专题21.1 一元二次方程（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.1 一元二次方程（知识讲解）

【学习目标】

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；
2．会把一元二次方程化为一般形式；
3．会用整体思想和降次方法求解或降次.
【要点梳理】

要点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
特别说明：

识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
特别说明：
　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.

（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.

（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

【典型例题】

类型一、一元二次方程的定义

1． 已知方程是一元二次方程，求的值．

【答案】4

【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可

解：由题意，得

解|m|-2=2得m=±4，
当m=4时，m+4=8≠0，
当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去，
∴m的值为4．

【点拨】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

举一反三：

【变式1】 已知方程.

（1）当为何值时，此方程为一元二次方程？

（2）当为何值时，此方程为一元一次方程？

【答案】（1）（2）或2

【分析】（1）根据一元二次方程的定义可知，二次项系数不等于0且二次项的次数等于2，从而可以解答本题；

（2）根据一次方程的定义可解答本题，注意考虑问题一定要全面．

解：(1)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程，

∴

解得：m=4，

所以当m为4时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元二次方程；

(2)∵方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程，

∴ 或 或 或

解得，m=5或m=2，

故当m为5或2时,方程方程(m−5)(m−3)xm−2+(m−3)x+5=0为一元一次方程.

【点拨】此题考查一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题关键在于掌握各性质定义.

【变式2】已知方程.

（1）当取何值时是一元二次方程？

（2）当取何值时是一元一次方程？

【答案】（1）（2）或－1

【分析】

（1）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得答案；

（2）根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次是一次的方程是一元一次方程，可得答案．

解：(1) 是一元二次方程，

m+1≠0,m2+1=2，

m=1，

当m=1时,方程是一元二次方程；

(2)是一元一次方程，

①m+1≠0,m2+1=1，

m=0；

②m+1=0，解得m=−1；

当m=0或m=−1时,方程是一元一次方程.

【点拨】此题考查一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.

类型二、一元二次方程的一般形式

2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

（1）；

（2）．

【答案】（1），1，， （2），3，1，

【分析】

（1）利用完全平方公式首先去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数；

（2）去括号移项进而整理为一元二次方程的一般形式得出各项系数.

解：（1）去括号，得．

移项、合并同类项，得．

∴它的二次项系数为1，一次项系数为，常数项为．

（2）去括号，得．

移项、合并同类项，得．

∴它的二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为．

【点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确化简得出一般形式是解题关键．

举一反三：

【变式1】已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，求m的值．

【答案】－1

【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．

解：∵关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为0，

∴，

解得m=-1

【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【变式2】 填表：

【答案】8x2-5x=0 ；8； -5 ；0；

-2x2+16x-8=0 ；-2 ；16 ；-8；

x2-x-7=0；1 ；-1； -7.

【分析】先化成一元二次方程的一般系数，再找出系数即可；

解：（1）8x2=5x

8x2-5x=0

二次项系数为8，一次项系数为-5，常数项为0；

（2）-2（x-2）2+8x=0

-2x2+16x-8=0

二次项系数为-2，一次项系数为16，常数项为-8；

（3）（x+1）（x-2）=5

x2-x-7=0

二次项系数为1，一次项系数为-1，常数项为-7.

故答案为8x2-5x=0 ；8； -5 ；0；

-2x2+16x-8=0 ；-2 ；16 ；-8；

x2-x-7=0；1 ；-1； -7.

【点拨】本题考查一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：说系数带着前面的符号．

类型三、一元二次方程的解

3、已知：P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）

（1）化简P；

（2）若a为方程x2+x﹣＝0的解，求P的值．

【答案】（1）2a2+3a+1；（2）6

【分析】

（1）通过去括号，合并同类项，即可得到答案；

（2）把原方程整理得2x2+3x﹣5＝0，再根据解的定义得到2a2+3a=5，进而即可求解．

解：（1）P＝3a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1）

=3a2+3a-a2+1

=2a2+3a+1；

（2）x2+x﹣＝0，

整理得：2x2+3x﹣5＝0，

∵a为方程x2+x﹣＝0的解，

∴2a2+3a﹣5＝0，即：2a2+3a=5，

∴P=2a2+3a+1=5+1=6．

【点拨】本题主要考查整式的化简，一元二次方程的的解的定义，掌握整体代入思想方法，是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知是一元二次方程的一个解，且，求的值．

【答案】30

【分析】根据x=1是一元二次方程ax2+bx-60=0的一个解，可以求得a+b的值，再根据a≠b，可以求出答案．

解：∵a≠b，

∴a-b≠0，

∵是一元二次方程的一个解，

∴，

∴，

∴．

【点拨】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程解得含义．

【变式2】化简并求值:,其中a是方程的根.

【答案】，

【分析】根据分式的性质和分式的运算法则化简，再利用整体法求值即可．

解：原式

，

∵是的根，

∴，即，

原式．

【点拨】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入的思想是解题的关键．

【变式3】如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值．

【答案】-2

【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．

解：∵有且只有一个公共根

∴

∴

∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，

∴

∴

当时，代入第一个方程可得

1-a+1=0

解得：

【点拨】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．