专题21.9 一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题21.9  一元二次方程解法-因式分解法（知识讲解）

【学习目标】

1. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

2. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

知识要点：因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

特别说明：

    （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次           

因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

　【典型例题】

类型一、用因式分解法解一元二次方程

1．解方程：

（1）．                     （2）．

【答案】（1），；（2），

【分析】利用因式分解法求解；

解：（1），

∴，

∴，；

（2），

∴，

∴，，

∴，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是根据方程的形式选择合适的解法．

举一反三：

【变式1】 解方程：

（1）；             （2）．

【答案】（1）；（2），．

【分析】利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；

解：（1），

∴，

；

（2），

∴，

∴，

，．

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题．

【变式2】解方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1） x1=x2=1；（2） x1=-3，x2=2

【分析】

（1）直接因式分解，再求出x的值即可；（2）先把原方程进行因式分解，再求出x的值即可．

解：（1）x2-2x+1=0，

∴（x-1）2=0，

∴ x1=x2=1；

（2）x（x+3）-（2x+6）=0，

∴（x+3）（x-2）=0，

∴x+3=0或x-2=0，

解得 x1=-3，x2=2．

【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解答此题的关键．

【变式3】 解方程：

（1）                      （2）

（3）                  （4）

【答案】（1），；（2），；（3），；（4）

【分析】

（1）-（3）利用因式分解法，即可求解；（4）先化简，再利用因式分解法，即可求解．

 解：（1），

分解因式得：，

即：或，

∴，；

（2），

移项，分解因式得：，

即：或，

∴，；

（3），

分解因式得：，

即：或，

∴，；

（4），

化简得：，

分解因式得：，

∴．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程，是解题的关键．

类型二、因式分解法解一元二次方程的应用

2．“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．例如：解方程x﹣＝0，就可利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x．这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：

（1）填空：若，则的值为　   　；

（2）直接写出方程的根；

（3）解方程：2﹣8＝0．

【答案】（1）0；（2），，，；（3）＝，＝

【分析】

（1）设进行换元，再解一元二次方程，根据的非负性确定解即可；

（2）设进行换元，即可解出t的值，再根据绝对值的意义即可得出x的值；

（3）设＝t，即可解出t的值，根据具有非负性确定t值，再解无理方程即可得．

   解：（1）设，原方程转化为，解得，，

当t＝0时，；当时，（舍去）；

所以的值为0；

故答案为0；

（2）设，原方程转化为，解得，，

当t＝1时，则，解得，

当t＝2时，则|x|＝2，解得，

所以原方程的解为，，，；

（3）设＝t，原方程转化为，解得，，

当t＝﹣4时，＝﹣4，不合题意舍去；

当t＝2时，＝2，则，解得＝，＝，

经检验，原方程的解为＝，＝．

【点睛】本题考查了用换元法解绝对值方程、无理方程，利用代数式非负性去除增根；关键在于能理解题意，进行换元变形后解得的结果要进行验证．

举一反三：

【变式1】阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．

问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），

解：设，则有，

原方程可化为：，

续解：

【答案】，．

【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．

   续解：，

，

解得，（不合题意，舍去），

，

，，

，

经检验都是方程的解．

【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．

【变式2】 若m，n，p满足m－n=8，mn＋p2＋16=0，求m＋n＋p的值？

【答案】m＋n＋p＝0.

【分析】把m,n,p看成是未知数,本题已知两个方程求三个未知数,因此可以采用换元法,将其中一个未知数看成常数,另外两个当作未知数进行解答,

 解 ：本题由m－n＝8,可得:

m＝n＋8,

把m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0,

得n2＋8n＋16＋p2＝0,即(n＋4)2＋p2＝0,

根据非负数的非负性质可求出n=－4,p=0,

所以m=4,

又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，

所以，解得，

所以m＝n＋8＝4，

所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.

【变式3】解方程：－＝2．

【答案】x1＝1，x2＝－1．

【分析】本题利用换元法进行求解．

 解：设＝y，则原方程化为y－＝2，

整理得y2－2y－3＝0，∴y1＝3，y2＝－1．

当y＝3时，＝3，∴x＝－1．

当y＝－1时，＝－1，∴x＝1．

经检验，x＝±1都是原方程的根，

∴原方程的根为x1＝1，x2＝－1．