2020-2021学年重庆外国语学校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆外国语学校九年级（上）期末数学试卷，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年重庆外国语学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（4分）重庆是全国重点旅游城市，2020年实现旅游总收入约为57 400 000万元，数据57 400 000用科学记数法可表示
为　　
A． B． C． D．
3．（4分）如图，已知与位似，位似中心为点，且，则的面积与面积之比为　　

A． B． C． D．
4．（4分）函数中，的取值范围是　　
A． B．且 C．且 D．
5．（4分）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　
A．2019 B．2020 C．2022 D．2023
6．（4分）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是　　
A． B． C． D．
7．（4分）下列命题中，假命题是　　
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．矩形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
8．（4分）如图，已知上三点、、，连接、、，切线交的延长线于点，若，，则的长为　　

A．4 B． C． D．1
9．（4分）山城重庆的美景吸引了很多游客，越来越多的人喜欢用无人机拍摄网红景点．如图，为了拍摄坡比为的斜坡上的景点，航拍无人机先从点俯拍，此时的俯角为，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高100米到达点，此时的俯角变为．已知坡的长为65米，则无人机与斜坡的坡底的水平距离的长度为　　米．（参考数据：，，

A．335 B．340 C．345 D．350
10．（4分）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则所有符合条件的整数的值之和是　　
A．3 B．4 C．7 D．8
11．（4分）如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到△，若点恰好在线段上，若，，，则的长度为　　

A． B． C． D．
12．（4分）如图，在等腰中，，顶点为反比例函数（其中图象上的一点，点在轴正半轴上，过点作，交反比例函数的图象于点，连接交于点，若的面积为2，则的值为　　

A．20 B． C．16 D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算：　　．
14．（4分）如图，在中，，的垂直平分线交于点、交于点，若，，则的长为　　．

15．（4分）现从，，3中，任取两个不同的数分别作为二次函数中的和，则所得抛物线与轴有公共点的概率为　　．
16．（4分）如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为　　．

17．（4分）一天，小新带弟弟从家出发一起去文具店买文具．出门10分钟后，小新发现忘了带钱，于是立即停下，并打电话让正在家里的妈妈送钱出来，挂电话后，小新让弟弟原地等待，自己立刻以先前速度的1.6倍往家走去，同时，妈妈也拿上钱从家里出发．30秒后，小新觉得弟弟一人在路边等待不安全，于是立即以刚才的速度折返，接上弟弟后，立刻以出门时的速度往家走去．与妈妈相遇后，接过妈妈手中的钱，小新和弟弟立即以出门时的速度往文具店走去，妈妈则以先前速度的一半回家．最后妈妈到家时，兄弟俩刚好到达文具店．小新和妈妈相距的路程（米和小新出发的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，整个过程中，小新和妈妈都是匀速前进，且小新接过钱的时间忽略不计，则小新家和文具店的距离是　　米．

18．（4分）元旦节前，某商店购进了一批、款式的大灯笼和若干小灯笼，其中小灯笼个数占灯笼总个数的，它们的进价之比为，店主将三种灯笼分别加价、、进行销售，全部售完后利润率为．年关将至，该商店又购进了这三种灯笼，且进货量和之前分别相同，但是、款式的大灯笼进价分别上涨了、，小灯笼进价不变，于是店主将这两种大灯笼的价格分别在现在的进价基础上加价、进行销售，且购买一个款式的大灯笼赠送两个小灯笼，购买一个款式的大灯笼赠送4个小灯笼，余下的小灯笼售价与之前相同，那么这批灯笼卖完后，利润率为　　．
三、解答题（本大题共6个小题，每题10分，共60分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
20．（10分）目前，重庆市正全面开展生活垃圾分类工作．随着生活垃圾分类的全面推广，一些街镇也积极行动起来，通过入户宣传、开展各种趣味活动等，提高居民参与生活垃圾分类的积极性．为了进一步提高垃圾分类的准确度，某社区对甲、乙两个小区的居民进行了有关垃圾分类常识的测试，并从甲、乙两小区各随机抽取20名居民的测试成绩进行整理分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．，下面给出了部分信息：
甲小区20名居民测试成绩：13，15，16，19，20，21，22，23，24，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30．
乙小区20名居民测试成绩在组中的数据是：20，23，21，24，22，21．
甲、乙两小区被抽取居民的测试成绩统计表

