专题24.23 弧长和扇形面积（知识讲解2）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

  专题24.23  弧长和扇形面积（知识讲解2）

【典型例题】

类型九、求圆锥侧面积

9、一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求：

（1）圆锥的底面半径；

（2）圆锥的全面积.

【答案】（1）圆锥的底面半径为；（2）

【分析】

（1）扇形的弧长公式=，利用展开后扇形的弧长即为展开前圆锥底面圆的周长求出半径；

（2）S圆锥=，（r1=扇形半径即圆锥母线长，r2=底面圆半径）将已知条件代入即可.

解：（1）设圆锥的底面半径为，

扇形的弧长，

∴

解得，，即圆锥的底面半径为；

（2）圆锥的全面积

【点拨】本题考查圆锥相关的计算，要求掌握圆锥侧面积与底面积的计算公式，侧面展开图扇形相关的面积和弧长的求算，注意求圆锥面积时母线与底面圆半径的区分.

【变式1】“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，求出这个陀螺的表面积（结果保留）．

【答案】

【分析】

用勾股定理计算出的长，算出圆柱底面积加上圆柱侧面积，再加上圆锥的侧面积即可．

解：∵，

∴，

又∵，

∴在中，．

∴所求表面积

．

【点拨】本题开考查了圆柱和圆锥组合体的表面积计算，勾股定理；关键在于结合图形正确的选出要求的面，不要多选．

【变式2】如图，已知圆锥的底面积为，高，求该圆锥的侧面展开图的面积（结果保留）．

【答案】

【分析】

先求出圆锥底面圆的半径，再利用勾股定理求出AB的长，利用扇形的面积公式即可求解

由题意可知：，

圆锥的底面半径，

圆锥的侧面展开图的弧长等圆锥底面圆的周长

圆锥的侧面展开图的弧长

圆锥的侧面展开图的面积为

【点拨】本题利用了圆周长公式和扇形的面积公式求解，熟练掌握圆锥侧面展开图与底面圆的关系，牢记公式是解题关键．

类型十、求圆锥底面半径

10、如图，将弧长为，圆心角为120°的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．

【答案】圆锥的底面圆半径为3；圆锥的侧面积为．

【分析】

直接利用圆的周长公式即可求出圆的半径长，根据扇形的面积公式即可求出圆锥的侧面展开图的面积；

设圆锥的底面圆的半径为，则，解得，

设扇形的半径为，则，解得，

∴圆锥的侧面积．

【点拨】本题考查了圆锥的展开图问题，正确以及圆的周长公式以及扇形面积公式是解题的关键；

【变式1】如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：

（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 _________；

（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数为_______ °

（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）

【答案】（1）（-2，0）；（2），90；（3）

【分析】

（1）根据圆是轴对称图形的性质作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心；

（2）利用勾股定理求出圆的半径，分别求AD、CD、AC的长，利用勾股定理的逆定理证得△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；

（3）设圆锥的底面圆的半径长为，根据题意列得，求解即可．

解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，

则点D即为该圆弧所在圆的圆心，

由图形可知，点D的坐标为（-2，0），

故答案为：（-2，0）；

（2）圆D的半径长：AD=CD=，

∵AC=，

∴，，

∴，

∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；

故答案为：，90；

（3）设圆锥的底面圆的半径长为，

则，

解得．

【点拨】本题考查圆的对称性，勾股定理及其逆定理、扇形弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．

【变式2】如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．

（1）画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD、CD．

（2）⊙D的半径为　   　（结果保留根号）；

（3）若用扇形ADC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是　   　；

【答案】（1）图见解析；（2）；（3）

【分析】

（1）根据垂进定理，作出AB、BC的垂直平分线交点为圆心D．

（2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径．

（3）根据圆锥特点，先求出的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，便可解答．

解：（1）

（2）⊙D的半径AD

（3）根据图上信息，可知道

的长度l= =

扇形ADC围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度．

圆锥的底面圆半径

【点拨】本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题．

类型十一、求圆锥的高

11、如果从半径为5 cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),求这个圆锥的高.

【答案】3 cm.

【分析】因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长为=8π cm,

所以圆锥的底面半径r＝4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可

解:∵从半径为5 cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形,

∴留下的扇形的弧长为=8π cm,

根据圆锥底面圆的周长等于扇形弧长,

∴圆锥的底面半径r==4 cm,

∴圆锥的高为=3 cm.

【点拨】本题主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．

【变式1】如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥形纸帽的高．

【答案】圆锥形纸帽的高为6.

【解析】

【分析】

设圆锥的底面圆的半径为r,可得底面圆的周长即为，可得r，设扇形AOB的半径为R，可得R的值，由勾股定理可求出圆锥形纸帽的高

解：设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝6π，解得r＝3，

设扇形AOB的半径为R，则＝6π，解得R＝9，

所以圆锥形纸帽的高＝＝6．

【点拨】本题主要考查圆锥的性质及相关计算.

