专题11.13 多边形的内角和（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题11.13  多边形的内角和（知识讲解）【学习目标】1.掌握多边形内角和与外角和公式；2.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识点梳理】知识点一、多边形内角和    n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；知识点二、多边形的外角和    多边形的外角和为360°．特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】知识点一、多边形的内角和 1．若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？【分析】设这个多边形的边数是n，再列方程，解方程即可得到答案． 解：设这个多边形的边数是n，由题意得：，解得：答：这个多边形的边数是12．【点拨】本题考查的是多边形的内角和定理，掌握利用一元一次方程解决多边形的内角和问题是解题的关键． 举一反三：【变式】 如图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分． （1）五边形ABCDE的内角和为　   　度； （2）若，，，求的度数．【答案】（1）540；（2）65°【分析】（1）根据多边形内角和公式计算即可；（2）用内角和减去，，得到，的和，再根据角平分线的性质、三角形的内角和即可计算．  解：（1）五边形ABCDE的内角和为，（2）∵在五边形ABCDE中，，，，∴， ∵AP平分，BP平分，∴，，∴，∴．【点拨】本题考查了多边形的内角和计算，根据角平分线性质和三角形内角和定理计算角的度数；掌握相关的基础知识是本题的关键．知识点二、正多边形内角问题2．已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数．【答案】15【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式列出方程即可求出结论．  解：设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180＝156×n，解得n＝15，即这个多边形的边数为15．【点拨】此题考查的是求正多边形的边数，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键．举一反三：【变式】如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4．AC与DE平行吗？请说明理由．【答案】AC∥DE,理由见解析.【解析】【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再根据∠1=∠2=∠3=∠4=36°，从而求出∠CAD=108°-72°=36°，即可得出结论.解：AC∥DE 理由：∵五边形ABCDE的内角和=540°，且每个内角都相等．∴∠B=∠BAE=∠E=108°． ∵∠1=∠2=∠3=∠4．∴∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°  ∴∠CAD=108°－36°×2=36°  ∴∠CAD=∠4 ∴AC∥DE【点拨】本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠1=∠2=∠3=∠4=36°，和正五边形的每个内角是108度．知识点三、多（少）算一个角的问题3、一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680°，求这个内角的大小．【答案】20°．【分析】n边形的内角和是（n-2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数．而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1．则用内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．解：设多边形的边数为x，由题意有（x﹣2）•180=2680，解得x=16，因而多边形的边数是17，则这一内角为（17﹣2）×180°﹣2680°=20°．【点拨】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题的关键．举一反三：【变式】如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们是在求几边形？少加的内角为多少度？【答案】他们在求九边形的内角和；少加的那个内角为120度．【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．   解：1140°÷180°＝6…60°，则边数是：6+1+2＝9；他们在求九边形的内角和；180°﹣60°＝120°，少加的那个内角为120度．【点拨】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．知识点四、多边形截取一个角后的问题4、如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影新多边形内角和比原多边形的内角和增加了．新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了．将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．【答案】（1）作图见解析；（2）15，16或17．   【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．解：如图所示：   设新多边形的边数为n，则，解得，若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，故原多边形的边数可以为15，16或17．【点拨】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．举一反三：【变式】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，求原多边形的边数．【答案】7、8或9．【解析】试题分析：根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1.所以可求得原多边形边数.设切去一角后的多边形为n边形．根据题意有(n－2)·180°＝1 080°.解得n＝8.因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，所以原多边形的边数可能为7、8或9.