平均数
中位数
方差
甲小区
23.8
25
25.75
乙小区
22.3

24.34
根据以上信息，解答下列问题：
（1）　　，　　；
根据以上数据，你认为　　小区（填“甲”或“乙” 垃圾分类的准确度更高，说明理由：　　；
（2）若甲、乙两个校区居民共2400人，估计两个小区测试成绩优秀的居民人数是多少？

21．（10分）如图，分别以的直角边和斜边向外作等边，等边，取的中点，连接、，已知．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求四边形的面积．

22．（10分）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，下面我们对函数的图象和性质进行探究，请将以下探究过程补充完整：
（1）选取适当的值补全表格；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象：


　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　



　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　


（2）结合图象，写出该函数的一条性质：　　；
（3）结合这个函数的图象与性质，解决下列问题：
①若点，，，，，在这个函数的图象上，且，，请写出，，的大小关系：　　（用“”连接）．
②若直线是常数）与该函数图象有且只有三个交点，则的取值范围为　　．
23．（10分）在大力推广垃圾分类之前，某小区虽然在每栋楼都放置了可回收垃圾桶和不可回收垃圾桶，但是少数居民对垃圾分类的认识不够深入，常常将垃圾混装后随意丢入垃圾桶，导致垃圾分类混乱，垃圾处理站将可回收垃圾桶内的垃圾记为类垃圾，将不可回收垃圾桶内的垃圾记为类垃圾．该小区共有10栋楼，平均每栋楼每月产生12吨类垃圾和4吨类垃圾，每吨类垃圾处理费是每吨类垃圾处理费的2倍，该小区每月、两类垃圾处理费总费用为8000元．
（1）求每吨类垃圾处理费多少元？
（2）在大力推广垃圾分类之后，该小区的居民认识到了垃圾分类的重要性并规范地放置垃圾．该小区每月产生的、两类垃圾总重量不变的情况下，类垃圾的重量增加了，同时，垃圾处理站通过技术革新将、两类垃圾每吨处理费分别降低了和，这样与推广垃圾分类之前相比，该小区每月、两类垃圾处理费总费用减少了，求的值．
24．（10分）如果一个三位数满足各位数字都不为0，且个位数字比十位数字大1，则称这个三位数为完美数．若、都是完美数，将组成的各数位上的数字中最大数字作为两位数的十位上的数字，组成的各数位上的数字中最大数字作为两位数的个位上的数字，再将组成的各数位上的数字中最小数字作为两位数的十位上的数字，组成的各数位上的数字中最小数字作为两位数的个位上的数字，所得的这两个数、之和记为．
例如：因为，，所以112和645都是完美数，则．
因为，，所以212和689都是完美数，则．
（1）判断623和456是否为完美数并说明原因．如果都是完美数则计算的值．
（2）若、都是完美数，其中，，，，且、、、都是整数），规定：，当，，时，求的最小值．
四、解答题：（本大题共2个小题，其中25题10分，26题8分，共18分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，其中，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上一点，过点作交轴于点，交于点，求的最大值及点的坐标．
（3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为直线上一点，点为平面上一点．在（2）中，当的值最大时，是否存在以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（8分）如图，已知中，，是边上的高线，是上一点，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，若，过点作于点，求证：；
（3）如图3，若为射线上的一个动点，以为斜边向外作等腰直角，为的中点．在（2）的条件下，将绕点旋转，得到△，，的对应点分别为，，直线与直线交于点，，直接写出当取最小值时的值．


2020-2021学年重庆外国语学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、不是轴对称图形，故选项错误；
、是轴对称图形，故选项正确；
、不是轴对称图形，故选项错误；
、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：．
2．（4分）重庆是全国重点旅游城市，2020年实现旅游总收入约为57 400 000万元，数据57 400 000用科学记数法可表示
为　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
3．（4分）如图，已知与位似，位似中心为点，且，则的面积与面积之比为　　

A． B． C． D．
【解答】解：与位似，位似中心为点，
，
的面积与面积之比．
故选：．
4．（4分）函数中，的取值范围是　　
A． B．且 C．且 D．
【解答】解：由题意得，，
解得，
故选：．
5．（4分）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为　　
A．2019 B．2020 C．2022 D．2023
【解答】解：将代入方程，得：，
则，
所以原式