【变式2】如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．

（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）先利用扇形面积公式求出扇形半径，再利用扇形弧长公式求出弧长；
（2）先画出图形，求出圆锥的底面圆的半径，再利用勾股定理求高即可．

解：（1）设扇形的半径为R，

根据题意，得

∴R2=900，

∵R＞0，

∴R=30．

∴扇形的弧长=．

答：扇形的弧长为．

（2）设圆锥的底面半径为r，

根据题意，得，

∴．

∴圆锥的高h=．
 

答：圆锥的高为．

．

【点拨】本题综合考查了扇形的面积公式、扇形弧长公式、勾股定理等内容，要求学生明白圆锥的高、母线和半径组成了一个直角三角形，同时牢记求解步骤、熟记相关公式等．

类型十二、求圆锥侧面展开图的圆心角

12、（1）解方程:；

（2）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径，高，求这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数．

【答案】（1）；（2）这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数为216°

【分析】

（1）利用公式法解一元二次方程即可；

（2）利用勾股定理求出母线BC的长，即为侧面展开图的半径，然后求出底面圆的周长，即求出侧面展开图的弧长，然后利用弧长公式即可求出结论．

解：（1）

a=2，b=-7，c=3

∴x=

解得：；

（2）该圆锥侧面展开图的半径BC=

侧面展开图的弧长即为底面圆的周长为cm

∴侧面展开图的圆心角的度数为

答：这个圆锥形漏斗的侧面展开图的圆心角的度数为216°．

【点拨】此题考查的是解一元二次方程和圆锥侧面展开图，掌握利用公式法解一元二次方程和弧长公式是解题关键．

【变式1】如图，已知圆锥的底面半径为，母线长为．求它的侧面展开扇形的圆心角的度数和它的全面积．

【答案】90°，

【分析】

根据由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可求．

解：由圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长可知：

，，

∴侧面展开扇形的圆心角的度数是90°．

全面积＝底面积＋展开侧面积，

全面积为：．

【点拨】本题考查了圆锥全面积和展开图圆心角的度数，解题关键是明确圆锥的底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，根据题意列方程求解．

【变式2】圆锥母线长6cm，底面圆半径为3cm，求它的侧面展开图的圆心角度数．

【答案】180°

【分析】

设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合弧长公式列方程求解即可．

解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，

根据题意得2π•3＝，

解得：n＝180，

即它的侧面展开图的圆心角度数为180°．

【点拨】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

类型十三、圆锥的实际应用

13、如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长．

【答案】

【分析】

根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可．

解：圆锥的底面周长，

由题意可得，解得，

所以该圆锥的母线长为．

【点拨】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图半径，根据题意建立方程．

【变式1】一个圆锥形小麦堆.底面直径是米，高分米.把这些小麦装在底面半径为米的圆柱形粮仓里，能装多高？

【答案】高米.

【分析】

先根据圆锥的体积公式求出谷堆的体积．因为这些谷子的体积是不变的，利用谷堆的体积除以圆柱的底面积就是堆成的圆柱形谷堆的高度．

解：分米=米

（米）

答：高米.

【点拨】解答此题的关键是求圆锥形谷堆的体积和粮囤的底面面积．

【变式2】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长10cm.求：圆锥的母长．

【答案】圆锥的母线长为cm.

【解析】

【分析】

根据题目信息，作出图形，设大圆锥的母线长为l，圆台的上下底面半径分别为r，R，接下来结合已知中线段之间的关系，据此即可表示出小圆锥的母线长；然后利用平行线分线段成比例定理可得，据此即可求出l的长，问题便可解答.

设圆锥的母线长为，圆台上、下底半径为.

答：圆锥的母线长为cm.

【点拨】本题是一道关于圆锥的相关计算的题目，解答本题的关键是熟练掌握圆锥与圆台的相关知识；

类型十四、求圆锥最短路径问题

14、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？

【答案】

【分析】

结合题意进行曲面展开，通过在平面扇形图中计算最短路路径问题．

如图，沿过母线AB的轴截面展开得扇形，

此时弧的长为底面圆周长的一半，故，

由，，则，

作，此时即为蚂蚁爬行的最短路径，

在中，．

【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决．

【变式1】已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

【答案】

【分析】

蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解．

解：设扇形的圆心角为n，圆锥的
在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，
∴由勾股定理可得母线l==80cm，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=.
∴n=90°
即△SAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：AA'==80cm．
∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm．

【点拨】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解．

【变式2】圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?

【答案】6

【解析】

【分析】

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

∵圆锥的底面半径为1，

∴底面周长等于2π．

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=,

解得n=60，

所以展开图中的圆心角为60°．

所以它爬行的最短路线长为6．

【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决．