专题25.1 随机事件与概率（知识讲解）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

  专题25.1  随机事件与概率（知识讲解）

【学习目标】

1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；

2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.

【要点梳理】

要点一、必然事件、不可能事件和随机事件

1.定义：

（1）必然事件

在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．

（2）不可能事件

 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．

（3）随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

特别说明：

1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事

件”；

2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.

要点二、概率的意义

概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.

特别说明：

(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.

【典型例题】

类型一、随机事件

1.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是可能发生的？哪些是不可能发生的？

（1）早上的太阳从东方升起；

（2）掷一枚六个面分别刻有1～6的点数的均匀正方体骰子，向上一面的点数是4；

（3）熟透的苹果自然飞上天；

（4）打开电视机，正在播放少儿节目．

【答案】（1）早上的太阳从东方升起这个事件是必然发生的；（2）如果掷一枚六个面分别刻有1～6的点数的均匀正方体骰子，可能会出现向上一面的点数是4，故该事件是可能发生的；（3）熟透的苹果应自然落下地，而不可能飞上天，故熟透的苹果自然飞上天这个事件是不可能发生的；（4）打开电视机，可能正在播放少儿节目，也可能在播放其他节目，故该事件是可能发生的

【分析】

根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于哪一种类别．

解：（1）早上的太阳从东方升起这个事件是必然发生的；

（2）如果掷一枚六个面分别刻有1～6的点数的均匀正方体骰子，可能会出现向上一面的点数是4，故该事件是可能发生的；

（3）熟透的苹果应自然落下地，而不可能飞上天，故熟透的苹果自然飞上天这个事件是不可能发生的；

（4）打开电视机，可能正在播放少儿节目，也可能在播放其他节目，故该事件是可能发生的．

【点拨】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

举一反三

【变式1】指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

②367人中至少有2人的生日相同；

③没有水分，种子也会发芽；

④某运动员百米赛跑的成绩是；

⑤同种电荷相互排斥；

⑥通常情况下，高铁比普通列车快；

⑦用长度分别为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段能围成一个三角形．

【答案】必然事件：①②⑤⑥；不可能事件：③④⑦

【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．

解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是必然事件；

②367人中至少有2人的生日相同，是必然事件；

③没有水分，种子也会发芽，是不可能事件；

④某运动员百米赛跑的成绩是，是不可能事件，；

⑤同种电荷相互排斥，是必然事件；

⑥通常情况下，高铁比普通列车快，是必然事件；

⑦用长度分别为，，的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件；

∴必然事件：①②⑤⑥；

不可能事件：③④⑦．

【点拨】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

【变式2】在每个事件的括号里填上“必然”、“随机”、“不可能”等词语．

①如果，那么．（    ）

②如果，那么，．（    ）

③一只袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一球是红色的．（    ）

④掷骰子游戏中，连续掷十次，掷得的点数全是6．（    ）

【答案】①必然；②不可能；③随机；④随机

【分析】

根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；

必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．

解：①如果，那么，是必然事件；故答案为：必然

②如果，那么，，是不可能事件，，那么；故答案为：不可能

③一只袋里有5个红球，1个白球，从袋里任取一球是红色的，是随机事件；故答案为：随机；

④掷骰子游戏中，连续掷十次，掷得的点数全是6，是随机事件．故答案为：随机

【点拨】本题考查了确定事件和随机事件，根据相关知识判断事件的发生的可能性大小是解题的关键．

2. 一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球．

（1）会出现哪些可能的结果？

（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？

（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？

（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？

【答案】（1）从中任意摸出个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可．

【分析】

（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断；

（2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现；

（3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小；

（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可．

解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球；

（2）不能事先确定摸到的一定是红球；

（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；

（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可．

【点拨】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题．

举一反三
【变式】在一个不透明的口袋中有除了颜色外，大小、形状都一样的5个红球、3个黄球和2个绿球，把它们在口袋中搅匀，请判断以下事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．