，
故选：．
6．（4分）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是　　
A． B． C． D．
【解答】解：随的增大而减小，
．
、当点在一次函数的图象上时，，
解得：，选项不符合题意；
、当点在一次函数的图象上时，，
解得：，选项符合题意；
、当点在一次函数的图象上时，，
解得：，选项不符合题意；
、当点在一次函数的图象上时，，
解得：，选项不符合题意．
故选：．
7．（4分）下列命题中，假命题是　　
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．矩形的对角线相等
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解答】解：、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
、正方形的对角线互相垂直平分，是真命题；
、矩形的对角线相等，是真命题；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
故选：．
8．（4分）如图，已知上三点、、，连接、、，切线交的延长线于点，若，，则的长为　　

A．4 B． C． D．1
【解答】解：连接，如图，
为切线，
，
，
，
．
故选：．

9．（4分）山城重庆的美景吸引了很多游客，越来越多的人喜欢用无人机拍摄网红景点．如图，为了拍摄坡比为的斜坡上的景点，航拍无人机先从点俯拍，此时的俯角为，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高100米到达点，此时的俯角变为．已知坡的长为65米，则无人机与斜坡的坡底的水平距离的长度为　　米．（参考数据：，，

A．335 B．340 C．345 D．350
【解答】解：如图，作于点，作于点，

由题意知：的坡比为，的长为65米，
米，米，
，，，
四边形是矩形，
米，，
，
，
，
设米，米，
在中，，米，
，
，
解得，
米，
（米．
故选：．
10．（4分）如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则所有符合条件的整数的值之和是　　
A．3 B．4 C．7 D．8
【解答】解：不等式组无解，
，
解得．
分式方程，
两边同时乘得，
解得，
分式方程有正数解，
且，
解得且，
且，
又是整数，
，0，1，2，3，4，
所有符合条件的整数的值之和是．
故选：．
11．（4分）如图，在中，点是线段上的一点，过点作交于点，将沿翻折，得到△，若点恰好在线段上，若，，，则的长度为　　

A． B． C． D．
【解答】解：设，，则，
将沿翻折，得到△，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：．
12．（4分）如图，在等腰中，，顶点为反比例函数（其中图象上的一点，点在轴正半轴上，过点作，交反比例函数的图象于点，连接交于点，若的面积为2，则的值为　　

A．20 B． C．16 D．
【解答】解：如图，过点作交轴于，交于点，
，，
，
，
，
，，
，
设，则，
，，
，，
，，
，
，
，
的面积为2，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）计算：　　．
【解答】解：原式


．
故答案为：．
14．（4分）如图，在中，，的垂直平分线交于点、交于点，若，，则的长为　　．

【解答】解：是线段的垂直平分线，
，
，
，，，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
15．（4分）现从，，3中，任取两个不同的数分别作为二次函数中的和，则所得抛物线与轴有公共点的概率为　　．
【解答】解：，，根据题意画图如下：
，
共有12种等情况数，其中抛物线与轴有公共点的有10种情况，
则抛物线与轴有公共点的概率为，
故答案为：．
16．（4分）如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为　　．

【解答】解：连接，作于，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．

17．（4分）一天，小新带弟弟从家出发一起去文具店买文具．出门10分钟后，小新发现忘了带钱，于是立即停下，并打电话让正在家里的妈妈送钱出来，挂电话后，小新让弟弟原地等待，自己立刻以先前速度的1.6倍往家走去，同时，妈妈也拿上钱从家里出发．30秒后，小新觉得弟弟一人在路边等待不安全，于是立即以刚才的速度折返，接上弟弟后，立刻以出门时的速度往家走去．与妈妈相遇后，接过妈妈手中的钱，小新和弟弟立即以出门时的速度往文具店走去，妈妈则以先前速度的一半回家．最后妈妈到家时，兄弟俩刚好到达文具店．小新和妈妈相距的路程（米和小新出发的时间（分钟）之间的函数关系如图所示，整个过程中，小新和妈妈都是匀速前进，且小新接过钱的时间忽略不计，则小新家和文具店的距离是　800　米．

