专题23.4 中心对称（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题23.4  中心对称（专项练习）

一、单选题

知识点一、中心对称求线段、角、面积

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

3．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2

4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形

D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

知识点二、中心对称图形

5．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C．D．

6．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

7．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（    ）

A． B． C． D．

8．如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠,且组成的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 (   )

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种

知识点三、平面直角坐标系中的中心对称

9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（  ）

A． B． C． D．

10．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7

11．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）．

A． B．

C． D．

12．已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

知识点一、中心对称求线段、角、面积

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为(3,5)，(6,1)．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为_____．

14．点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是______________

15．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______．

16．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________ ．

知识点二、中心对称图形

17．以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为_____．

18．下列图形中，是中心对称图形的有_____个．

19．如图，▱ABCD的周长为32cm，点O是▱ABCD的对称中心，AO=5cm，点E，F分别是AB，BC的中点，则△OEF的周长为_____cm．

20．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若AE=3 cm，四边形AEFB的面积为15 cm2，则CF=____，四边形EDCF的面积为____.

知识点三、平面直角坐标系中的中心对称

21．若点P（﹣m，3﹣m）关于原点的对称点在第四象限，则m满足_____．

22．若点（，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则=_______．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．

24．已知点P（a，-3）和Q（4，b）关于原点对称，则=_____．

三、解答题

知识点一、中心对称求线段、角、面积

25．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.

(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；

(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；

(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.

知识点二、中心对称图形

26．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是、、.

(1)画出关于点成中心对称的△；平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后对应的△；

(2)△和△关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为　 　．

知识点三、中心对称图形的性质运用

27．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE；

（2）过点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；

（3）过点D画格点线段DP，使得DP⊥BC于点M，垂足为M；

（4）过点M画线段MN，使得MN//AB，MN=AB．

参考答案

1．C

【解析】

试题解析：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选C．

2．C

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.

【详解】

解: 根据概念可得：等边三角形为轴对称图形不是中心对称图形；

正方形既是轴对称图形又是中心对称图形；

正五边形为轴对称图形不是中心对称图形；

正六边形是轴对称图形又是中心对称图形；

所以既是轴对称图形又是中心对称图形有两个，分别为正方形、正六边形；

故选C.

【点拨】

轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心, 旋转180度后两部分重合.

3．A

【解析】

由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2，故选A．

4．B

【分析】

根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．

【详解】

解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．

故选：B．

【点拨】

考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．

5．B

【详解】

由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.

故选B.

6．A

【详解】

A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误，

故选A.

【点拨】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.

7．B

【分析】

观察图形，利用中心对称图形的性质解答即可．

【详解】

选项A，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；

选项B，新图形是中心对称图形，故此选项正确；

选项C，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；

选项D，新图形不是中心对称图形，故此选项错误；

故选B．

【点拨】

本题考查了中心对称图形的概念，熟知中心对称图形的概念是解决问题的关键．

8．C

【解析】

试题分析：利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．

解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，

则这个格点正方形的作法共有4种．

故选C．

点评：此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握相关定义是解题关键．

9．C

【解析】

分析：根据关于原点对称的点的坐标特点解答．

详解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），

故选C．

点拨：本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

10．C

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.

【详解】

解：∵点与点关于原点对称，

∴，，

解得：，，

则

故选C.

【点拨】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.

11．C

【分析】

根据点关于原点对称的点在第四象限，可得点P在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围.

【详解】

解：∵点关于原点对称的点在第四象限，

∴点在第二象限，

∴，

解得：．

则的取值范围在数轴上表示正确的是：

．

故选C．

【点拨】

本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P的坐标所在的象限.

12．B

【分析】

连接OA、OD，过点A作  AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），则，DE=OF=2，，因为B、D关于原点对称，所以.

【详解】

解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

易证，

，，

，

关于原点对称，

，

故选．

【点拨】

本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题的关键．

13．

【分析】

如图，连接中间两个小正方形构成的矩形的对角线，则经过对角线交点的直线把此矩形分成面积相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，再根据待定系数法可求直线l的函数解析式．

【详解】

解：∵点A，B的坐标分别为（3，5），（6，1），

∴C的坐标为（4，2.5），

则直线l经过点C．

设直线l的函数解析式为y=kx，依题意有

2.5=4k，

解得k=．

故直线l的函数解析式为y=x．

故答案为y=x．

【点拨】

本题考查了中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，熟知过中心对称图形对称中心的直线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键.

