2020-2021学年四川省资阳市雁江区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年四川省资阳市雁江区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。

1．（4分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

2．（4分）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高，则的长度为　　

A． B． C． D．

3．（4分）一元二次方程解的情况为　　

A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是、，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且位似比为，则线段的长度为　　

A． B．2 C．4 D．

5．（4分）若实数满足方程，那么的值为　　

A．或4 B．4 C． D．2或

6．（4分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，则　　

A． B． C． D．

7．（4分）若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则的值为　　

A．32 B．36 C．32或36 D．不存在

8．（4分）为保障人民的身体健康，卫生部门对某医药商店进行检查，抽查了某品牌的口罩5包（每包10只），其中合格口罩的只数分别是：9，10，9，10，10，则估计该品牌口罩的合格率约是　　

A． B． C． D．

9．（4分）点关于轴对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

10．（4分）如图，矩形中，，，平分，交于点，，垂足为点，，垂足为点．则以下结论：①；②；③；（4）；（5）．其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）已知，化简　　．

12．（4分）若，则是　　三角形．

13．（4分）若关于的方程的一个实数根的倒数恰好是它本身，则的值是 　　．

14．（4分）在中，，，，点是斜边上一动点，从点向点运动，过点作，垂足为，交边（或边于点，设，当的面积为时，的值为　　．

15．（4分）如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则　　．

16．（4分）如图，已知直角三角形，，，过直角顶点作，垂足为，再过作，垂足为；过作，垂足为，再过作，垂足为；，这样一直做下去，得到一组线段，，，，则第10条线段　　．

三、解答题：（本大题共有8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）用适当的方法解方程

（1）．

（2）

18．（10分）先化简，再求值：，其中，满足方程．

19．（9分）小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如下所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至层的任意一层出电梯，并设甲在层出电梯，乙在层出电梯．

（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率．

（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？并说明理由．

20．（10分）如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线、、都垂直，垂足分别为点、点和点，（高速路右侧边缘），上的点位于点的北偏东方向上，且千米，上的点位于点的北偏东方向上，且，千米，点和点是城际线上的两个相邻的站点．

（1）求和之间的距离；

（2）若城际火车平均时速为150千米小时，求市民小强乘坐城际火车从站点到站点需要多少小时？（结果用分数表示）

21．（11分）关于的一元二次方程．

（1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

22．（11分）如图，在中，于，于．

（1）求证：．

（2）若，求的值．

23．（12分）全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：

（1）求每天增长的百分率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个天．

①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．

24．（13分）如图1，在中，，，在斜边上取一点，过点作，交于点，现将绕点旋转一定角度到如图2所示的位置（点在的内部），使得．

（1）①求证：；

②若，，求的长．

（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，，求的值．

（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，，试探究，，三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

2020-2021学年四川省资阳市雁江区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共有10个小题，每小题4分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意。

1．（4分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、，原式计算错误，故本选项错误；

、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；

、，计算正确，故本选项正确；

、，原式计算错误，故本选项错误；

故选：．

2．（4分）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高，则的长度为　　

A． B． C． D．

【解答】解：河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高，

，

则，

故．

故选：．

3．（4分）一元二次方程解的情况为　　

A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

【解答】解：方程化成一般式为，

△，

方程有两个相等的实数根．

故选：．

4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是、，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且位似比为，则线段的长度为　　

A． B．2 C．4 D．

【解答】解：点、的坐标分别是、，

，

与成位似图形，且位似比为，

，

故选：．

5．（4分）若实数满足方程，那么的值为　　

A．或4 B．4 C． D．2或

【解答】解：设，则原方程化为，

解得：或，

当时，，此时方程有解，

当时，，此时方程无解，舍去，

所以．

故选：．

6．（4分）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，为中点，连接交于点，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：四边形是平行四边形，

，，

，

，

为中点，，

，

，

为中点，

设，则，

，

，

，

，

，

故选：．

7．（4分）若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则的值为　　

A．32 B．36 C．32或36 D．不存在

【解答】解：利用一元二次方程的根与系数的关系得，，

若，则，不成立（根据三角形两边之和大于第三边），

所以，

则，

故选：．

8．（4分）为保障人民的身体健康，卫生部门对某医药商店进行检查，抽查了某品牌的口罩5包（每包10只），其中合格口罩的只数分别是：9，10，9，10，10，则估计该品牌口罩的合格率约是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抽检了5包口罩的平均合格率为，则可估计该商店出售的这批口罩的合格率约为．

故选：．

9．（4分）点关于轴对称的点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

点．

点关于轴对称点的坐标，

关于轴的对称点的坐标是．

故选：．

10．（4分）如图，矩形中，，，平分，交于点，，垂足为点，，垂足为点．则以下结论：①；②；③；（4）；（5）．其中正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：如图，延长，交于点，

