专题15.13 分式方程（专项练习）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题15.13  分式方程（专项练习）

 一、单选题

1． 下列关于x的方程中，属于分式方程的是（    ）

A． B． C． D．

2． 下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程的根为2；③方程的最简公分母为；④是分式方程．其中正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．  将分式方程化为整式方程，正确的是（    ）

A． B． C． D．

4． 若整数使得关于的方程的解为非负数，且使得关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）

A．23 B．25 C．27 D．28

4．  方程的增根为（   ）

A．1 B．1和 C． D．0

6．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ）

A． B． C． D．且

7． 若整数a使得关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和是（    ）

A． B． C．1 D．2

8． 若关于x的方程无解，则m的值是（    ）

A． B．2 C． D．3

9． 若关于x的分式方程－2＝无解，则m的值为（    ）

A．0 B．2 C．0或2 D．无法确定

10．  甲乙两港口相距千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用去小时，已知水流速度为，若设该轮船在静水中的速度为，则可列方程（    ）

A． B．

C． D．

11． 甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（　　　）

A． B． C． D．

二、填空题

12． 已知关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围_____________．

13． 如果关于x的分式方程=3的解是正数，则m的取值范围为_____．

14． 当__________时，分式与相等．

15． 分式方程的解是________．

16． 已知分式方程有增根，则的值为_____．

17． 关于的分式方程有正数解，则的取值范围__________．

18． 若关于x的分式方程的解是正数，则实数m的取值范围是_________

19． 若分式方程有增根，则a的值是________．

20． 分式方程无解，则的值为______

21． 某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛．已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为元，根据题意列出正确的方程是_______________________．

22． 甲、乙二人同时从A地出发，骑车20千米到B地，已知甲比乙每小时多行3千米，结果甲比乙提前20分钟到达B地，求甲、乙二人的速度。若设甲用了x小时到达B地，则可列方程为_____________________

三、解答题

23． 解分式方程

（1）           （2）

24.（1）解方程．．

（2）先化简分式（）÷，然后在0，1，2中选一个你认为合适的a值，代入求值．

25．  在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了、两种不同型号的口罩，已知型口罩的单价比型口罩的单价多元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．

（1）求、两种型号口罩的单价各是多少元？

（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元，求增加购买型口罩的数量最多是多少个？

26．  小红到离家2100米的学校参加艺术节联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时距联欢会开始还有45分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的平均速度是步行平均速度的3倍．

（1）小红步行的平均速度（单位：米/分）是多少？

（2）小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由）

参考答案

1．C

【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．

解：A、是一元一次方程，故不符合题意；

B、是一元一次方程，故不符合题意；

C、是分式方程，故符合题意；

D、是二元一次方程，故不符合题意；

故选C．

【点拨】本题考查分式方程，解题的关键是熟练运用分式方程的定义，本题属于基础题型．

2．B

【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答．

解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；

方程的根为x=2，故②正确；

方程的最简公分母为2x(x-2)，故③错误；

是分式方程，故④正确；

故选：B．

【点拨】此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．

3．D

【分析】分式方程的左右两边同乘以最简公分母()即可．

解：将方程两边都乘以，得：，

故选：D．

【点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

4．B

【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有3个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．

解：，

不等式组整理得：，

由不等式组至少有3个整数解，得到-2＜y≤a，

解得：a≥1，即整数a=1，2，3，4，5，6，…，

，

去分母得：2（x-2）-3=-a，

解得：x=，

∵≥0，且≠2，

∴a≤7，且a≠3，

由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为1，2，4，5，6，7，

之和为1+2+4+5+6+7=25．

故选：B．

【点拨】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．A

【分析】由分式方程产生増根，即分母等于0的x的值，然后解分式方程，即可得到答案．

解：∵增根就是分式方程无解时，未知数的值．

∴将原方程化为整式方程为

，

解得：．

故选：A．

【点拨】本题考查了解分式方程，以及分式方程増根的意义，解题的关键是掌握解分式方程的方法进行解题．

6．D

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出解，由解为正数确定出m的范围即可．

解：去分母得：m-1=2x-2，

解得：x=，

由方程的解为正数，得到＞0，且≠1，

解得：且，

故答案为：且

【点拨】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．D

【分析】先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集为，得出a的范围，根据分式方程的解为整数即得到a的值，结合a的范围即可求得符合条件的所有整数a的和．

