专题14.12 平方差公式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.12  平方差公式（知识讲解）【学习目标】1. 掌握平方差公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　2. 学会运用平方差公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式的逆运算解决问题【要点梳理】要点一：平方差公式平方差公式：  语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 要点二：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，xyyxx2y2② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4④ 系数变化，2ab2ab4a2b2⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2⑦ 连用公式变化，xyxyx2y2x2y2x2y2x4y4⑧ 逆用公式变化，xyz2xyz2                      xyzxyzxyzxyz                      2x2y2z                      4xy4xz【典型例题】类型一、利用平方差公式进行运算 1．运用平方差公式计算：（1）；                      （2）；（3）；              （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）利用平方差公式计算得出;(2)将原式变形为，再利用平方差公式计算得出.（3）连续用平方差公式计算即可；（4）原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】解：（1）（2）= （3）（4），，【点拨】本题考查利用平方差公式进行整式的混合运算,关键掌握平方差公式的特征,正确运用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2计算即可．举一反三：【变式1】用简便方法计算：20152－2014×2016【答案】1 利用平方差公式将后面的进行简便计算，从而得出答案．解：原式．4．已知，求的值．【答案】-15【分析】先变形，再代入求出即可． 解：∵x+y=3，x-y=5，∴y2-x2=-（x2-y2）=-（x+y）（x-y）=-1×3×5=-15，故答案为：-15．【点拨】本题考查了平方差公式，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：（m+n）（m-n）=m2-n2．【变式2】 先化简，再求值．（x-3）（x＋2）-（3＋x）（3-x）-2x（x-2）其中，x＝2．【答案】【分析】由多项式乘以多项式、平方差公式、单项式乘以多项式等乘法法则，化简括号，再合并同类项，最后代入x＝2计算解题即可．【详解】（x-3）（x＋2）-（3＋x）（3-x）-2x（x-2）当时，原式【点拨】本题考查整式的化简求值，其中涉及平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式3】某同学在计算3（4+1）（+1）时，把3写成(4﹣1)后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（+1）=（4﹣1）（4+1）（+1）=（﹣1）（+1）=﹣1=255．请借鉴该同学的经验，计算：．【答案】2.【解析】试题分析：原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．  解：原式===2．考点：平方差公式．【变式4】计算：.【答案】2 【分析】在前面乘一个2×（1-），然后再连续利用平方差公式计算.解：原式=2（1-）（1+）…（1+）+=2（1-）+=2-+=2【点拨】本题考查了平方差公式的运用，添加2×（1-）是解题的关键.类型二、平方差公式与几何图形 2．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．【答案】（1）矩形的周长为4m；（2）矩形的面积为33．【分析】（1）根据题意和矩形的周长公式列出代数式解答即可．（2）根据题意列出矩形的面积，然后把m=7，n=4代入进行计算即可求得.【详解】（1）矩形的长为：m﹣n，矩形的宽为：m+n，矩形的周长为：2[(m-n)+(m+n)]=4m；（2）矩形的面积为S=（m+n）（m﹣n）=m2-n2，当m=7，n=4时，S=72-42=33．【点拨】本题考查了矩形的周长与面积、列代数式问题、平方差公式等，解题的关键是根据题意和矩形的性质列出代数式解答．举一反三：【变式1】乘法公式的探究及应用.小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是_______ (写成两数平方差的形式)；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是_______，长是______，面积是_________ (写成多项式乘法的形式).小题3：比较图 1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式________ (用式子表达).【答案】小题1： ；小题2： ，，；小题3： 【分析】对于小题1，利用正方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；
对于小题2，利用长方形面积的计算公式并结合已知表示出阴影部分的面积即可；
对于小题3，由图②与图①阴影部分的面积相等即可得到答案，注意乘法公式等号右边是展开的形式.【详解】小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积；故答案为：；                     小题2：由图可知矩形的宽是，长是，所以面积是；故答案为：，，； 小题3：(等式两边交换位置也可)；故答案为：.【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是读懂题意，掌握平方差公式.【变式2】如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．【答案】解：（1）.（2）.【详解】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴． S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）； （2）根据题意得： （a+b）（a-b）= ．【变式3】从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为 b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．（1）上述操作能验证的等式是     （请选择正确的一个）A．a﹣2ab+b＝（a﹣b）B．a﹣b＝（a+b）（a﹣b） C．a+ab＝a（a+b）（2）若 x﹣9y＝12，x+3y＝4，求 x﹣3y 的值；（3）计算：．【答案】（1）B   （2）3  （3）【分析】（1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积，即可得解；（2）利用（1）的结论求解即可；（3）利用（1）的结论进行化简计算即可．【详解】（1）根据阴影部分的面积可得故上述操作能验证的等式是B；（2）∵∴∵∴∴；（3）   ．【点拨】本题考查了平方差公式的证明以及应用，掌握平方差公式的证明以及应用是解题的关键．