专题21.8 一元二次方程解法-公式法（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题21.8 一元二次方程解法-公式法（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共20页。试卷主要包含了解一元二次方程--公式法，根的判别式，根据一元二次方程求参数等内容，欢迎下载使用。
专题21.8 一元二次方程解法-公式法（专项练习）
一、 单选题
知识点一、解一元二次方程--公式法
1．用公式法解方程x2+4x=2,其中求的Δ的值是（ ）
A．16 B．4 C． D．64
2．若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b＋＝（ ）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
3．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）．

A．6 B． C． D．
4．用公式法解方程所得的解正确的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二、根的判别式
5．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＝2x B．x2－2x＝－1 C．2x2－1＝x D．2x2－2x+1＝0
7．将4个数、、、排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义．例如．则方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
8．定义；如果一元二次方程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
知识点三、根据一元二次方程求参数
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
9．关于x的一元二次方程有实数根，则点在（　　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．对于函数，我们定义（，为常数）．例如：，则．已知：，若方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
12．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．


二、 填空题
知识点一、解一元二次方程--公式法
13．方程的解是___________．
14．当________时，关于的方程可用公式法求解．
15．方程（）的根是___________．
16．方程中，的值为__________，根是___________．
知识点二、根的判别式
17．若关于x的一元二次方程有实数根，则n的值可能是_______．
18．M（a，b）是一次函数y=x+3图像上一点，则关于x的方程ax2+bx+1=0的根的情况是____
19．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是_____．
20．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________．
知识点三、根据一元二次方程求参数
21．已知命题：“关于的一元二次方程，当时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是___．
22．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．
23．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
24．若关于的方程有两个相等的实数根，则__________．

三、 解答题
知识点一、解一元二次方程--公式法
25．解下列方程：
（1） （2）


26．解下列方程：
（1） （2）

知识点二、根的判别式
27．关于的一元二次方程
（1）若方程的一个根为1，求方程的另一个根和的值
（2）求证：不论取何实数，方程总有两个不相等的实数根．


28． 已知a、b、c分别为△ABC的三条边，试判断关于x的一元二次方程的根的情况．



知识点三、根据一元二次方程求参数
29．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求出此时方程的根．





30．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根都是有理数，写出满足条件的的最小整数值，并求出此时方程的根．

参考答案
1．D
【分析】
首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可．
【详解】
解：


故选：D
【点拨】
此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．
2．D
【分析】
根据公式法解方程，结合题意得出，求出即可．
【详解】
∵的两个实数根中较小的一个根是，
∴，
解得：b＋＝﹣2m，
故选：D．
【点拨】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟记求根公式是解此题的关键．
3．D
【分析】
仿照题目中的做法可得空白部分小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，从而可得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可．
【详解】
解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，
∴该方程的正数解为．
故选：D．
【点拨】
本题考查了一元二次方程的几何解法，读懂题意并数形结合是解题的关键．
4．D
【分析】
找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】
解：，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x== ，
故选：D．
【点拨】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
5．D
【分析】
先计算四个选项中方程的根的判别式的值，确定判别式的符号，选出判别式大于0的方程满足条件，由此即可得出结论．
【详解】
解：A．方程判别式 ，方程有两个相等的实数根，不符合题意;
B．方程判别式 方程没有实数根，不符合题意;
C．方程判别式 ，方程没有实数根，不符合题意;
D．方程判别式 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意．
故答案为： D．
【点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根，掌握并会利用解决问题是解题关键．
6．D
【分析】
逐一求出四个选项中方程的根的判别式△的值，取其小于零的选项即可得出结论．
【详解】
解：A、∵x2＝2x
∴x2-2x＝0
∴△=（-2）2-4×1×0=4＞0，
∴一元二次方程x2-2x=0有两个不相等的实数根，故不符合题意；
B、∵x2－2x＝－1
∴x2－2x+1＝0
∴△=(-2)2-4×1×1=0，
∴一元二次方程x2－2x＝－1有两个相等的实数根，故不符合题意；
C、∵2x2－1＝x
∴2x2－x -1＝0
∴△=（-1）2-4×2×（-1）=90，
∴一元二次方程2x2－1＝x有两个不相等的实数根，故不符合题意；
D、∵△=（-2）2-4×2×1=-40的前提下，取b=1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．
【详解】
解：∵△=b2-4，
∴当b=1时，满足b>0，而△＜0，方程没有实数解，
∴当b=1时，
可说明这个命题是假命题．
故答案为：b=1（答案不唯一）．
【点拨】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．
22．0．
【分析】
利用根的判别式列出方程，再确定c的最小值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
则c的最小值是0，
故答案为：0．
【点拨】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用一元二次方程根的判别式列出方程，根据非负数的性质确定最值．
23．m＜
【分析】
先把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到△=（-2）2-4×3m＞0，然后解不等式即可．
【详解】
解：方程化为x2-2x+3m=0，
根据题意得△=（-2）2-4×3m＞0，
解得m＜，
故答案为：m＜．
【点拨】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
24．−
【分析】
由题意得出根的判别式△＝b2−4ac＝0，把对应的系数代入解关于m的方程，可求得m的值．
【详解】
解：∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4ac＝0，即：[−（2m＋1）]2−4m2＝0，
整理得：4m＋1＝0，解得m＝−，
故答案为：−．
【点拨】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
25．（1），；（2），
【分析】
（1）用直接开平方法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）求出的值，代入公式求出即可；
【详解】
（1）

，
（2）

a=3，b=﹣4，c=1
=16-12=4>0
∴方程有两个不相等的实数根，

，
【点拨】
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法是解题的关键．
26．（1），；（2）无实数根
【分析】
（1）由公式法解题；
（2）由根的判别式解题．
【详解】
解方程：
（1）；
解：∵，，，

，
（2）；
解：∵，，，
∴．
∴原方程无实数根．
【点拨】
本题考查解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握知识是重要考点．
27．（1），另一个根是；（2）详见解析．
【分析】
（1）代入x=1求出m值，从而得出方程，解方程即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＞0，由此可证出：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【详解】
解：（1）把代入原方程得解得：
当时，原方程为
解得：
∴方程的另一个根是
（2）证明：
∵
∴
∴不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【点拨】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，由判别式的符号得到方程根的情况是解题的关键．
28．方程没有实数根
【分析】
判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了，判断时要利用三角形的两边之和大于第三边．
【详解】
解：∵△＝（﹣b）2﹣4×（a+c）2＝b2﹣（a+c）2＝（b+a+c）[b﹣（a+c）]
又∵b+a+c＞0，b﹣（a+c）＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
【点拨】
本题是对一元二次方程根的判别式的考查，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决本题的关键.
29．（1）m≤1；（2）．
【分析】
（1）根据题意得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据m的范围可知m=1，代入原方程后解方程即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵原方程有实数根，
∴△=(-2)2-4×1×（3m-2）=12-12m≥0，
∴m≤1；
（2）∵m为正整数，又m≤1，
∴m=1．
当m=1时，原方程为x2-2x+1=0，
即，解得．
【点拨】
本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于m的一元一次不等式；（2）确定m的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
30．（1）且；（2）；或．
【分析】
（1）根据根的判别式计算即可；
（2）根据一元二次方程的解法求解即可；
【详解】
（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
∴且；
（2）当时，，
∴由求根公式可知：，
∴或．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，准确计算是解题的关键．