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专题23.10 《旋转》中的双等腰模型（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题23.10 《旋转》中的双等腰模型（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版），共48页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
专题23.10 《旋转》中的双等腰模型（专项练习）
一、解答题
1．如图，锐角中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接BD、CE，可以通过全等三角形的知识证得BD与CE相等．
（1）如图，锐角中分别以AB、AC为边向外作等腰和等腰，，，，连接BD、CE，试猜想BD与CE的数量关系，并说明理由．
（2）如图，在中，，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接CD，若，求CD的长．
（3）如图，在四边形中ABCD，，求BD的最大值．
2．[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．
[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．
3．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AC，CD，CF之间的数量关系为____________；（将结论直接写在横线上）
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成立，请你写出正确结论，并说明理由．
4．在中，在直线上，且．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，当点在的延长线上且点在线段上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
5．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，
①求证：BD=CE；
②请探讨四边形ADCE的面积是否有变化；
（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD，CB与CE之间的数量关系．
6．感知：如图①，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连结AE、CG，易证．（不需要证明）
探究：将图①中正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图②．连结AE、CG，证明：AE=CG．
应用：如图③，正方形ABCD中，AD=3，点E在CB的延长线上，BE=1，DE=DF，∠EDF=90°．直接写出点F与点C的距离．
7．如图，已知CA＝CB，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝90°，且A、F、E三点共线，AE与CB交于点D．
（1）求证：AF2+AE2＝AB2
（2）若AC＝，BE＝3，则CE＝ ．
8．已知：如图1，AOB和COD都是等边三角形．
（1）求证：①AC＝BD；②∠APB＝60°；
（2）如图2，在AOB和COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系为 ，∠APB的大小为
9．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．
（2）设，．
①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
10．如图，已知AM＝CN，B在MN的垂直平分线上，∠AMB＝∠CNB，∠MBN＝90°．证明：△ABC为等腰直角三角形．
11．已知如图所示，直线交轴于点，交轴于点，是线段（不包括，）上一动点，以为底边在直线的左侧作等腰直角三角形，为的中点，连结，，，当点运动时，判断的形状并证明.
12．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
13．探究：
(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE
填空：
①线段BD、BE的数量关系为______．
②线段BC、DE的位置关系为______．
推广：
(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．
14．已知△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF，
（1）如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；
（2）如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP．
15．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.
(1)连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(2)连接DE，如图②，求证：BD2+CD2=2AD2
(3)如图③,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=，CD=1，则AD的长为 ▲ .(直接写出答案）
16．如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点， 四边形ABCD是正方形．
⑴ 求证：△ABE≌△CBF；
⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．
17．如图所示，在中，，，、分别是、边的中点.将绕点顺时针旋转角，得到（如图所示）.
（1）探究与的数量关系，并给予证明；
（2）当时，试求旋转角的度数.
18．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；
（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．
19．如图所示，点是线段上一点，和都是等边三角形.
（1）连结，，求证：；
（2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到.
①当旋转角为______度时，边落在上；
②在①的条件下，延长交于点，连结，.当线段、满足什么数量关系时，与全等？并给予证明.
20．如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．
21．（）问题发现：
如图①，与是等边三角形，且点，，在同一直线上，连接，求的度数，并确定线段与的数量关系．
（）拓展探究：
如图②，与都是等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，于点，连接，求的度数，并确定线段，，之间的数量关系．
22．如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD=3，BD=1，求CD．
23．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
参考答案
1．（1），证明见解析；（2）；（3）23．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质解得，继而可证及，再由全等三角形对应边相等解题；
（2）过A作交于点，连接，先证明是等腰直角三角形，得到 ，，再证明，由全等三角形的性质得到，接着在等腰直角三角形中，由勾股定理解得，最后在中，由勾股定理即可解得的长；
（3）先证明为等边三角形，再由等边三角形的性质可得，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，由旋转的性质得，继而证明是等边三角形，由等边三角形的性质得到，最后根据三角形三边关系解题即可．
【详解】
解：（1）∵和是等腰三角形，
，
，
即：，
在中中
，
，
；
（2）如图（1）所示，过A作交于点，连接，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
即：，
在和中
，
，
在等腰直角三角形中，，
，
由勾股定理得：.
