点连接，据此进行解答即可．

解答：作图如下：

【点拨】本题考查了轴对称图形，熟练掌握作一个图形的轴对称图形的方法是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，请在下面每一个图中，作出一个与成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）

 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．

解答：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示（答案不唯一）：

【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．

【变式2】 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A（1，4），点B（-1，0），点C（1，2）．

（1）请在图中画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；(画出一个即可)

（2）求出你所画图形与△ABC的面积之和．

【答案】（1）见解析；（2）4．

【分析】（1）根据轴对称的性质和题意作图即可；

（2）根据轴对称的性质和三角形的面积公式求解即可．

解答：（1）如图，△A'BC即为所求（答案不唯一）：

（2）两三角形的面积和为：．

【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、轴对称的作图，理解轴对称的性质成为解答本题的关键．

【变式3】 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．

（1）画出与关于x轴对称的图形；

（2）写出各个顶点的坐标；

（3）求的面积．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【分析】（1）先利用轴对称的特点确定对应点，然后再将对应点顺次连接即可；

（2）根据平面直角坐标系直接写出各点坐标即可；

（3）用所在的最小矩形面积减去三个三角形的面积即可．

解答：（1）如图，即为所求；

（2）；

（3）．

【点拨】本题主要考查了轴对称作图、平面直角坐标系以及求不规则三角形的面积，掌握轴对称作图以及用分割法求不规则三角形的面积成为解答本题的关键．

类型三、设计轴对称图案 

3．现有如图1所示的两种瓷砖，请你从两种瓷砖中各选两块，拼成一个新的正方形，使拼成的图案为轴对称图形，如图2，要求：在图3，图4中各设计一种与示例拼法不同的轴对称图形．

 【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．

解答：依照轴对称图形的定义，设计出图形，如图所示．

【点拨】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称定义得出是解题关键．

举一反三：

【变式1】 如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．

【答案】图见解析．

【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．

解答：如图所示（选其中两种即可）：

【点拨】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的概念，灵活应用所学知识解决问题．

【变式2】 阅读与写作：浙教版八年级上册第2章《目标与评定》栏目中有如下一题：

阅读本材料后，按要求完成下列问题：

（1）完成本问题的解答．

（2）围绕“轴对称图形”这一主题撰写一篇数学小文章，题目自拟（要求：书写端正，字数限于100字内．）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据轴对称图形的定义和性质画图即可；

（2）围绕“轴对称图形”的定义和性质以及特点书写即可．

解答：（1）如图所示：

（2）轴对称图形是沿着某直线折叠后，直线两旁的部分互相重合的图形，这条直线就是他们的对称轴，左右两边的长度、面积、形状等都完全相等，只有方向是相反的．对称图形不仅外表看上去十分美观，而且在生活中也很实用，数学中的长方形、正方形、圆等都是轴对称图形．

【点拨】本题考查了轴对称图形的定义和性质，解题的关键是灵活运用该性质进行画图，联系相关数学知识进行文章创作．

【变式3】 动手操作：如图是相同的的正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，对剩余的13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使黑色方格图形成为轴对称图形．请你在下图中分别完成作图．（完成三种图形即可）

 【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案

解答：如图：（任选三种即可）

【点拨】此题考查轴对称设计图案，掌握轴对称的性质是解题的关键.

类型四、平面直角坐标系中的轴对称 

4．在平面直角坐标系中．

（1）如何确定一个给定的点的坐标？请你举例说明．

（2）某个图形上各点的纵坐标不变，而横坐标变为原来的相反数，此图形却未发生任何改变，你认为可能吗？请举例说明．

【答案】（1）过已知一个确定的点，分别向x轴，y轴作垂线，垂足在坐标轴上对应的实数分别作为一对有序数对，这便是已知一个点的坐标；见解析；（2）可能，见解析

【分析】（1）根据点的坐标的定义即可得到答案；

（2）由题意可知满足条件的有关于y轴对称的图形或轴对称图形．

解答：（1）过已知一个确定的点，分别向x轴，y轴作垂线，垂足在坐标轴上对应的实数分别作为一对有序数对，这便是已知一个点的坐标，如下图点A，横坐标对应5，纵坐标对应3，故点A(5，3)；

（2）可能，本身关于y轴对称的图形，例如上图中关于y轴对称的△BCD．

【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标问题以及轴对称与图形的变化问题，知道数轴上的点和实数是一一对应关系，明确点的坐标的定义及轴对称变换的特征是解题的关键．

举一反三：

【变式1】 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中建立恰当的平面直角坐标系，且使点的坐标为；

（2）在（1）中建立的平面直角坐标系内画出关于轴对称的；

（3）点的坐标为_____

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】（1）根据题意作出平面直角坐标系即可；

（2）作出A、B、C三点关于y轴的对称点A1、B1、C1；

（3）根据（2）中所作图形，写出点的坐标即可．

解答：（1）平面直角坐标系如图所示；

（2）如图：△A1B1C1为所画图形；

（3）如图，．

【点拨】本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握对称轴的性质，属于中考常考题型．

【变式2】 在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）作出关于y轴对称的三角形；并写出点、、的坐标（______，______），（______，______），（______，______）；

（2）点D坐标为，在y轴上找到一点P，使的值最小，画出符合题意的图形并直接写出点P坐标．P（______，______）．

【答案】（1）作图见解析；2，3；3，2；1，1；（2）作图见解析；0，1

【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置进而得出答案．

解答：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；由图可知，(2，3)，(3，2)，(1，1)．

故答案为：2，3；3，2；1，1；

（2）如图所示：P点即为所求，P(0，1)．

故答案为：0，1．

【点拨】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，根据题意得出对应点位置是解题关键．

 类型五、几何变换-轴对称综合题 

6．如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．

（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．

（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．

（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．

【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析．

【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；

（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；

（3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．

解答：（1）如图，△A'B'C'即为所求；

（2）△ABC的面积为：×3×2＝3；

（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．

所以点P即为所求．

【点拨】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质和两点之间线段最短．

举一反三：

【变式1】 如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上．请用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，在边上画一点E，使；

（2）如图2，在边上画一点F，使．

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【分析】（1）取AD的中点，即可得到点E，使得；

（2）作点C关于AD的对称点C′，连接BC′，交AD于点F，即为所求点．

解答：（1）如图所示；

（2）如图所示．

【点拨】本题主要考查方格纸中的画图，掌握轴对称的性质是解题的关键．

【变式2】 如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一个点C，使最短，并说明理由．

【答案】画图见解析；理由见解析．

【分析】利用对称性确定出点C的位置，用三角形的三边关系加以证明．

解答：理由如下：

在直线l上任意取一点P，点B关于l的对称点为，

连接，，．

∵，，，

∴．

【点拨】本题考查轴对称、三角形的三边关系，比较基础．