专题15.16 分式方程的增根、无解问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题15.16  分式方程的增根、无解问题（专项练习）

一、填空题

1．分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的___整式_____方程的根，也是使___分式 _____方程的分母为0的根．

2．分式方程的增根

概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做___增根_____．

检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．

二、解答题

3．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．

阅读以上材料后，完成下列探究：

探究1：m为何值时，方程有增根．

探究2：m为何值时，方程的根是．

探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根；

探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______．

4．阅读理解，并解决问题.

分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：

（1）若解分式方程时产生了增根，这个增根是       ；

（2）小明认为解分式方程时，不会产生增根，请你直接写出原因；

（3）解方程

5．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.

（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；

（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

6．王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：

(1)她把这个数“”猜成，请你帮王涵解这个分式方程；

(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

7．增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：

（1）若该分式方程有增根，则增根为________．

（2）在（1）的条件下，求出的值．

8．已知关于的分式方程，回答下列问题：

（1） 原方程去分母后，整理成关于x的整式方程得：_______________________．

（2） 若原分式方程无解，求的值．

9．阅读理解：

转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．

利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．

例如：解方程

解：两边平方得：

解得：，

经检验，是原方程的根，

代入原方程中不合理，是原方程的增根．

∴原方程的根是．

解决问题：

（1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为  ；

（2）求满足的x的值；

（3）代数式的值能否等于8 ? 若能，求出的值；若不能，请说明理由．

10．请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：

（1）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围；

（2）若关于x的分式方程无解．求n的取值范围．

11．人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”

请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程无解，方程的一个根是m．

（1）求m和k的值；

（2）求方程的另一个根．

12．阅读下列材料：

在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？

经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路如下：

小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为.由题意可得，所以，问题解决.

小聪说：你考虑的不全面.还必须保证才行.

请回答：_______________的说法是正确的，并说明正确的理由是：__________________.

完成下列问题：

（1）已知关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围；

（2）若关于x的分式方程无解.直接写出n的取值范围.

13．阅读下列材料：

在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围？

经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：

小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．

小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．

老师说：小强所说完全正确．

请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明：　   　．

完成下列问题：

（1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围；

（2）若关于x的分式方程=﹣1无解．直接写出n的取值范围．

14．阅读并回答问题：

小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程时，突发奇想：在实数范围内无解，如果存在一个数，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．

据此可知：

可以运算，例如：，则____，____，____；

方程的两根为________(根用表示)．

15．（2018·山东八年级期末）阅读下列材料：

在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程=1的解为正数，求a的取值范围．

经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：

小杰说：解这个关于x的分式方程，得x=a+4．由题意可得a+4＞0，所以a＞﹣4，问题解决．

小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠4，即a+4≠4才行．

（1）请回答：　   　的说法是正确的，并简述正确的理由是　   　；

（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：

若关于x的方程的解为非负数，求m的取值范围．

参考答案

3．探究1：-9；探究2：23；探究3：；探究4：

【分析】

解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为且，再求得对应的m．即可得出它们之间的关系．

【详解】

解：探究1：方程两边都乘，

得

∵原方程有增根，

∴最简公分母，

解得，

当时，，

故m的值是．

探究2：方程两边都乘，

得

∵原方程的根为，

，

探究3：由（1）（2）得

，

方程的三个对应根为且，

∴，

=15-8b，

探究4：，

，

整理得，

故答案为．

【点拨】

本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解题的关键．

4．（1）x=2；（2）见解析；（3）无解

【分析】

(1)由题意直接看出即可.

(2)找到最简公分母,判断最简公分母的范围即可.

(3)利用分式方程的运算方法解出即可.

【详解】

（1）

（2）∵原分式方程的最简公分母为，而

∴解这个分式方程不会产生增根.

（3）方程两边同乘，得

解得：

经检验：当时，

所以，原分式方程无解.

【点拨】

本题考查分式方程的增根,关键在于理解增根的意义.

5．（1）;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.

【分析】

（1）“？”当成5，解分式方程即可，

（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.

【详解】

（1）方程两边同时乘以得

解得 

经检验，是原分式方程的解.

（2）设？为，

方程两边同时乘以得

由于是原分式方程的增根，

所以把代入上面的等式得

所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.

【点拨】

本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程；  ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

6．(1)；(2)原分式程中“”代表的数是.