在中，由勾股定理得：
；
（3），
∴为等边三角形，
，
如图（2）所示，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，
由旋转性质可得∶
，
∴是等边三角形，
∴，
又∴， 即，
即，
∴的最大值为 ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
2．（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或．
【分析】
发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论；
拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系；
应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根据DP=BP-BD=6-1=5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP=BP+BD=6+1=7，进而可得点A到BP的距离．
【详解】
解：发现：（1）证明：
∵AH⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠AHC=90°=∠BAC．
∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．
∴∠CAH=∠B，
在△ABH和△CAH中，
，
∴△ABH≌△CAH．（AAS）．
∴BH=AH，AH=CH．
∴AH=BC．
拓展：∠DCE的度数为90°，
线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，
理由如下：
∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠DCE=90°；
∵D、B、C三点共线，
∴DB+BC=CD，
∵DB=CE，AH=BC，
∴CE+2AH=CD．
应用：点A到BP的距离为：或．
理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，
∴∠BAC=∠DAP=90°，
∴∠BAD=∠CAP，
∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD=CP=1，
∴DP=BP-BD=6-1=5，
∵AH⊥DP，
∴AH=DP=；
如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，
∴∠BAC=∠DAP=90°，
∴∠BAD=∠CAP，
∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，
∴∠ACP+∠ABP=180°，
∴∠ACP=∠ABD，
∵AB=AC，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD=CP=1
∴DP=BP+BD=6+1=7．
∵AH⊥DP，
∴AH=DP=．
综上所述：点A到BP的距离为：或．
【点拨】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
3．（1）CD+CF=AC；（2）不成立，CD-CF=AC；理由见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得∠DAF=90°，AD=AF，利用同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS可证明△BAD≌△CAF，可得CF=BD，即可得出BC=CD+CF，根据等腰直角三角形的性质可得BC=AC，进而可得答案；
（2）同（1）可证明△BAD≌△CAF，可得BD=CF，即可得出CD=BC+CF，根据等腰直角三角形的性质可得BC=AC，可得CD-CF=AC，即可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∴∠CAF+∠DAC=90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD+CF=CD+BD=BC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AC，
∴CD+CF=AC．
故答案为：CD+CF=AC
（2）不成立，CD-CF=AC．理由如下：
同（1）可证△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD=BC+BD=BC+CF，
∵BC=AC，
∴CD-CF=AC．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
4．（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．
【分析】
（1）将绕点C逆时针旋转，得到，利用旋转的性质和等腰三角形的性质证明为直角三角形，可证明，利用全等三角形的判定（SSS）可证明，即可证得；
（1）仿照（1）中方法将绕点C逆时针旋转得到，证明为直角三角形，再证DN=MN，进而证明即可得出结论．
【详解】
如图1，，
将绕点C逆时针旋转，得到，
则，
，
连接，
=45°，
，
为直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
即；
如图2，，
将绕点C逆时针旋转得到，
，
，
，
为直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用旋转性质旋转△ACM构造直角三角形是解答的关键．
5．（1）①见解析；②四边形ADCE的面积不变；（2）当点D在线段BC上时，CB=CE＋CD；当点D在点C右侧时，CB = CE－CD；当点D在点B左侧时，CB= CD－CE
【分析】
（1）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，从而得出∠BAD=∠CAE，然后利用SAS即可证出△BAD≌△CAE，从而得出BD=CE；
②根据直角三角形的面积公式即可求出S△ABC，然后根据全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，然后根据S四边形ADCE=S△CAE＋S△ADC和等量代换即可得出结论；
（2）根据点D的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据（1）①中证全等的方法和全等三角形的性质即可推出结论．
【详解】
解：（1）①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD＋∠DAC=90°，∠CAE＋∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE；
②∵已知Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴S△ABC=AB·AC=2
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE
∴S四边形ADCE=S△CAE＋S△ADC=S△BAD＋S△ADC= S△ABC=2
∴四边形ADCE的面积不变；
（2）当点D在线段BC上时，如下图所示
由（1）①的结论知BD=CE
∴CB=BD＋CD= CE＋CD；
当点D在点C右侧时，如下图所示
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD－∠DAC=90°，∠CAE－∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
∴CB=BD－CD= CE－CD；
当点D在点B左侧时，如下图所示
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD=∠DAC－90°，∠CAE=∠DAC－ 90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
∴CB= CD－BD = CD－CE．
综上所述：当点D在线段BC上时，CB=CE＋CD；当点D在点C右侧时，CB = CE－CD；当点D在点B左侧时，CB= CD－CE．
【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、分类讨论的数学思想和三角形的面积公式是解决此题的关键．
6．探究：证明见解析；应用：点F与点C的距离为．
【分析】
探究：结合旋转模型，利用“边角边”证明即可得出结论；
应用：连接FC，根据前序问题中的方法证明△AED≌△CFD，从而得到CF=AE，即在Rt△AED中求解AE即可．
【详解】
探究：证明：在正方形和正方形中，
AD=CD，DE=DG，，
∴，
∴，
∴；
应用：连接FC，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
又∵AD=CD，DE=DF，
∴△AED≌△CFD，
∴CF=AE，
在Rt△AED中，，
∴点F与点C的距离为．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握基本的旋转模型，根据全等三角形的性质求解问题是解题关键．
7．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）如图1中，欲证明AF＝BE，只要证明△ACF≌△BCE即可．
（2）如图1中，由△ACF≌△BCE，推出∠AFC＝∠CEB，由∠CFE＝∠CEF＝45°，推出∠AFC＝∠CEB＝135°，推出∠AEB＝90°，由AC＝BC＝，推出BC＝AC＝，在Rt△AEB中，AE＝，推出EF＝2，由此即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图中，
∵∠ACB＝∠FCE＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
∴∠CAF＝∠CBE，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2
∴AF2+AE2＝AB2，
（2）∵△ACF≌△BCE，
∴∠AFC＝∠CEB，
∵∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFC＝∠CEB＝135°，
∴∠AEB＝90°，
∵AC＝BC＝，
∴AB＝AC＝，
在Rt△AEB中，AE＝，
∵AF＝BE＝3，
∴EF＝2，
∴CE＝EF＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
8．（1）①见解析，②见解析；（2）AC＝BD，α
【分析】
（1）①根据△AOB和△COD都是等边三角形，求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD；
②由△AOC≌△BOD，可得∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可；
（2）根据∠AOB=∠COD=α，求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可．
【详解】
证明：（1）①∵△AOB和△COD都是等边三角形，
∴OA=OB ，OC=OD，∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
②设AC与BO交于E，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AEO=∠BEP，
∴∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，
∴∠APB＝∠AOB＝60°．
（2）AC=BD，∠APB=α，
理由如下：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
设AC与BO交于E，
∵∠AEO=∠BEP，
∴∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，
∴∠APB=∠AOB=α，
故答案为AC=BD，α．
【点拨】本题考查三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．
9．（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“SAS”可证△ADB≌△AEC得出∠ABD=∠ACE，再用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点在射线的反向延长线上时，．
理由如下：
∵，
∴，
在△ABD与△ACE中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键．
10．见解析
【分析】
由题意先证明△ABM≌△CBN（SAS）的长AB＝CB，∠ABM＝∠CBN，则∠CBN+∠ABN＝∠ABM+∠ABN＝∠MBN＝90°，即∠ABC＝90°，即可得出结论．
【详解】
证明：∵点B在MN的垂直平分线上，
∴BM＝BN，
在△ABM和△CBN中，，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBN，
∴∠CBN+∠ABN＝∠ABM+∠ABN＝∠MBN＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定以及线段垂直平分线的性质，由题意先证明三角形全等是解题的关键．
11．为等腰直角三角形，证明见解析.