【解答】解：设小新出门时速度为米分，妈妈的速度为米分．
小新发现忘记带钱时所走路程为米，
30秒小新走的路程为，妈妈走的路程为．
①，
小新返回接弟弟的速度不变，路程不变．
时间为30秒，
②．
联立方程①②，解得．
设小新与弟弟和妈妈相遇所用时间为，
则，
解得．
此时妈妈行走时间为（分钟）．
妈妈离家距离为（米．
妈妈回家时间为（分钟），
小新此时又走了（米．
小新家和文具店的距离为（米．
故答案为800．
18．（4分）元旦节前，某商店购进了一批、款式的大灯笼和若干小灯笼，其中小灯笼个数占灯笼总个数的，它们的进价之比为，店主将三种灯笼分别加价、、进行销售，全部售完后利润率为．年关将至，该商店又购进了这三种灯笼，且进货量和之前分别相同，但是、款式的大灯笼进价分别上涨了、，小灯笼进价不变，于是店主将这两种大灯笼的价格分别在现在的进价基础上加价、进行销售，且购买一个款式的大灯笼赠送两个小灯笼，购买一个款式的大灯笼赠送4个小灯笼，余下的小灯笼售价与之前相同，那么这批灯笼卖完后，利润率为　　．
【解答】解：设款打灯笼有个，款大灯笼由个，小灯笼有个，
则由题意得：，
即①，
设它们的进价分别为，，，
由题意得：，
将代入得：②，
在第二次购买销售中，由题意得，
它们的进价为：，，，
利润率
将①，②代入上式得：
利润率．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，每题10分，共60分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式






．
20．（10分）目前，重庆市正全面开展生活垃圾分类工作．随着生活垃圾分类的全面推广，一些街镇也积极行动起来，通过入户宣传、开展各种趣味活动等，提高居民参与生活垃圾分类的积极性．为了进一步提高垃圾分类的准确度，某社区对甲、乙两个小区的居民进行了有关垃圾分类常识的测试，并从甲、乙两小区各随机抽取20名居民的测试成绩进行整理分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．，下面给出了部分信息：
甲小区20名居民测试成绩：13，15，16，19，20，21，22，23，24，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30．
乙小区20名居民测试成绩在组中的数据是：20，23，21，24，22，21．
甲、乙两小区被抽取居民的测试成绩统计表

平均数
中位数
方差
甲小区
23.8
25
25.75
乙小区
22.3

24.34
根据以上信息，解答下列问题：
（1）　40　，　　；
根据以上数据，你认为　　小区（填“甲”或“乙” 垃圾分类的准确度更高，说明理由：　　；
（2）若甲、乙两个校区居民共2400人，估计两个小区测试成绩优秀的居民人数是多少？

【解答】解：（1）乙小区20名居民测试成绩在组中的数据所占百分比为，
，
、组数据的个数为，
其中位数为，即；
根据以上数据，认为甲小区垃圾分类的准确度更高，理由如下：
甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多，
故答案为：40、22.5，甲、甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多；
（2）估计两个小区测试成绩优秀的居民人数是（人．
21．（10分）如图，分别以的直角边和斜边向外作等边，等边，取的中点，连接、，已知．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求四边形的面积．

【解答】（1）证明：中，，
，
又是等边三角形，是的中点，
，，，
，
在和中，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
又，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得：的面积的面积的面积，，，，
四边形的面积的面积的面积的面积的面积．
22．（10分）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，下面我们对函数的图象和性质进行探究，请将以下探究过程补充完整：
（1）选取适当的值补全表格；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象：


　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　



　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　


（2）结合图象，写出该函数的一条性质：　　；
（3）结合这个函数的图象与性质，解决下列问题：
①若点，，，，，在这个函数的图象上，且，，请写出，，的大小关系：　　（用“”连接）．
②若直线是常数）与该函数图象有且只有三个交点，则的取值范围为　　．
【解答】解：（1）列表如下表所示：

