专题14.22 因式分解-十字相乘法（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.22  因式分解-十字相乘法（知识讲解）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.【要点梳理】 要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”　　（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.【典型例题】类型一、十字相乘法 1、 利用多项式的乘法法则可以推导得出：==型式子是数学学习中常见的一类多项式，因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 ①因此，利用①式可以将型式子分解因式．例如：将式子分解因式，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此利用①式可得．上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）这样，我们也可以得到．这种方法就是因式分解的方法之一十字相乘法．（1）利用这种方法，将下列多项式分解因式：     （2）【答案】（1）；；（2）【分析】（1）前一个仿照阅读材料中的方法将原式分解即可，后一个把看作是一个整体，再分解即可；
（2）把()看作成一个整体，仿照阅读材料中的方法将原式分解，再利用完全平方公式二次分解即可．
解：（1）；；（2）．【点拨】本题考查了因式分解的方法-十字相乘法和公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．注意达到每一个多项式因式不能再分解为止．举一反三：【变式1】．完成下面的填空（________）（________）；（________）（________）；（________）（________）；（_______）（_______）；（______）（______）；（______）（______）．【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可得．解：；；；；；；故答案为：；；；；；．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键． 2、（2019·广西百色市·八年级期中）以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（  ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．【详解】∵∴．故选：D．【点拨】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．举一反三：【变式】运用十字相乘法分解因式：（1）；                     （2）；（3）；              （4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）直接运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可；（2）ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）；（3）同（2）；（4）把()当作一个整体，运用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）分解因式得出即可解：（1）．（2）．（3）．（4）．【点拨】本题主要考查了十字相乘法分解因式；熟练掌握十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．3、 阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：例：分解因式：解：如图1，其中，，而所以而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式例：分解因式解：如图3，其中，，而，，所以请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①            ．②            ．（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．【答案】（1）；；（2）61或-82．【分析】（1）结合题意画出图形，即可得出结论；（2）用十字相乘法把能分解的几种情况全部列出求出m的值即可．解：（1）①如下图，其中，所以，；②如下图，其中，而，所以，；（2）如下图，其中，而或，∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．【点拨】本题考查的知识点是因式分解-十字相乘法，读懂题意，掌握十字相乘法分解因式的步骤是解此题的关键． 类型二、十字相乘法综合练习 .对下列各代数式进行因式分解（1）    （2）（3）    （4）（5）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）先提取公因式，得到，再利用十字相乘法分解即可；（2）直接应用平方差公式和完全平方公式逐步分解即可；（3）将多项式整理成，利用平方差公式计算多项式得到，再利用平方差公式和十字相乘法逐步分解即可；（4）先计算，再合并同类项得到，直接利用提公因式法分解因式即可；（5）根据时，，可得有一个因式为，即可求解． 解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）当时，，∴．【点拨】本题考查分解因式，熟练应用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）      （2）【答案】（1）-4（3a+b）（a+3b）（2）−2（a＋3b）（3a＋2b）【分析】（1）根据公式法即可因式分解；（2）根据十字相乘法即可因式分解．解：（1）==（2a−2b+4a+4b）（2a−2b-4a-4b）=（6a+2b）（-2a-6b）=-4（3a+b）（a+3b）（2）＝[（a−b）−2（a＋b）][（a−b）＋5（a＋b）]=（a−b−2a-2b）（a−b＋5a＋5b）=（−a-3b）（6a＋4b）＝−2（a＋3b）（3a＋2b）．【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知公式法与十字相乘法的应用．