【解析】
【分析】
延长到，使，连结，，由条件证明，进一步可得，所以可证为等腰直角三角形，又，所以为等腰直角三角形.
【详解】
为等腰直角三角形
证明：延长到，使，连结，，如图，
∵G为AF的中点，
∴AG=FG，
又∠AGH=∠FGE，
∴△AGH≌△FGE，
∴EG=HG，AH=FE，
由y=x+2可得，AO=BO=2，
∵EF=EB，
∴AH=EB
∴
∴EO=HO，∠BOE=∠HOA，
∴∠BOE+∠EOA=90°,
∴∠HOA+∠AOE=90°，
∴△HOE是等腰直角三角形，
又，
所以为等腰直角三角形.
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定是解题关键．
12．1），；（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM=DM=EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；
（2）根据旋转的性质首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS证明△ABD≌△CBF，进而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM与DM的位置关系及数量关系．
【详解】
（1）如图1；
∵M是EC的中点，
∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DM=BM．
∵M是EC的中点，
∴MC=EC，
∴BM=MC=DM，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，
∴∠BMD=2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM=DM且BM⊥DM；
故答案为：BM=DM且BM⊥DM．
（2）成立．
理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．
在△EMD和△CMF中，
∵
∴△EMD≌△CMF（SAS），
∴ED=CF，∠DEM=∠1．
∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．
∴∠8=∠BAD．
在△ABD和△CBF中，
∵，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．
∴∠DBF=∠ABC=90°．
∵MF=MD，
∴BM=DM且BM⊥DM．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解题关键．
13．(1)①BD=CE；②BD⊥CE；(2)结论：(1)中的结论仍然成立，理由见解析；(3)满足条件的DE的值为或4．
【解析】
【分析】
①由CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=45°，易证△CBD≌△CBE，即可得出BD=BE；
②由CD=CE即可得出BC⊥DE.
（2）由CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=α，易证△CBD≌△CBF，即可得出BD=BE，再由等腰三角形的性质得出BC⊥DE.
（3）分两种情况，根据三角形全等的性质及三角函数即可得出.
【详解】
(1)如图①中，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵∠ECD=90°，
∴∠ECF=∠DCF=45°，
∵CD=CE，CB=CB，
∴△CBD≌△CBE(SAS)，
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC垂直平分线段DE，
∴BC⊥DE．
故答案为BD=CE，BD⊥CE．
(2)结论：(1)中的结论仍然成立．
理由：如图②中，
∵CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM=α，
∵∠ECD=α，
∴∠ECF=∠DCF=α，
∵CD=CE，CB=CB，
∴△CBD≌△CBF(SAS)，
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC垂直平分线段DE，
∴BC⊥DE．
(3)如图③中，
当△AFE≌△AMD时，AF=AM，
∵∠AFD=∠AMD=90°，
∵AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADM(HL)，
∴∠DAF=∠DAM=30°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴DA=DB，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=60°，BF=AF=2，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴DF=EF=BF•tan30°=，
∴DE=2EF=．
如图③-1中，当点D在AM的延长线时，易证AF=AM=2，DE=2DF=4．
综上所述，满足条件的DE的值为或4.
【点拨】本题考查了等腰三角形，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握性质定理.
14．（1）135°；（2）45°
【分析】
（1）过E作CB垂线，交延长线于点M，可证△ACP≌△PEM，得出EM=PC，AC=PM，得出BM=EM，得出∠EBM=45°，求得∠EBP；
（2）类比（1）的方法同样过E作CB垂线，垂足M，最后得出BM=EM，得出∠EBM=45°得出结论．
【详解】
（1）如图，
过E作CB垂线，交延长线于点M，
∵四边形APEF是正方形，
∴∠APE=90°，AP=PE，
∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，
∴∠PAC=∠EPM，
在△ACP和△PEM中，
，
∴△ACP≌△PEM，
∴AC=MP，PC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=MP，
∴PC=BM，
∴BM=EM，
∴∠EBM=45°，
∴∠EBP=135°．
（2）如图，
作EM⊥CB，垂足为M，
∵四边形APEF是正方形，
∴∠APE=90°，AP=PE，
∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，
∴∠PAC=∠EPM，
在△ACP和△PEM中，
，
∴△ACP≌△PEM，
∴AC=MP，PC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=MP，
∴PC=BM，
∴BM=EM，
∴∠EBM=45°．
【点拨】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，利用三角形全等的证明方法得出三角形全等是解决问题的关键．
15．（1）BC=DC+EC，理由见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据本题中的条件证出△BAD≌△CAE（SAS）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.
（2）由（1）中的条件可得∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°, 所以CE2+CD2=ED2,可推出BD2+CD2=,再根据勾股定理可得出结果.
（3）作AE⊥AD,使AE=AD，连接CE,DE,可推出△BAD≌△CAE（SAS）,所以BD=CE=,再根据勾股定理求得DE.
【详解】
解：（1）结论：BC=DC+EC
理由：如图①中,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE（SAS）;
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD,
即：BC=DC+EC.
（2）BD2+CD2=2AD2,
理由如下：连接CE,
由（1）得，△BAD≌△CAE,
∴BD=CE，∠ACE=∠B,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°,
∴CE2+CD2=ED2,
即：BD2+CD2=ED2;
在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,
∴ED2=2AD2;
∴BD2+CD2=2AD2;
（3）AD的长为(学生直接写出答案）.