解：关于x的不等式组

解不等式①得，；

解不等式②得，；

∵不等式组的解集为，

∴a≤2，

解方程得：

∵分式方程的解为整数，

∴或

∴a=0、2、-1、3

又x≠1，

∴，∴a≠-1，

∴a≤2且a≠-1，

则a=0、2，

∴符合条件的所有整数a的和=0+2=2，
故选：D．

【点拨】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为整数结合不等式组有解，找出a的值是解题的关键．

8．D

【分析】根据方程无解，得出方程有增根，利用增根的定义可求得x＝4，并把x＝4代入转化后的整式方程m＋1−x＝0，即可求出m的值．

解：去分母得：m＋1−x＝0，

∵方程无解，

∴x＝4是方程的增根，

∴m＝3．
 

故选：D．

【点拨】本题考查了分式方程无解问题，解题的关键是理解增根的定义，并能准确求出增根．

9．C

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到m-2=0或x-3=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．

解：方程两边都乘以（x-3）得：

整理得：（m-2）x=2m-6，

由分式方程无解，

一种情况是未知数系数为0得：m-2=0，m=2，

一种情况是方程有增根得：x−3=0，即x=3，

把x=3代入整式方程得：m=0，

故选择：C．

【点拨】本题考查分式方程的无解问题，解题的关键是掌握分式方程的解题步骤以及对分式方程无根的理解．

10．A

【分析】根据等量关系为：顺流时间+逆流时间=8小时列出方程求解即可．

解：顺流时间为：；逆流时间为：．
所列方程为：
故选：A．

【点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．

11．C

【分析】首先求出原计划速度和实际速度，然后用原计划速度-实际速度即可求解．

解：∵实际速度为，原计划速度为，

∴实际每小时比原计划少走千米，

故选：C．

【点拨】本题考查了分式方程的实际应用，属于路程问题，重点是掌握路程速度时间三者的关系．

12．且

【分析】先解分式方程得到x=a+1，根据方程的解是负数，列不等式a+1<0，且a+20，求解即可得到答案．

解：

a+2=x+1

x=a+1，

∵方程的解是负数，x≠-1

∴a+1<0，且a+20，

解得a<-1，且a-2，

故答案为：且．

【点拨】此题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，解题中考虑分式的分母不等于0的情况．

13．

【分析】方程两边同乘以x+1，化为整式方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．

解：，

方程两边同乘以x+1，得：，

解得：，

∵分式方程=3的解是正数，

∴，

∴.

故答案为：.

【点拨】本题考查了分式方程的解，分式的分母不能为0，此题是一道易错题，有点难度．

14．9

【分析】由题意可得：，再去分母，解方程并检验即可得到答案．

解：由题意得：

经检验：是原方程的根，

当时，分式与相等．

故答案为：

【点拨】本题考查的是分式方程的应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．

15．-1

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解：去分母得：x-1=2x，
解得：x=-1，
经检验x=-1是分式方程的解，
故答案为：x=-1．

【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

16．-0.6

【分析】根据题意去分母以及由分式方程有增根求出x，并代入整式方程进行计算即可得出的值．

解：去分母得：x+x﹣3=﹣5m，

由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，

把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m，

解得：m=﹣0.6．

故答案为：-0.6．

【点拨】本题考查分式方程有增根的求参问题，熟练掌握分式方程有增根的情况即分母为零是解题的关键．

17．且

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出a的范围．

解：去分母得： ，

整理得：

解得：，

∵分式方程有正数解，

∴＞0，且，

解得：a＞且，

故答案为：a＞且．

【点拨】此题考查了分式方程的解，能根据已知和方程的解得出a的范围是解此题的关键．始终注意分母不为0这个条件．

18．且m-4

【分析】先解方程求出x=m+6，根据该方程的解是正数，且x-20列得，计算即可.

