专题15.4 分式的基本性质（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题15.4  分式的基本性质（知识讲解） 【知识回顾】分式概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母；【学习目标】1.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算；2．理解并掌握分式变号的法则；3．理解并掌握分式的约分、最简分式；4．对比分数通分，掌握分式通分的基本运算。【要点整理】要点一、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.特别说明（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点二、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.特别说明：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点三、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.特别说明：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点四、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.特别说明：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、判断分式变形是否正确 1、在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立： _______;__________【答案】4axy    x＋y．    【分析】分式的变形的依据是分式的基本性质：在分式的分子、分母上同时乘以或除以同一个非0的数或整式，分式的值不变．要看题目中的空填的式子，就要看从前面的分式到后面的分式是如何变化的．解：第一个式子：由xy变成2ax2y2，是乘以2axy，分子也应进行相同的变化，乘以2axy，则这个空中应填2×2axy＝4axy；同理，第二个：分子除以x−y，则分母是：（x3−xy2）÷（x−y）＝x（x2−y2）÷（x−y）=x（x＋y）．故答案为4axy，x＋y．【点拨】本题依据的是分式的基本性质，分子、分母上同时乘以或除以同一个非0的数或整式，分式的值不变．举一反三：【变式】 下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③     ④，错误的是_____．（填序号）【答案】③④【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．解：③原式= ，故③错误；④原式= ，故④错误；故答案为③④．【点拨】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．类型二、判断分式变形成立条件2、要使分式，则_________.【答案】【解析】【分析】根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以同一个不为0的式子，分式的值不变,解：分式,则 即 故答案为.【点拨】考查分式的基本性质，即分子、分母同时乘以一个不为0的式子，分式的值不变.举一反三：【变式】成立的条件是_________．【答案】x≠1且x≠0解：由题意,得x-1≠0,且x≠0,
解得,x≠1且x≠0.
故答案是:x≠1且x≠0.类型三、利用分式的基本性质判断分式值的变化3、已知，则分式的值为______．【答案】【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．解：∵，∴x-y=4xy，∴原式=，故答案为： ．【点拨】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键．举一反三：【变式】已知的值为4，若分式中的、均扩大2倍，则的值为__________．【答案】8【分析】首先把分式中的x、y均扩大2倍，然后约分化简，进而可得答案．解：分式中的x、y均扩大2倍得：=2×4=8，
故答案为：8．【点拨】本题考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．类型四、把分式的分子分母最高次项化为正数4、不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则＝_____．【答案】【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．解：原式＝＝，故答案为：【点拨】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；熟练掌握分式的基本性质是解题关键．举一反三：【变式1】不改变分式值，把分式分子、分母的最高次项系数化正数：=________【答案】【解析】【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.解： 故答案为.【点拨】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.【变式2】不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正：(1) = ______, (2) =  _____.【答案】,        【解析】【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.解： 故答案为：,.【点拨】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.类型五、把分式的分子分母各项的系数化为整数5、不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝_____．【答案】【分析】将分子、分母都乘以6可得．解：，故答案为：．【点拨】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是利用分式的性质进行求解．举一反三：【变式】不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为_______．【答案】．【分析】根据分式的基本性质进行计算即可；解：．故答案为：．【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，准确计算是解题的关键．类型六、最简分式6、给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）．【答案】②【分析】直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案．解：∵， ，∴最简分式是，故答案为：②．【点拨】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握分式的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】把分式化为最简分式为________．【答案】【分析】根据分式的性质，进行约分即可，最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式或公因数时叫最简分式．解：故答案为：【点拨】本题考查了最简分式，掌握分式的约分，因式分解是解题的关键．【变式2】在分式中，最简分式有______．【答案】【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断．解：由=，得到此分式不是最简分式；由=m﹣n，得到此分式不是最简分式；由=，得到此分式不是最简分式；由=﹣1，得到此分式不是最简分式；而分子分母没有公因式，是最简分式．故答案为： ．【点拨】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键．类型七、约分7、分式约分的结果是_______．【答案】【分析】将分子与分母的公因式约去即可．解：．故答案为：．【点拨】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．举一反三：【变式】约分：________；________；________；________；________；________；________；________；________．【答案】                                    【分析】根据分式的性质，提公因式法因式分解或公式法因式分解，进行约分即可．解：；；；；；；；；．故答案为： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．【点拨】本题考查了分式的约分，掌握因式分解是解题的关键．类型八、最简公分母8、与的最简公分母是________；与的最简公分母是________；与的最简公分母是________；的最简公分母是________；的最简公分母为________．的最简公分母是________．【答案】                        【分析】根据最简公分母的定义：通常取各分式分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，进行求解即可．解：与的最简公分母是 ；与的最简公分母是；与的最简公分母是；的最简公分母是；的最简公分母为．的最简公分母是．故答案为：；；；；；．【点拨】本题主要考查了求最简公分母，解题的关键在于能够熟练掌握最简公分母的定义．举一反三：【变式1】分式 、﹣ 、 的最简公分母是________．【答案】（x﹣1）2（x+1）2【分析】根据最简公分母的定义即可变形求解．解：∵ = ，﹣ =﹣ ， = ，  ∴最简公分母是（x﹣1）2（x+1）2；故答案为：（x﹣1）2（x+1）2 ．【点拨】此题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．【变式2】将分式和进行通分时，分母可因式分解为_________，分母可因式分解为_________，因此最简公分母是_________．【答案】            【分析】根据平方差公式即可分解a2－9，再提取公因式可分解9－3a，找系数的最小公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母．解：∵a2－9＝（a＋3）（a－3），9－3a＝3（3－a）＝－3（a－3），∴分式和的最简公分母为－3（a＋3）（a－3）．故答案为：（a＋3）（a－3），－3（a－3），－3（a＋3）（a－3）．【点拨】本题考查了分式的通分，通分的关键是分解各个分母，找出最简公分母．类型九、通分19、已知（过中A、B均为常数），则________，________．【答案】        【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．解：，，解得．【点拨】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分．举一反三：【变式】把分式与进行通分时，最简公分母为_____．【答案】(x﹣y)2(x+y)【分析】根据因式分解可得， ，然后根据最简公分母的定义进行分析即可得出答案.解：把分式 与 进行通分时，x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)，故最简公分母为：(x﹣y)2(x+y)．故答案为：(x﹣y)2(x+y)．【点拨】本题主要考察了最简公分母的定义，解题的关键是对分母进行因式分解.