知识点五、正多边形外角问题5、已知正多边形的一个外角等于18度，求这个正多边形的边数．是否存在一个内角度数为100度的正多边形？如果存在,求出边数；如果不存在，请说明理由．【答案】正20边形，不存在一个内角度数为100度的正多边形【解析 根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．解：正多边形的一个外角等于18°，且外角和为360°，∴这个正多边形的边数是：360°÷18°=20，因为360°÷(180°−100°)＝，不是整数，所以不存在一个内角度数为100度的正多边形．举一反三：【变式】如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD. 【分析】（1）先证明△ABC≌△EAB：AB=BC,AE=BA,∠ABC=∠EAB,所以全等,所以AC=BE；（2）连接AD,易证AC=AD（三角形ABC全等于三角形AED）,所以三角形ACD为等腰三角形,又M为CD中点,所以AM垂直于CD    解：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC，∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE.(2)             连接AD，由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD.又∵M是CD的中点，∴AM⊥CD.【点睛】本题考核知识点：正多边形. 解题关键点：证三角形全等.知识点六、多边形内角和外角综合问题6、一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是120°．【分析】（1）先设内角为x,根据题意可得:外角为,根据相邻内角和外角的关系可得:,x+ =180°,从而解得:x=120°,即外角等于60°,根据外角和等于360°可得这个多边形的边数为:=6,（2）先设内角为x,根据题意可得:外角为,根据相邻内角和外角的关系可得:,x+ =180°,从而解得内角:x=120°,内角和=（6﹣2）×180°=720°．解：（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+ =180°,解得:x=120°,=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,（2）设内角为x,则外角为,由题意得: x+ =180°,解得:x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（6﹣2）×180°=720°．【点拨】本题主要考查多边形内角和外角,多边形内角和以及多边形的外角和,解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系以及多边形内角和.举一反三：【变式】如图，小亮从点处出发，前进5米后向右转，再前进5米后又向右转，这样走次后恰好回到出发点处.（1）小亮走出的这个边形的每个内角是多少度？这个边形的内角和是多少度？（2）小亮走出的这个边形的周长是多少米？【答案】（1）这个边形的每个内角为，这个边形的内角和为3960度；（2）小亮走出这个边形的周长为120米.【分析】（1）这个n边形每个内角度数为180°﹣15°＝165°；根据多边形外角和360°，用360除以15求出边数，再利用内角和公式即可求解；（2）周长为边数乘以边长． 解：（1）这个边形的每个内角为.∵多边形的外角和为，∴，解得：，∴这个边形的内角和为3960度.（2）（米），所以小亮走出这个边形的周长为120米.【点拨】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题的关键是通过多边形外角和求解边数，再利用多边形内角和公式求解度数．知识点七、多边形相镶问题6、已知个正多边形和个正多边形可绕一点周围镶嵌（密铺），的一个内角的度数是的一个内角的度数的．（1）试分别确定，是什么正多边形？（2）画出这个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．【答案】（1）A为正四边形，B为正三边形；（2）见解析【分析】（1）设B的内角为x，则A的内角为x，从而根据密铺的特点可列出方程，解出即可．（2）根据（1）所求出的正多边形画出一种图形即可．    解：（1）设B的内角为x，则A的内角为x，∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），∴3x+2×x=360°，解得：x=60°，∴x=90°
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）所画图形如下：
 【点拨】本题考查了复杂作图以及平面密铺的知识，属于中等难度的题目，解答本题的关键是根据密铺的特点及题意得出正多边形内角的度数．举一反三：【变式】在日常生活中观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形填写表中空格：正多边形的边数3456…正多边形的每个内角的度数    … （2）如果限于用一种正多边形镶嵌，那么哪几种多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，使这两种不同的正多边形能铺满地面成一个平面图形？说明你的理由．【答案】（1）60°；90°；108°；120°；；（2）正三角形、正四边形，正六边形能够铺满地面，（3）正八边形和正四边形；正三角形和正十二边形．理由见解析．【分析】（1）根据正多边形的性质、多边形的内角和即可求解；（2）根据正多边形的几个内角加在一起能否等于360°即可得；（4）选正方形和正八边形；然后根据“几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”列出方程，根据其整数解的个数即可得出答案．   解：（1）当正多边形的边数为3时，正三角形每个内角的度数为=60°，当正多边形的边数为4时，正四边形每个内角的度数为=90°，当正多边形的边数为5时，正五边形每个内角的度数为=108°，当正多边形的边数为6时，正六边形每个内角的度数为=120°，当正多边形的边数为n时，正n边形每个内角的度数为，故答案为：60°；90°；108°；120°；；（2）正三角形、正四边形，正六边形能够铺满地面，正三角形:6×60°＝360°；正四边形:4×90°＝360°；六边形:3×120°＝360°．（3）计算出另外几个正多边形的每个内角， 七边形: 八边形: 九边形:   十边形: 十二边形: ∴可以选择:正八边形和正四边形；正三角形和正十二边形．【点拨】本题考查了正多边形的内角和及应用，较难的是题（3），读懂新定义，正确列出方程是解题关键．