作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD与△CAE中,
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）,
∴BD=CE=,
∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,
∴DE2=CE2-CD2=（）2-12=12,
∴DE=2,
∵∠DAE=90°,AD2+AE2=DE2,
∴AD=.
【点拨】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
16．（1）见解析；（2）CF⊥AE，理由见解析
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得出BE=BF，∠EBF=90°，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=90°，根据余角的性质得到∠EBA=∠CBF，最后根据SAS证明结果；
（2）延长CF，交AE于点G，根据补角的性质得出∠AEB+∠BFG=180°，再根据四边形内角和得出∠EGF+∠EBF=180°，从而可得∠EGF=90°，即可得到结果.
【详解】
解：（1）∵△EBF为等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
则∠EBA+∠FBA=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，则∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠EBA=∠CBF，
又∵BE=BF，AB=BC，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）延长CF，交AE于点G，
由（1）得：∠CFB=∠AEB，
∵∠CFB+∠BFG=180°，
∴∠AEB+∠BFG=180°，
∴∠EGF+∠EBF=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠EGF=90°，
∴CF⊥AE.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，四边形内角和，解题的关键是根据题意证明△ABE≌△CBF.
17．（1），详见解析；（2）
【分析】
由于，，D、E分别是AB、AC边的中点，则，再根据旋转的性质得到，，，则，根据三角形全等的判定方法可得到≌，则有；
由于，根据平行线的性质得到，又因为，根据含的直角三角形三边的关系得到，利用互余即可得到旋转角的度数．
【详解】
证明： 理由如下：
，，D，E 分别是 ， 边的中点， ，
绕点 A 顺时针旋转 角 ，得到 ， ，，，
，
在 和 中，
，
；
，
，
在 中，
，
．
．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形是解决问题的关键．
18．（1）=；⊥ （2）见解析 （3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析
【分析】
（1）根据等式的性质可得AC与BD的数量关系，根据∠AOB=∠COD=90°，可证AC与BD的位置关系；
（2）证明△OCA≌△ODB，即可得到AC=BD；
（3）证明△OCA≌△ODB，可得AC=BD，∠BDO=∠ACO，进而可证∠DEF=90°．
【详解】
解：（1）∵OA=OB，OC=OD
∴OA-OC=OB-OD，
∴AC=BD．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴AO⊥BO，
∵C、D分别在OA、OB上，
∴AC⊥BD；
（2）在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD；
（3）AC=BD，AC⊥BD．
理由：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD，∠BDO=∠ACO，
∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE，
∴∠BDO+∠DFE=90°，
∴∠DEF=180°-90°=90°，
∴AC⊥BD．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
19．（1）详见解析；（2）①；②当时，与全等.
【分析】
根据等边三角形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
求出，即可得到旋转角度数；
当时，与全等根据旋转的性质可得，然后得到四边形是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得，菱形的对边平行可得，根据等边三角形的性质求出，，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出，从而得到，然后利用“角边角”证明与全等．
【详解】
证明：和都是等边三角形．
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
当旋转角为60°时，边落在上.
理由如下：，
，
边落在AE上，
旋转角．
故答案为60．
当时，与全等．
理由如下：由旋转可知，与AD重合，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
在与中，
，
≌．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定时提到过．
20．四边形PCDE面积的最大值为1．
【解析】
【分析】
先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】
延长EP交BC于点F，
，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，则
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
21．（1）的度数为，线段与之间的数量关系是；（2）．
【分析】
（1）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出．然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出，．进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
（2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，，据此判断出．然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出．进而判断出∠BEC的度数为90°即可；最后根据，，，得到于是得到结论．
【详解】
解：（）因为和均为等边三角形，
所以，，，，
所以，
即．
在和中，，
所以≌，
所以，．
因为点，，在同一直线上，
所以，
所以，
所以．
综上可得，的度数为，线段与之间的数量关系是．
（）因为和均为等腰直角三角形，
所以，，，，
所以，
即．
在和中，
，
所以≌，
所以，．
因为点，，在同一直线上，
所以，
所以，
所以．
因为，，，
易证，所以．
22．(1)见解析；（2）
【分析】
（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，所以AC=BD=1，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，根据勾股定理即可求出CD的长．
【详解】
解：（1）∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°﹣∠AOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠B=∠OAB=45°，
∵△AOC≌△BOD，BD=1，
∴AC=BD=1，∠CAO=∠B=45°，
∵∠OAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°，
在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD=．
23．（1）证明见解析（2）-1
【分析】
（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】
（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
专题23.10 《旋转》中的双等腰模型（专项练习）
一、解答题
1．如图，锐角中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接BD、CE，可以通过全等三角形的知识证得BD与CE相等．
（1）如图，锐角中分别以AB、AC为边向外作等腰和等腰，，，，连接BD、CE，试猜想BD与CE的数量关系，并说明理由．
（2）如图，在中，，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接CD，若，求CD的长．
（3）如图，在四边形中ABCD，，求BD的最大值．
2．[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．
[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．
3．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AC，CD，CF之间的数量关系为____________；（将结论直接写在横线上）
（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成立，请你写出正确结论，并说明理由．
4．在中，在直线上，且．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，当点在的延长线上且点在线段上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
5．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，
①求证：BD=CE；
②请探讨四边形ADCE的面积是否有变化；
（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD，CB与CE之间的数量关系．
6．感知：如图①，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连结AE、CG，易证．（不需要证明）
探究：将图①中正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图②．连结AE、CG，证明：AE=CG．
应用：如图③，正方形ABCD中，AD=3，点E在CB的延长线上，BE=1，DE=DF，∠EDF=90°．直接写出点F与点C的距离．
7．如图，已知CA＝CB，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝90°，且A、F、E三点共线，AE与CB交于点D．
（1）求证：AF2+AE2＝AB2
（2）若AC＝，BE＝3，则CE＝ ．
8．已知：如图1，AOB和COD都是等边三角形．
（1）求证：①AC＝BD；②∠APB＝60°；
（2）如图2，在AOB和COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系为 ，∠APB的大小为
9．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
（1）如图，当点在线段上，如果，则______度．
（2）设，．
①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由．
10．如图，已知AM＝CN，B在MN的垂直平分线上，∠AMB＝∠CNB，∠MBN＝90°．证明：△ABC为等腰直角三角形．
11．已知如图所示，直线交轴于点，交轴于点，是线段（不包括，）上一动点，以为底边在直线的左侧作等腰直角三角形，为的中点，连结，，，当点运动时，判断的形状并证明.