解：

2x+m=3（x-2）

x=m+6，

∵该方程的解是正数，且x-20，

∴，

解得且x-4，

故答案为：且m-4.

【点拨】此题考查分式的解的情况求字母的取值范围，解题中注意不要忽略分式的分母不等于零的情况.

19．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．

解：去分母得：1-3x+6＝-3a+x，

由分式方程有增根，得到x−2＝0，即x＝2，

把x＝2代入得：1-6+6＝-3a+2，

解得：a＝，

故答案为：．

【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

20．2或3；

【分析】根据分式方程无解的两种情况计算得出答案．

解：去分母得：ax-3=2（x-1）

（a-2）x=1

（1）当a-2=0时，a=2，

此时方程无解，满足题意；

（2）当a-2≠0时，x=，

将x=代入x-1=0时，

解得a=3．

综上所述：a=2或3．

【点拨】此题考查了分式方程的无解的条件，分为两种情况：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程所得到的解使原方程的分母等于0．

21．

【分析】设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，列方程即可．

解：设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500元购买B型陶笛的数量相同，可得．

故答案为：．

【点拨】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．

22．

【分析】设甲用了x小时到达B地，则乙用了小时到达B地，然后根据甲比乙每小时多行3千米即可列出方程．

解：设甲用了x小时到达B地，则乙用了小时到达B地

由题意得：．

故答案为．

【点拨】本题考查了分式方程的应用，弄清题意、明确等量关系成为解答本题的关键．

23．（1）x=-2；（2）无解

【分析】（1）观察可得最简公分母是2（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
（2）观察可得最简公分母是（x+2）（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解：

经检验时，

是原分式方程的解；

经检验时，

不是原分式方程的解；

原分式方程无解；

【点拨】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．

24．（1）无解；（2）a，1．

【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；

（2）先根据分式的化简步骤将分式化为最简分式，再代入恰当的数值即可．

解：（1）方程的两边都乘以（x+1）（x﹣1）

得，

∴2x-2-5x-5=-10

解得

检验，当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0

∴x＝1是原方程的增根．

∴原分式方程无解．

（2）原式＝

=

＝a，

当a＝0，2分式无意义，

故当a＝1时，原式＝1．

【点拨】本题主要考察了解分式方程及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤及分式化简的一般步骤，注意分式有意义的条件．

25．（1）元；元  （2）个

【分析】（1）设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，根据“用8000元购买型口罩的数量与用5000元购买型口罩的数量相同”列出方程并解答；

（2）设增加购买型口罩的数量是个，根据“增加购买型口罩数量是型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元”列出不等式并解答即可．

解：（1）设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，

根据题意，得．

解方程，得：．

经检验：是原方程的根，且符合题意．

所以．

答：型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元．

（2）设增加购买型口罩的数量是个，

根据题意，得：．

解不等式，得：．

答：增加购买型口罩的数量最多是个．

【点拨】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．

26．（1）70米/分；（2）能，见解析

【分析】（1）设小红步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为3x米/分．由小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程求出其解即可；

（2）根据（1）求出的结论计算小红往返的时间之和与45分钟作比较就可以得出结论．

解：（1）解：设小红步行的平均速度是米/分，则骑自行车的平均速度是米/分．

根据题意，得

，

方程两边同乘最简公分母，得

，

解得．

检验：把代入最简公分母，得

，

因此，是原方程的根．

答：小红步行的平均速度是70米/分．

（2）由（1），得，，

所以小红骑自行车的速度是210米/分，

于是，小红回家取道具共花时间：

（分），

由于，

因此，小红能在联欢会开始前赶到学校．

【点拨】本题是一道行程问题的应用题，考查了列分式方程解实际问题，分式方程的解法，解答时小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少20分钟为等量关系建立方程是关键．