专题14.3 幂的乘方（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.3 幂的乘方（知识讲解）【学习目标】1. 掌握幂的乘方运算法则；能用代数式和文字语言正确地表述幂的乘方运算法则，并能运用它们熟练地进行运算；能用幂的乘方运算法则进行逆运算，并能运用它们熟练地进行运算；能用同底数幂相乘和幂的乘方法则熟练地进行混合运算。【要点梳理】知识要点一、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.公式的推广： (，均为正整数)知识要点二、同底数幂的逆运算法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【典型例题】类型一、幂的乘方运算 1．计算题（结果用幂的形式表示）：（1）       （2）       （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）（2）（3）根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则计算即可．解：（1）       ==；（2）       ==；（3）====【点拨】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．举一反三：【变式1】计算：（1） （2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由幂的乘方：底数不变，指数相乘，从而可得答案；（2）先计算 再利用同底数幂的乘法计算即可得到答案．解：（1）；（2）．【点拨】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，乘方符号的确定，掌握以上知识是解题的关键．【变式2】已知为正整数，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1） ；（2）368【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简，再将代入进行计算即可；（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简，再将代入进行计算即可；解：（1）∵∴；（2）∵∴【点拨】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法法则，解题的关键是熟练掌握幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【变式3】已知：an=2, am=3,ak=4,试求a2n+m-2k的值.【答案】【分析】根据幂的乘方，同底数幂的除法、乘法运算的逆用，即可得到答案.解：====；【点拨】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法、乘法，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，同底数幂的除法、乘法的运算法则.类型二、幂的乘方的逆运算 2．根据已知求值：（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）10；（2）【分析】（1）根据同底数幂的乘法公式的逆运算即可求解；（2）把等式左边全部化为以3为底的数即可求解.解：（1）（2） 【点拨】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式的逆用.举一反三：【变式1】已知：，，求值：（1）          （2）【答案】（1）25；（2）50【分析】（1）根据幂的乘方法则求解即可；（2）根据同底数幂的乘法法则求解即可．解：（1）原式＝＝＝25；（2）原式＝＝＝50．【点拨】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方法则的逆运用，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则．【变式2】已知：3x=2，3y=5，求3x+y+32x+3y的值．【答案】510【解析】分析：逆用幂的乘方、同底数幂的乘法法则求解即可.解：3x+y+32x+3y=3x·3y+32x·33y=10+（3x）2·（3y）3=10+4×125=510．  点睛：本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法的乘方,解答本题的关键是掌握幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则.【变式3】若， 求的值．【答案】162【分析】根据同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可．解：∵∴====162【点拨】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键．类型二、幂的混合运算 2．计算：（1）；                   （2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先进行幂的运算再合并同类项；（2）先进行幂的乘方运算，再进行同底数幂的乘除运算．解：（1）原式；（2）原式．【点拨】本题考查整式的运算和幂的运算，解题的关键是掌握这两个运算方法．举一反三：【变式1】计算题．（1）．         （2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先计算积得乘方，再按单项式的乘法法则运算即可；（2）先计算积得乘方，再按单项式的乘除法则运算即可．解：（1）原式．（2）原式．【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式2】计算：（1）                 （2）(－x2y3)4（3）(－8)2017×(－0.125)2017         （4）(－xy2)3【答案】(1)y10 ；(2) x8y12； (3) 1； (4) -x3y6.【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方公式及幂的乘方公式进行计算即可.解：（1）==y10（2）(－x2y3)4= x2×4y3×4= x8y12（3）(－8)2017×(－0.125)2017 =[(－8)×(－0.125)] 2017=12017=1,（4）(－xy2)3= -x3y2×3= -x3y6.【点拨】此题主要考查幂的计算，解题的关键是熟知同底数幂的乘法公式、积的乘方公式及幂的乘方公式.【变式3】（1）若的值；（2）若求的值；【答案】（1）144；（2）27；【解析】分析：（1）根据积的乘方和幂的乘方法则的逆运算，即可解答；（2）根据同底数幂乘法、除法公式的逆运用，即可解答．详解：（1）（x2y）2n=x4ny2n=（xn）4（yn）2=24×32=16×9=144；（2）32a﹣4b+1=（3a）2÷（32b）2×3=36÷4×3=27．点睛：本题考查的是幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法，掌握它们的运算法则及其逆运算是解题的关键．