12．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
13．探究：
(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE
填空：
①线段BD、BE的数量关系为______．
②线段BC、DE的位置关系为______．
推广：
(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=a，作CM平分∠ACB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转α度得到线段CE，连接DE、BD、BE请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由．
应用：
(3)如图③，在等边三角形ABC中，AB=4．作BM平分∠ABC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．
14．已知△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF，
（1）如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；
（2）如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP．
15．在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE.
(1)连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明你的结论；
(2)连接DE，如图②，求证：BD2+CD2=2AD2
(3)如图③,在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=，CD=1，则AD的长为 ▲ .(直接写出答案）
16．如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点， 四边形ABCD是正方形．
⑴ 求证：△ABE≌△CBF；
⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．
17．如图所示，在中，，，、分别是、边的中点.将绕点顺时针旋转角，得到（如图所示）.
（1）探究与的数量关系，并给予证明；
（2）当时，试求旋转角的度数.
18．已知Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点O重合，∠AOB=∠COD=90°，且OA=OB，OC=OD．
（1）如图1，当C、D分别在OA、OB上时，AC与BD的数量关系是AC BD（填“>”，“<”或“=”）AC与BD的位置关系是AC BD（填“∥”或“⊥”）；
（2）将Rt△OCD绕点O顺时针旋转，使点D在OA上，如图2，连接AC，BD，求证：AC=BD；
（3）现将Rt△OCD绕点O顺时针继续旋转，如图3，连接AC，BD，猜想AC与BD的数量关系和位置关系，并给出证明．
19．如图所示，点是线段上一点，和都是等边三角形.
（1）连结，，求证：；
（2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到.
①当旋转角为______度时，边落在上；
②在①的条件下，延长交于点，连结，.当线段、满足什么数量关系时，与全等？并给予证明.
20．如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．
21．（）问题发现：
如图①，与是等边三角形，且点，，在同一直线上，连接，求的度数，并确定线段与的数量关系．
（）拓展探究：
如图②，与都是等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，于点，连接，求的度数，并确定线段，，之间的数量关系．
22．如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD=3，BD=1，求CD．
23．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
参考答案
1．（1），证明见解析；（2）；（3）23．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质解得，继而可证及，再由全等三角形对应边相等解题；
（2）过A作交于点，连接，先证明是等腰直角三角形，得到 ，，再证明，由全等三角形的性质得到，接着在等腰直角三角形中，由勾股定理解得，最后在中，由勾股定理即可解得的长；
（3）先证明为等边三角形，再由等边三角形的性质可得，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，由旋转的性质得，继而证明是等边三角形，由等边三角形的性质得到，最后根据三角形三边关系解题即可．
【详解】
解：（1）∵和是等腰三角形，
，
，
即：，
在中中
，
，
；
（2）如图（1）所示，过A作交于点，连接，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又是等腰直角三角形，
，
，
，
即：，
在和中
，
，
在等腰直角三角形中，，
，
由勾股定理得：.
在中，由勾股定理得：
；
（3），
∴为等边三角形，
，
如图（2）所示，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，
由旋转性质可得∶
，
∴是等边三角形，
∴，
又∴， 即，
即，
∴的最大值为 ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
2．（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或．
【分析】
发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论；
拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系；
应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根据DP=BP-BD=6-1=5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP=BP+BD=6+1=7，进而可得点A到BP的距离．
【详解】
解：发现：（1）证明：
∵AH⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠AHC=90°=∠BAC．
∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．
∴∠CAH=∠B，
在△ABH和△CAH中，
，
∴△ABH≌△CAH．（AAS）．
∴BH=AH，AH=CH．
∴AH=BC．
拓展：∠DCE的度数为90°，
线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，
理由如下：
∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠DCE=90°；
∵D、B、C三点共线，
∴DB+BC=CD，
∵DB=CE，AH=BC，
∴CE+2AH=CD．
应用：点A到BP的距离为：或．
理由如下：
如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，
∴∠BAC=∠DAP=90°，
∴∠BAD=∠CAP，
∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD=CP=1，
∴DP=BP-BD=6-1=5，
∵AH⊥DP，
∴AH=DP=；
如图4，过点A作AH⊥BP于点H，
作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，
∴∠BAC=∠DAP=90°，
∴∠BAD=∠CAP，
∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，
∴∠ACP+∠ABP=180°，
∴∠ACP=∠ABD，
∵AB=AC，
∴△APC≌△ADB（AAS），
∴BD=CP=1
∴DP=BP+BD=6+1=7．
∵AH⊥DP，
∴AH=DP=．
综上所述：点A到BP的距离为：或．
【点拨】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
3．（1）CD+CF=AC；（2）不成立，CD-CF=AC；理由见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质可得∠DAF=90°，AD=AF，利用同角的余角相等可得∠BAD=∠CAF，利用SAS可证明△BAD≌△CAF，可得CF=BD，即可得出BC=CD+CF，根据等腰直角三角形的性质可得BC=AC，进而可得答案；
（2）同（1）可证明△BAD≌△CAF，可得BD=CF，即可得出CD=BC+CF，根据等腰直角三角形的性质可得BC=AC，可得CD-CF=AC，即可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∴∠CAF+∠DAC=90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD+CF=CD+BD=BC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AC，
∴CD+CF=AC．