平分，

，

，

，

，

又，

，故①正确；

矩形中，，，

，，

，

，，，

，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

与不全等，故②错误；

，，

，

，

，

又，

，

，故③正确；

，

，

，

，

，

，，

，故④正确；

，，

，故⑤正确，

故选：．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）已知，化简　　．

【解答】解：，，

，

原式，

，

故答案为：．

12．（4分）若，则是　等腰直角　三角形．

【解答】解：，

，，

故，，

则，，

故，

即是等腰直角三角形．

故答案为：等腰直角．

13．（4分）若关于的方程的一个实数根的倒数恰好是它本身，则的值是 　　．

【解答】解：一个根的倒数恰好是它本身，

方程的根可能为1或，

假设，

将代入方程中，

可得；

假设，将代入方程中，

可得．

故填空答案为2或．

14．（4分）在中，，，，点是斜边上一动点，从点向点运动，过点作，垂足为，交边（或边于点，设，当的面积为时，的值为　或14　．

【解答】解：当点在边上时，如图所示：

，

，

，，

，

，

解得：，（舍去）；

当点在边上时，如图所示：

，

，

，

，

又，

，

，

在中，，，，

，，

，

，

，

，

，

解得：（舍，，

综上所述，的值为或14．

15．（4分）如图，在中，，、分别是、的中点，延长至点，使，连接、、．若，则　2　．

【解答】解：连接，

，是的中点，

，

、分别是、的中点，

，，

，，

，又，

四边形是平行四边形，

，

故答案为：2．

16．（4分）如图，已知直角三角形，，，过直角顶点作，垂足为，再过作，垂足为；过作，垂足为，再过作，垂足为；，这样一直做下去，得到一组线段，，，，则第10条线段　　．

【解答】解：根据勾股定理，得，

则．

．

在直角三角形中，

根据锐角三角函数得

以此类推，则．

三、解答题：（本大题共有8个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）用适当的方法解方程

（1）．

（2）

【解答】解：（1），

，

或，

解得：，；

（2），

两边开方得：，

即，，

解得：，．

18．（10分）先化简，再求值：，其中，满足方程．

【解答】解：原式

，

，

，，

解得，，

则原式．

19．（9分）小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如下所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人到1至层的任意一层出电梯，并设甲在层出电梯，乙在层出电梯．

（1）请你用画树状图或列表法求出甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率．

（2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙在同一层或相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？并说明理由．

【解答】解：（1）根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中甲、乙二人在同一层楼出电梯的有3种，

则甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率是．

（2）两人在相邻楼层出电梯的概率是，

小亮获胜的概率为，

小芳获胜的概率为，

，

该游戏不公平．

20．（10分）如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线与直线、、都垂直，垂足分别为点、点和点，（高速路右侧边缘），上的点位于点的北偏东方向上，且千米，上的点位于点的北偏东方向上，且，千米，点和点是城际线上的两个相邻的站点．

（1）求和之间的距离；

（2）若城际火车平均时速为150千米小时，求市民小强乘坐城际火车从站点到站点需要多少小时？（结果用分数表示）

【解答】解：（1）过点作于点，

，千米，

，

解得：，

答：和之间的距离为；

（2）点位于点的北偏东方向上，且千米，

，

解得：，

可得：，

，，

，

则，

，

城际火车平均时速为150千米小时，

市民小强乘坐城际火车从站点到站点需要小时．

21．（11分）关于的一元二次方程．

（1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【解答】（1）证明：△

，

无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：不存在，

理由是：，是关于的一元二次方程的两个同号的实数根，

，，

，

，

不存在使成立．

22．（11分）如图，在中，于，于．

（1）求证：．

（2）若，求的值．

【解答】（1）证明：，，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：，

，

．

23．（12分）全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：

（1）求每天增长的百分率；

（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个天．

①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．

【解答】解：（1）设每天增长的百分率为，

依题意，得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：每天增长的百分率为；

（2）①设应该增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个天，

依题意，得：，

解得：，，

又在增加产能同时又要节省投入，

．

答：应该增加4条生产线；

②设增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个天，

依题意，得：，

化简得：，

△，方程无解．

不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．

24．（13分）如图1，在中，，，在斜边上取一点，过点作，交于点，现将绕点旋转一定角度到如图2所示的位置（点在的内部），使得．

（1）①求证：；

②若，，求的长．

（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，，求的值．

（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，，试探究，，三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

【解答】解：（1）①，

，

由旋转知，，

，

②在中，，

，

由①知，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

在中，，，

根据勾股定理得，，

在中，，

，

（2）由旋转知，，

，

，

，，

，，

，

，

，

，

，

在中，，

在中，，

，

（舍或；

（3）由旋转知，，

，

，，

，，

，

，

，

，

，

在中，，

，

，

．

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日期：2021/12/9 10:54:04；用户：初中数学2；邮箱：jse033@xyh.com；学号：39024123