14．2S1＝3S2

【分析】

过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据点O是平行四边形ABCD的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM，再根据S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，则可得到答案．

【详解】

过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，

∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，

∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，

∴AB•ON=BC•OM，

∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，

∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，

∴2S1＝3S2，

故答案为2S1＝3S2．

【点拨】

本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键．

15．6．

【详解】

试题分析：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，∴AB=2，∴阴影部分的面积之和为3×2=6．故答案为6．

考点：中心对称．

16．4

【解析】

试题分析：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，又∵点B和点B′关于点A对称，

∴BB′=2AB=4．故答案为4．

考点：中心对称的性质．

17．（2，﹣1）

【分析】

根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．

【详解】

解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），

∴点C的坐标为（2，﹣1），

故答案为：（2，﹣1）．

【点拨】

此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．

18．2

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．

【详解】

第一个图形不是中心对称图形，第二个图形是中心对称图形，第三个图形不是中心对称图形，第四个图形是中心对称图形，

是中心对称图形的有2个，

故答案为：2．

【点拨】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．

19．13．

【解析】

【分析】

由题意可知O、E、F均为中点，则由OE、OF、EF均为△ABC的中位线，据此进行解答.

【详解】

解：由题意得OE、OF、EF均为△ABC的中位线，

∴OE=，OF=，EF=，

∴△OEF的周长=，

故答案为：13cm

【点拨】

本题考察了三角形中位线的知识.

20．3    15   

【详解】

解：连接AC，BD，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO．

在△AOE与△COF中，∵∠EAO=∠FCO，OA=OC，∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF=3cm．

同理可得△AOB≌△COD，△BOF≌△DOE，

∴S四边形EDCF=S四边形AEFB=15cm2．

故答案为3cm，15cm2．

【点拨】

本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解答此题的关键．

21．0＜m＜3

【解析】

【分析】

根据题意判断出点P在第二象限，再根据第二象限内点的坐标特点可得关于m的不等式组，再解不等式组即可．

【详解】

解：∵点P（﹣m，3﹣m）关于原点的对称点在第四象限，

∴点P在第二象限，

∴，

解得：0＜m＜3，

故答案为0＜m＜3．

【点拨】

本题考查关于原点对称的点的坐标，以及平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．

22．．

【详解】

∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b=﹣1，a=2，∴==．故答案为．

考点：关于原点对称的点的坐标．

23．（4，2）．

【分析】

利用图象旋转和平移可以得到结果.

【详解】

解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，

则BD′=OD=2，

∴点D坐标为（4，6）；

当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，

∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），

故答案为（4，2）．

【点拨】

平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.

定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.

24．1

【解析】

【分析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【详解】

∵点P（a，-3）和Q（4，b）关于原点对称，

∴a=-4，b=3，

∴（a+b）2010=（-1）2010=1．

故答案为1．

【点拨】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．

25．（1）图形见解析；

（2）图形见解析；

（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）

【分析】

(1)按题目的要求平移就可以了

关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可

(3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．

【详解】

（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C2如图所示；

（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）

【点拨】

1、图形的平移；2、中心对称；3、轴对称的应用

26．(1)画图见解析；（2）（2，-1）.

【解析】

试题分析：(1)、根据网格结构找出点A、B关于点C成中心对称的点A1、B1的位置，再与点A顺次连接即可；根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；(2)、根据中心对称的性质，连接两组对应点的交点即为对称中心．

试题解析：(1)、△A1B1C如图所示， △A2B2C2如图所示； (2)、如图，对称中心为（2，﹣1）．

考点：(1)、作图-旋转变换；(2)、作图-平移变换．

27．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解

【分析】

（1）根据旋转的性质直接作图即可；

（2）连接AC、BD，交于一点O，然后连接EO即可得出图形；

（3）把线段AD绕点D顺时针旋转90°，即可得到线段DP⊥BC，与BC交于一点M，即可得出答案；

（4）根据平行四边形是中心对称图形，点O是对称中心，设EO与D点所在网格线交于点Q，连接MQ并延长交于AD于点N，MN即为所求．

【详解】

解：（1）（2）（3）如图所示：

（4）根据平行四边形是中心对称图形，点O是对称中心，设EO与D点所在网格线交于点Q，连接MQ并延长交于AD于点N，MN即为所求，如图所示：

【点拨】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质及中心对称图形，熟练掌握旋转的性质、平行四边形的性质及中心对称图形是解题的关键．