故答案为：CD+CF=AC
（2）不成立，CD-CF=AC．理由如下：
同（1）可证△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD=BC+BD=BC+CF，
∵BC=AC，
∴CD-CF=AC．
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
4．（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．
【分析】
（1）将绕点C逆时针旋转，得到，利用旋转的性质和等腰三角形的性质证明为直角三角形，可证明，利用全等三角形的判定（SSS）可证明，即可证得；
（1）仿照（1）中方法将绕点C逆时针旋转得到，证明为直角三角形，再证DN=MN，进而证明即可得出结论．
【详解】
如图1，，
将绕点C逆时针旋转，得到，
则，
，
连接，
=45°，
，
为直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
即；
如图2，，
将绕点C逆时针旋转得到，
，
，
，
为直角三角形，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用旋转性质旋转△ACM构造直角三角形是解答的关键．
5．（1）①见解析；②四边形ADCE的面积不变；（2）当点D在线段BC上时，CB=CE＋CD；当点D在点C右侧时，CB = CE－CD；当点D在点B左侧时，CB= CD－CE
【分析】
（1）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，从而得出∠BAD=∠CAE，然后利用SAS即可证出△BAD≌△CAE，从而得出BD=CE；
②根据直角三角形的面积公式即可求出S△ABC，然后根据全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，然后根据S四边形ADCE=S△CAE＋S△ADC和等量代换即可得出结论；
（2）根据点D的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据（1）①中证全等的方法和全等三角形的性质即可推出结论．
【详解】
解：（1）①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD＋∠DAC=90°，∠CAE＋∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE；
②∵已知Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴S△ABC=AB·AC=2
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE
∴S四边形ADCE=S△CAE＋S△ADC=S△BAD＋S△ADC= S△ABC=2
∴四边形ADCE的面积不变；
（2）当点D在线段BC上时，如下图所示
由（1）①的结论知BD=CE
∴CB=BD＋CD= CE＋CD；
当点D在点C右侧时，如下图所示
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD－∠DAC=90°，∠CAE－∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
∴CB=BD－CD= CE－CD；
当点D在点B左侧时，如下图所示
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD=∠DAC－90°，∠CAE=∠DAC－ 90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
∴CB= CD－BD = CD－CE．
综上所述：当点D在线段BC上时，CB=CE＋CD；当点D在点C右侧时，CB = CE－CD；当点D在点B左侧时，CB= CD－CE．
【点拨】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和三角形的面积公式，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、分类讨论的数学思想和三角形的面积公式是解决此题的关键．
6．探究：证明见解析；应用：点F与点C的距离为．
【分析】
探究：结合旋转模型，利用“边角边”证明即可得出结论；
应用：连接FC，根据前序问题中的方法证明△AED≌△CFD，从而得到CF=AE，即在Rt△AED中求解AE即可．
【详解】
探究：证明：在正方形和正方形中，
AD=CD，DE=DG，，
∴，
∴，
∴；
应用：连接FC，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
又∵AD=CD，DE=DF，
∴△AED≌△CFD，
∴CF=AE，
在Rt△AED中，，
∴点F与点C的距离为．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握基本的旋转模型，根据全等三角形的性质求解问题是解题关键．
7．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）如图1中，欲证明AF＝BE，只要证明△ACF≌△BCE即可．
（2）如图1中，由△ACF≌△BCE，推出∠AFC＝∠CEB，由∠CFE＝∠CEF＝45°，推出∠AFC＝∠CEB＝135°，推出∠AEB＝90°，由AC＝BC＝，推出BC＝AC＝，在Rt△AEB中，AE＝，推出EF＝2，由此即可解决问题．
【详解】
（1）证明：如图中，
∵∠ACB＝∠FCE＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
∴∠CAF＝∠CBE，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2
∴AF2+AE2＝AB2，
（2）∵△ACF≌△BCE，
∴∠AFC＝∠CEB，
∵∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFC＝∠CEB＝135°，
∴∠AEB＝90°，
∵AC＝BC＝，
∴AB＝AC＝，
在Rt△AEB中，AE＝，
∵AF＝BE＝3，
∴EF＝2，
∴CE＝EF＝．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
8．（1）①见解析，②见解析；（2）AC＝BD，α
【分析】
（1）①根据△AOB和△COD都是等边三角形，求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD；
②由△AOC≌△BOD，可得∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可；
（2）根据∠AOB=∠COD=α，求出∠AOC=∠BOD，根据SAS推出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出AC=BD，∠CAO=∠DBO，根据三角形内角和可知∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，推出∠APB=∠AOB即可．
【详解】
证明：（1）①∵△AOB和△COD都是等边三角形，
∴OA=OB ，OC=OD，∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
②设AC与BO交于E，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AEO=∠BEP，
∴∠CAO+∠AOB＝∠DBO+∠APB，
∴∠APB＝∠AOB＝60°．
（2）AC=BD，∠APB=α，
理由如下：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，
设AC与BO交于E，
∵∠AEO=∠BEP，
∴∠CAO+∠AOB=∠DBO+∠APB，
∴∠APB=∠AOB=α，
故答案为AC=BD，α．
【点拨】本题考查三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握三角形旋转，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键．
9．（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“SAS”可证△ADB≌△AEC得出∠ABD=∠ACE，再用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点在射线的反向延长线上时，．
理由如下：
∵，
∴，
在△ABD与△ACE中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键．
10．见解析
【分析】
由题意先证明△ABM≌△CBN（SAS）的长AB＝CB，∠ABM＝∠CBN，则∠CBN+∠ABN＝∠ABM+∠ABN＝∠MBN＝90°，即∠ABC＝90°，即可得出结论．
【详解】
证明：∵点B在MN的垂直平分线上，
∴BM＝BN，
在△ABM和△CBN中，，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBN，
∴∠CBN+∠ABN＝∠ABM+∠ABN＝∠MBN＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定以及线段垂直平分线的性质，由题意先证明三角形全等是解题的关键．
11．为等腰直角三角形，证明见解析.
