专题24.31 圆中的几何模型-隐形圆专题（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

  专题24. 31 圆中的几何模型-隐形圆专题（知识讲解）隐形圆是中考选择题和填空题中常考题，题目往往以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠，多数学生基本没有思路，一头雾水，从而无法解答。      隐形圆常见的有以下几种形式，一是对角互补，四点共圆；二是定弦定角，点在圆上；三是定点定长，轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等。1、对角互补，四点共圆。例1、如图1,等边△ABC中,AB=6,P为AB上ー动点,PD⊥BC,PE⊥AC,求DE的最小值。               图一                                 图二解题思路：因为对角互补，所以P、D、C、E四点共圆，又因为∠EOD=120，所以当直径最小时，弦DE的值最小。略解：因为∠PEC=∠PDC=90°,故四边形PDCE对角互补,故P、D、C、E四点共圆,如图2。∠EOD=2∠ECD=120°,要使得DE最小,则要使圆的半径最小,故直径PC最小,当CP⊥AB时,PC最短为,则可求出DE =。 2、定角定弦，轨迹是圆。例2、如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=,点D是AC边上ー动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于点B,则线段CE长度的最小值是多少？            图1               图2                   图3,.3、定点定长,点在圆上例3、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形内部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是_______．【答案】﹣4．【分析】连接OC与圆O交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆O上，再利用勾股定理求出OC即可.解： ∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=，∴PC=OC﹣OP=﹣4．∴PC最小值为﹣4．故答案为﹣4．【点拨】本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点到圆的最大距离和最小距离是解题的关键.折叠问题很多都是用到圆的知识解答，注意定点定长，找到合适的圆，就可以很简单的进行知识转化，化动为静。4、线段滑动，中点在圆上例4、如图，已知A、B两点的坐标分别为(-8，0)、(0，8)，点C、F分别是直线x=5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD=______． 【答案】【分析】如图，设直线x=5交x轴与K，由题意KD=CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与K相切时，的面积最小，作EH⊥AB于H，求出EH，AH即可解决问题.如图，设直线x=5交x轴与K，由题意KD=CF=5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与K相切时，的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝5+8＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝，即，∴OE＝，∴AE=，作EH⊥AB于H，∵，∴EH=，AH=，∴，故答案为：.【点拨】本题考查了解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积，三角函数关系式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空的压轴题型.总之，动态问题中，一定要找到点的运动轨迹，可以结合圆的性质，比如到定点的距离等于定长的点的集合，同弦所对的圆周角相等或互补，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补等，把这些性质逆用，就可以找到隐形圆。比如四边形对角互补，那我们就要立刻反应出这四点共圆，找到圆后，就用圆的性质解题。