（1）从口袋中任意取出1个球，是一个绿球．

（2）从口袋中一次任意取出5个球，全是黄球．

（3）从口袋中一次任意取出5个球，只有黄球和绿球，没有红球．

（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、黄、绿三种颜色的球都齐了．

（5）从口袋中一次任意取出9个球，恰好红、黄、绿三种颜色的球都齐了．

【答案】（1）随机事件；（2）不可能事件；（3）随机事件；（4）随机事件；（5）必然事件．

【分析】逐条分析，可能发生也可能不发生的是随机事件，一定不会发生的是不可能事件，一定会发生的是必然事件，将题意与上述进行对应判断即可．

解：（1）口袋中任意取出1个球，可能是绿球，也可能是红球或黄球，因此该事件是随机事件；
（2）不可能事件，因为袋子里总共只有3个黄球，不可能取出5个黄球；
（3）从口袋中一次任意取出5个球，只有黄球和绿球，没有红球，是可能会发生的，例如取出了 3个黄球和2个绿球，但也可能不会发生，例如取出了5个红球等，所以该事件是随机事件；
（4）从口袋中一次任意取出6个球，恰好红、黄、绿三种颜色的球都有是可能会发生的，例如1黄1绿4红，也可能不会发生，例如5红1黄，因此该事件是随机事件；

（5）必然事件，不管剩哪个颜色的球，最后三个颜色肯定都是全的．

【点拨】本题考查学生结合实际情况对不可能事件、随机事件以及必然事件的理解和掌握，解决本题的关键是正确理解相关概念和题意，牢记三种事件的发生特点，考查了学生对实际问题的辩证能力以及对数学知识的应用能力．

类型二、概率

3.如图是芳芳自己设计的可以自由转动的转盘，转盘被等分成12个扇形，上面有12个有理数．

求转出的数是：

（1）正数的概率；

（2）负数的概率；

（3）绝对值小于6的数的概率；

（4）相反数大于或等于8的数的概率．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【分析】

根据题意找出符合条件的数，再利用概率公式分别计算其概率即可．

解：(1) 10个数中正数有1，6，8，9，，，P(正数)＝．

(2) 10个数中正数有-1，，-10，-2，-8，P(负数)＝．

(3) 10个数中绝对值小于6的数有-1，，0，，1，-2，，P(绝对值小于6的数)＝.

(4)相反数大于或等于8的数有-10，-8，P(相反数大于或等于8的数)＝．

【点拨】本题考查的是概率的公式：，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含的试验基本结果数．

举一反三

【变式】一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球．已知红球的个数比黑球的2倍多40个，从袋中任取一个球是黑球的概率是．

（1）袋中红球的个数是______个；

（2）求从袋中任取一个球是白球的概率．

【答案】（1）200；（2）

【分析】

（1）直接根据从袋中任取一个球是黑球的概率是，得出黑球的个数，进而利用红球的个数比黑球的2倍多40个，求出答案；

（2）利用白球个数除以总数得出答案．

解：一个不透明的口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的球，从袋中任取一个球是黑球的概率是，

黑球的个数为：（个），

已知红球的个数比黑球的2倍多40个，

，

故答案为：．

（2）白球的个数是．

从袋中任取一个球是白球的概率为．

【点拨】本题考查了简单概率公式的计算，熟悉概率公式是解题的关键．

4. 如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘等分成16份）．

（1）小明购物180元，他获得奖金的概率是多少？

（2）小德购物210元，那么获得奖金的概率是多少？

（3）现商场想调整获得10元奖金的概率为，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上绿色？

【答案】（1）0；（2）；（3）1

【分析】

（1）用消费的钱数和200元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为0；

（2）用概率公式求解即可；

（3）设需要将x个无色区域涂上绿色，根据获得10元奖金的概率为列出方程，求解即可．

解：（1）180 < 200，

小明购物180元，不能获得转动转盘的机会，

小明获得奖金的概率为0；

（2）小德购物210元，能获得一次转动转盘的机会，

获得奖金的概率是

（3）设需要将个无色区域涂上绿色，

则有

解得：,

所以需要将1个无色区域涂上绿色．

【点拨】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，掌握概率计算公式是解题的关键．

举一反三

【变式】某学生在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：

（1）请将数据表补充完整．

（2）画出该同学进球次数的频率分布折线图．

（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？（结果用小数表示）

【答案】（1）0.6；0.8；0.4；0.8；0.68；0.6；（2）见解析；（3）0.65

【分析】

（1）根据频率计算方法：频率＝每回进球次数÷每回的投球次数，即可求解；

（2）利用描点法画图即可；

（3）利用样本估计总体即可求解．

解：（1）∵3÷5=0.6；8÷10=0.8；6÷15=0.4；16÷20=0.8；17÷25=0.68；18÷30=0.6；

故将数据表补充如下：

（2）如图：进球次数的频率分布折线图如下：

（3）≈0.65.

答：估计这个概率是0.65．

【点拨】此题主要考查频率与概率、折线统计图的画法，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比；