【解析】
【分析】
延长到，使，连结，，由条件证明，进一步可得，所以可证为等腰直角三角形，又，所以为等腰直角三角形.
【详解】
为等腰直角三角形
证明：延长到，使，连结，，如图，
∵G为AF的中点，
∴AG=FG，
又∠AGH=∠FGE，
∴△AGH≌△FGE，
∴EG=HG，AH=FE，
由y=x+2可得，AO=BO=2，
∵EF=EB，
∴AH=EB
∴
∴EO=HO，∠BOE=∠HOA，
∴∠BOE+∠EOA=90°,
∴∠HOA+∠AOE=90°，
∴△HOE是等腰直角三角形，
又，
所以为等腰直角三角形.
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定是解题关键．
12．1），；（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM=DM=EC，再利用∠1=∠2，∠3=∠4，∠BMD=2（∠1+∠3），即可得出答案；
（2）根据旋转的性质首先得出∠8=∠BAD，再利用SAS证明△ABD≌△CBF，进而得出BD=BF，∠ABD=∠CBF，∠DBF=∠ABC=90°，即可得出BM与DM的位置关系及数量关系．
【详解】
（1）如图1；
∵M是EC的中点，
∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴DM=BM．
∵M是EC的中点，
∴MC=EC，
∴BM=MC=DM，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，
∴∠BMD=2（∠1+∠3），
∵△ABC等腰直角三角形，
∴∠BCA=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM=DM且BM⊥DM；
故答案为：BM=DM且BM⊥DM．
（2）成立．
理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．
在△EMD和△CMF中，
∵
∴△EMD≌△CMF（SAS），
∴ED=CF，∠DEM=∠1．
∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．
∴∠8=∠BAD．
在△ABD和△CBF中，
∵，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．
∴∠DBF=∠ABC=90°．
∵MF=MD，
∴BM=DM且BM⊥DM．
【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBF是解题关键．
13．(1)①BD=CE；②BD⊥CE；(2)结论：(1)中的结论仍然成立，理由见解析；(3)满足条件的DE的值为或4．
【解析】
【分析】
①由CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=45°，易证△CBD≌△CBE，即可得出BD=BE；
②由CD=CE即可得出BC⊥DE.
（2）由CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，得出∠ECF=∠DCF=α，易证△CBD≌△CBF，即可得出BD=BE，再由等腰三角形的性质得出BC⊥DE.
（3）分两种情况，根据三角形全等的性质及三角函数即可得出.
【详解】
(1)如图①中，
∵CA=CB，∠ACB=90°，CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM=45°，
∵∠ECD=90°，
∴∠ECF=∠DCF=45°，
∵CD=CE，CB=CB，
∴△CBD≌△CBE(SAS)，
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC垂直平分线段DE，
∴BC⊥DE．
故答案为BD=CE，BD⊥CE．
(2)结论：(1)中的结论仍然成立．
理由：如图②中，
∵CA=CB，∠ACB=α，CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM=α，
∵∠ECD=α，
∴∠ECF=∠DCF=α，
∵CD=CE，CB=CB，
∴△CBD≌△CBF(SAS)，
∴BD=BE，
∵CD=CE，
∴BC垂直平分线段DE，
∴BC⊥DE．
(3)如图③中，
当△AFE≌△AMD时，AF=AM，
∵∠AFD=∠AMD=90°，
∵AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADM(HL)，
∴∠DAF=∠DAM=30°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴DA=DB，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF=60°，BF=AF=2，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴DF=EF=BF•tan30°=，
∴DE=2EF=．
如图③-1中，当点D在AM的延长线时，易证AF=AM=2，DE=2DF=4．
综上所述，满足条件的DE的值为或4.
【点拨】本题考查了等腰三角形，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握性质定理.
14．（1）135°；（2）45°
【分析】
（1）过E作CB垂线，交延长线于点M，可证△ACP≌△PEM，得出EM=PC，AC=PM，得出BM=EM，得出∠EBM=45°，求得∠EBP；
（2）类比（1）的方法同样过E作CB垂线，垂足M，最后得出BM=EM，得出∠EBM=45°得出结论．
【详解】
（1）如图，
过E作CB垂线，交延长线于点M，
∵四边形APEF是正方形，
∴∠APE=90°，AP=PE，
∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，
∴∠PAC=∠EPM，
在△ACP和△PEM中，
，
∴△ACP≌△PEM，
∴AC=MP，PC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=MP，
∴PC=BM，
∴BM=EM，
∴∠EBM=45°，
∴∠EBP=135°．
（2）如图，
作EM⊥CB，垂足为M，
∵四边形APEF是正方形，
∴∠APE=90°，AP=PE，
∵∠APC+∠PAC=∠APC+∠EPM=90°，
∴∠PAC=∠EPM，
在△ACP和△PEM中，
，
∴△ACP≌△PEM，
∴AC=MP，PC=EM，
∵AC=BC，
∴BC=MP，
∴PC=BM，
∴BM=EM，
∴∠EBM=45°．
【点拨】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，利用三角形全等的证明方法得出三角形全等是解决问题的关键．
15．（1）BC=DC+EC，理由见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据本题中的条件证出△BAD≌△CAE（SAS）, 得到BD=CE,再根据条件即可证出结果.
（2）由（1）中的条件可得∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°, 所以CE2+CD2=ED2,可推出BD2+CD2=,再根据勾股定理可得出结果.