图象如图所示：

（2）当时，随增大而增大；当时，随增大而增大（答案不唯一）；
（3）①数形结合可知，
故答案为：．
②数形结合可知，
解得，
故答案为．
23．（10分）在大力推广垃圾分类之前，某小区虽然在每栋楼都放置了可回收垃圾桶和不可回收垃圾桶，但是少数居民对垃圾分类的认识不够深入，常常将垃圾混装后随意丢入垃圾桶，导致垃圾分类混乱，垃圾处理站将可回收垃圾桶内的垃圾记为类垃圾，将不可回收垃圾桶内的垃圾记为类垃圾．该小区共有10栋楼，平均每栋楼每月产生12吨类垃圾和4吨类垃圾，每吨类垃圾处理费是每吨类垃圾处理费的2倍，该小区每月、两类垃圾处理费总费用为8000元．
（1）求每吨类垃圾处理费多少元？
（2）在大力推广垃圾分类之后，该小区的居民认识到了垃圾分类的重要性并规范地放置垃圾．该小区每月产生的、两类垃圾总重量不变的情况下，类垃圾的重量增加了，同时，垃圾处理站通过技术革新将、两类垃圾每吨处理费分别降低了和，这样与推广垃圾分类之前相比，该小区每月、两类垃圾处理费总费用减少了，求的值．
【解答】解：（1）设每吨类垃圾处理费为元，则每吨类垃圾处理费为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每吨类垃圾处理费为40元．
（2）依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：的值为40．
24．（10分）如果一个三位数满足各位数字都不为0，且个位数字比十位数字大1，则称这个三位数为完美数．若、都是完美数，将组成的各数位上的数字中最大数字作为两位数的十位上的数字，组成的各数位上的数字中最大数字作为两位数的个位上的数字，再将组成的各数位上的数字中最小数字作为两位数的十位上的数字，组成的各数位上的数字中最小数字作为两位数的个位上的数字，所得的这两个数、之和记为．
例如：因为，，所以112和645都是完美数，则．
因为，，所以212和689都是完美数，则．
（1）判断623和456是否为完美数并说明原因．如果都是完美数则计算的值．
（2）若、都是完美数，其中，，，，且、、、都是整数），规定：，当，，时，求的最小值．
【解答】解：（1），，
和456是完美数，
．
答：623和456是完美数，
的值为90．
（2），，
，．

，
①当时，

．
，，
．
，，，
．
．
即


，
又，
的最小值为．
②当时，

，
，
．
，，，
，
解得．
，
，
，
的最小值为．
综上所述最小值为67．
答：的最小值为67．
四、解答题：（本大题共2个小题，其中25题10分，26题8分，共18分），解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
25．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，其中，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上一点，过点作交轴于点，交于点，求的最大值及点的坐标．
（3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为直线上一点，点为平面上一点．在（2）中，当的值最大时，是否存在以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1），，
，，，
，解得，
该抛物线的表达式为．
（2）如图1，作轴于点，交于点，作于点、轴于点．
设直线的函数表达式为，则，解得，
；
设直线的函数表达式为，则，解得，
．
设，由，设直线的函数表达式为，
则，解得，
．
由，得，
，．
，，且，，
，，
，
，
，
，
，
当时，的最大值，最大值为4，此时．

（3）存在．
如图2，由（2）得，，将沿射线方向平移个单位，相当于将向左平移2个单位，再向下平移6个单位，
该抛物线也向左平移2个单位，再向下平移6个单位，
原抛物线为，
，抛物线与坐标轴的交点分别为、、，且顶点为，点为抛物线与原抛物线的交点．
，，且，
，点与点重合．
设直线的函数表达式为，则，解得，
．
①如图2，点在点左侧，、为菱形的邻边．
连接，则，可得垂直平分，设垂足为点，
则点与点关于点对称；
，
，，
，
；

②如图3，为菱形的对角线，垂直平分，设垂足为点，
为的中点，
，，
连接并延长交于点，则，
，
，
，
；
设直线的函数表达式为，则，解得，
，
设直线的函数表达式为，则，解得，
；
由，得，
，，
点与点，关于点，对称，
，；

③如图4，点在点右侧，、为菱形的邻边．
由，设直线的函数表达式为，则，解得，
点在直线上，
连接，则点、、在同一直线上．
设，
，，
，
，

④点在点左侧，、为菱形的邻边．
设，
则，
，．

综上所述，点的坐标为或，或，或，．
故答案为：或，或，或，．
26．（8分）如图，已知中，，是边上的高线，是上一点，连接，交于点．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，若，过点作于点，求证：；
（3）如图3，若为射线上的一个动点，以为斜边向外作等腰直角，为的中点．在（2）的条件下，将绕点旋转，得到△，，的对应点分别为，，直线与直线交于点，，直接写出当取最小值时的值．

【解答】（1）解：如图1中，过点作于．

，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
．

（2）证明：如图2中，连接，过点作交于．

，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
．

（3）解：如图3中，过点作于，过点作于．

，都是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
点的在射线上运动，
当，，共线，且时，的值最小．
设，
，
，，，，
，，
，，
，，
，
设，，
，
，，，
，
．
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日期：2021/12/16 17:16:51；用户：初中数学1；邮箱：jse032@xyh.com；学号：39024122