【分析】

（1）根据题意，求解分式方程即可；

（2）根据分式方程的解的情况，首先去分母，然后将增根代入即可得解．

【详解】

(1)该分式方程的解为，

由题意，得

去分母，得

去括号，得

移项、合并同类项，得

经检验，当时，

是原分式方程的解；

(2)设原分式方程中“”代表的数为，

方程两边同时乘得，

由于是原分式方程的增根，

把代入上面的等式解得，

原分式程中“”代表的数是．

【点拨】

此题主要考查分式方程的求解，熟练掌握，即可解题．

7．（1）或；（2）-4或6．

【分析】

（1）由题意分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2-9=0，故方程产生的增根有两种可能；

（2）根据题意由增根的定义可知，或是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值．

【详解】

解：（1）当分母值为0时，分式方程有增根，可得：

，解得：或，

即增根是：或，

故答案为：或；

（2）解：

①若时，

②若时，

．

【点拨】

本题考查分式方程的增根，注意掌握增根的求法即令最简公分母为0以及求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．

8．（1）；（2）-2、3或．

【分析】

（1）先确定最简公分母是,方程两边同时乘以最简公分母约去分母，移项整理即可求解;（2）根据分式方程无解,分两种情况讨论,第一种,整式方程无解,第二种原分式方程有增根.

【详解】

（1）解:方程两边同时乘以可得: ,

整理可得: ,即.

（2）当时,无解;

解得:a=-2.

因为增根是x=0和x=1,

所以当x=0时, ,解得,

当x=1时, ,解得a=.

【点拨】

本题主要考查分式方程解法和分式方程无解问题,解决本题的关键是要熟练掌握分式方程无解问题的方法.

9．（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析

【分析】

（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可；

（2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解；

（3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可．

【详解】

解：（1）把x=1代入方程得，

两边平方得 3-a=1，

解得a=2，

经检验，a=2是方程的解，

故答案为：a=2；

（2）

两边平方得：

解得：，

经检验，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根

∴原方程的根是x=3；

（3）不能．

，

原方程变形得，

两边平方得

整理得，

两边平方得，

此方程无解，

∴代数式的值不等于8．

【点拨】

本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键．

10．（1）且；（2）或n=1．

【分析】

（1）先求出分式方程的解，然后根据方程的解为负数可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出答案；

（2）先把分式方程转化为整式方程，然后由方程无解分整式方程无解和分式方程有增根两种情况解答即可．

【详解】

解：（1）去分母，得，

当时，解得：，

∵ 方程有解，且解为负数，

∴，解得且；

（2）方程两边同时乘以（x－3），约去分母得：，

整理得：，

当n－1=0时，方程无解，此时n=1；

当时，，

要使方程无解，则有，解得：；

综上，或n=1．

【点拨】

本题考查了分式方程的解法和分式方程无解问题，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．

11．（1）-5

（2）3

【分析】

（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值.

（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根.

【详解】

解：（1）分式方程去分母得：m－1＋x=0，

由题意将x=1代入得：m－1－1=0，即m=2，

∴当m=2时，关于x的方程无解，

将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=－5；

（2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3，

∴方程的另一个根是3.

12．（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】

根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；

(1)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．
(2) 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．

【详解】

小聪的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0,故，从而.

故答案为小聪；分式的分母不为0,故，从而.

(1)去分母得：m+x=2x−6，

解得：x=m+6，

由分式方程的解为非负数，得到，且m+6≠3，

解得：且

(2) 分式方程去分母得：3−2x+nx−2=−x+3,即(n−1)x=2，

由分式方程无解，得到x−3=0，即x=3，

代入整式方程得： 

当n−1=0时，整式方程无解，此时n=1，

综上,n=1或

【点拨】

考查知识点是解一元一次不等式以及分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.

13．（1）：m＜且m≠﹣；（2）n=1或n=．

【分析】

考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；

（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m的范围即可；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．

【详解】

请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；

（1）解关于x的分式方程得，x=，

∵方程有解，且解为负数，

∴，

解得：m＜且m≠-；

（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，

由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，

代入整式方程得：n=；

当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，

综上，n=1或n=．

【点拨】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

14．（1）1；-i； 1（2）和

【分析】

（1）原式各项根据阅读材料中的方法计算即可得到结果；
（2）一元二次方程解法--配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．

【详解】

解：（1）由题意可得i4=1，i2012=1，i2013=i；
故答案为1；1；i；
（2）方程整理得：x2-2x=-2，
配方得：x2-2x+1=-1，即（x-1）2=-1，
开方得：x-1=±i，
解得：x1=1+i，x2=1-i．
故答案为x1=1+i，x2=1-i

15．（1）小哲；分式的分母不为0；（2）m≥﹣6且m≠﹣3．

【解析】

【分析】

（1）根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．

【详解】

解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；

故答案为：小哲；分式的分母不为0；

（2）去分母得：m+x=2x﹣6，

解得：x=m+6，

由分式方程的解为非负数，得到m+6≥0，且m+6≠3，

解得：m≥﹣6且m≠﹣3．

【点拨】本题考查的知识点是解一元一次不等式及解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式及解分式方程.