（3）作AE⊥AD,使AE=AD，连接CE,DE,可推出△BAD≌△CAE（SAS）,所以BD=CE=,再根据勾股定理求得DE.
【详解】
解：（1）结论：BC=DC+EC
理由：如图①中,
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE（SAS）;
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=EC+CD,
即：BC=DC+EC.
（2）BD2+CD2=2AD2,
理由如下：连接CE,
由（1）得，△BAD≌△CAE,
∴BD=CE，∠ACE=∠B,
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=90°,
∴CE2+CD2=ED2,
即：BD2+CD2=ED2;
在Rt△ADE中,AD2+AE2=ED2,又AD=AE,
∴ED2=2AD2;
∴BD2+CD2=2AD2;
（3）AD的长为(学生直接写出答案）.
作AE⊥AD,使AE=AD,连接CE,DE,
∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
在△BAD与△CAE中,
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）,
∴BD=CE=,
∵∠ADC=45°,∠EDA=45°,
∴∠EDC=90°,
∴DE2=CE2-CD2=（）2-12=12,
∴DE=2,
∵∠DAE=90°,AD2+AE2=DE2,
∴AD=.
【点拨】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
16．（1）见解析；（2）CF⊥AE，理由见解析
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得出BE=BF，∠EBF=90°，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=90°，根据余角的性质得到∠EBA=∠CBF，最后根据SAS证明结果；
（2）延长CF，交AE于点G，根据补角的性质得出∠AEB+∠BFG=180°，再根据四边形内角和得出∠EGF+∠EBF=180°，从而可得∠EGF=90°，即可得到结果.
【详解】
解：（1）∵△EBF为等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
则∠EBA+∠FBA=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，则∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠EBA=∠CBF，
又∵BE=BF，AB=BC，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）延长CF，交AE于点G，
由（1）得：∠CFB=∠AEB，
∵∠CFB+∠BFG=180°，
∴∠AEB+∠BFG=180°，
∴∠EGF+∠EBF=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠EGF=90°，
∴CF⊥AE.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，四边形内角和，解题的关键是根据题意证明△ABE≌△CBF.
17．（1），详见解析；（2）
【分析】
由于，，D、E分别是AB、AC边的中点，则，再根据旋转的性质得到，，，则，根据三角形全等的判定方法可得到≌，则有；
由于，根据平行线的性质得到，又因为，根据含的直角三角形三边的关系得到，利用互余即可得到旋转角的度数．
【详解】
证明： 理由如下：
，，D，E 分别是 ， 边的中点， ，
绕点 A 顺时针旋转 角 ，得到 ， ，，，
，
在 和 中，
，
；
，
，
在 中，
，
．
．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形是解决问题的关键．
18．（1）=；⊥ （2）见解析 （3）AC=BD且AC⊥BD；证明见解析
【分析】
（1）根据等式的性质可得AC与BD的数量关系，根据∠AOB=∠COD=90°，可证AC与BD的位置关系；
（2）证明△OCA≌△ODB，即可得到AC=BD；
（3）证明△OCA≌△ODB，可得AC=BD，∠BDO=∠ACO，进而可证∠DEF=90°．
【详解】
解：（1）∵OA=OB，OC=OD
∴OA-OC=OB-OD，
∴AC=BD．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴AO⊥BO，
∵C、D分别在OA、OB上，
∴AC⊥BD；
（2）在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD；
（3）AC=BD，AC⊥BD．
理由：
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
∴∠AOC=∠BOD，
在△OCA和△ODB中，
，
∴△OCA≌△ODB，
∴AC=BD，∠BDO=∠ACO，
∵∠ACO+∠CFO=90°，∠CFO=∠DFE，
∴∠BDO+∠DFE=90°，
∴∠DEF=180°-90°=90°，
∴AC⊥BD．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
19．（1）详见解析；（2）①；②当时，与全等.
【分析】
根据等边三角形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
求出，即可得到旋转角度数；
当时，与全等根据旋转的性质可得，然后得到四边形是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得，菱形的对边平行可得，根据等边三角形的性质求出，，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出，从而得到，然后利用“角边角”证明与全等．
【详解】
证明：和都是等边三角形．
，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
当旋转角为60°时，边落在上.
理由如下：，
，
边落在AE上，
旋转角．
故答案为60．
当时，与全等．
理由如下：由旋转可知，与AD重合，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
在与中，
，
≌．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定时提到过．
20．四边形PCDE面积的最大值为1．
【解析】
【分析】
先延长EP交BC于点F，得出，再判定四边形CDEP为平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP的面积，最后根据，判断的最大值即可．
【详解】
延长EP交BC于点F，
，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，则
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
21．（1）的度数为，线段与之间的数量关系是；（2）．
【分析】
（1）首先根据和均为等边三角形，可得，，，，据此判断出．然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出，．进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
（2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，，据此判断出．然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出．进而判断出∠BEC的度数为90°即可；最后根据，，，得到于是得到结论．
【详解】
解：（）因为和均为等边三角形，
所以，，，，
所以，
即．
在和中，，
所以≌，
所以，．
因为点，，在同一直线上，
所以，
所以，
所以．
综上可得，的度数为，线段与之间的数量关系是．
（）因为和均为等腰直角三角形，
所以，，，，
所以，
即．
在和中，
，
所以≌，
所以，．
因为点，，在同一直线上，
所以，
所以，
所以．
因为，，，
易证，所以．
22．(1)见解析；（2）
【分析】
（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，所以AC=BD=1，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，根据勾股定理即可求出CD的长．
【详解】
解：（1）∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°﹣∠AOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠B=∠OAB=45°，
∵△AOC≌△BOD，BD=1，
∴AC=BD=1，∠CAO=∠B=45°，
∵∠OAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°，
在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD=．
23．（1）证明见解析（2）-1
【分析】
（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
【详解】
（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．
考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．
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