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吉林省长春市绿园区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份吉林省长春市绿园区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）＝（ ）
A． B． C．3 D．5
2．（3分）若sinα＝，则锐角α＝（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
3．（3分）若3x＝4y，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
5．（3分）若点（3，a）、（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
7．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则AD＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且cosα＝，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分母有理化＝ ．
10．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 ．
11．（3分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6cm，则线段DE＝ cm．
13．（3分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积比为 ．
14．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为 m．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：﹣÷．
16．（6分）解方程：2x2﹣4x+3＝5．
17．（6分）在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．
18．（7分）学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
19．（8分）已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
20．（6分）图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的2×7的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，△ABC即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．
要求：①所画三角形都与△ABC相似，且相似比不等于1．
②所画的两个三角形不全等.
21．（8分）“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：
信息一：在D处用高1.2米的测角仪CD，测得最高点A仰角为32.6°．
信息二：在D′处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得DD′＝20米，点D、D′、B在同一条直线上．
信息四：参考数据：sin32.6°＝0.54，cos32.6°＝0.84，tan32.6°＝0.64．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在Rt△ACE中，
＝ （填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°），
∴＝ （填0.54、0.84或0.64）．
设AE＝x米，
则CE＝ （用含x的代数式表示）米，C′E＝ （用含x的代数式表示）米．
（2）在（1）的条件下，结合题中信息求出x的值．
（3）“太阳鸟”的高度AB约为 （精确到0.1）米．
22．（9分）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC；
（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；
（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结PQ．作线段PQ的垂直平分线交折线AC﹣CB于点E，交AB于点F，交PQ于点G，连结CG．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长度为 ．
（2）当PQ与AB平行时，求t的值．
（3）当△PEG是等腰三角形时，求t的值．
（4）当CG＝时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为 ．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当﹣2≤x≤3时，求二次函数y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m﹣4．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点时，m的取值范围．
2021-2022学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）＝（ ）
A． B． C．3 D．5
【分析】直接利用二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0），即可得出答案．
【解答】解：×＝＝．
故选：A．
2．（3分）若sinα＝，则锐角α＝（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵sinα＝，
∵锐角α＝30°．
故选：A．
3．（3分）若3x＝4y，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质求出答案即可．
【解答】解：∵3x＝4y，
∴除以3y，得＝，
即＝，
故选：C．
4．（3分）一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
【解答】解：根据题意可得，
a＝1，b＝﹣8，c＝20．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴一元二次方程无实数根．
故选：B．
5．（3分）若点（3，a）、（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
【分析】根据二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2，
∵2＜3＜4，
∴a＜b，
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
【分析】将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，相当于将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，然后根据旋转的性质得OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，从而得到点A1的坐标．
【解答】解：将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
即将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，
所以OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，
所以点A1的坐标是（﹣1，2）．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则AD＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】由∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3可证明△CBD∽△CAB，由此可得，代入可求得CD，即可得到AD．
【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴，即，
∴CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1．
故选：B．
8．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且cosα＝，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出α的邻边和斜边，根据cosα＝求得．
【解答】解：如图1，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝，
∴cosα＝＝＝，
如图2，
由上得：AC＝，AB＝3，
∴cosα＝＝＝，
cosα＝＝，
如图4，
cosα＝＝＝
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分母有理化＝ ．
【分析】分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．结合本题，分母的有理化因式为，因此将分子、分母同乘以，消去分母中的根式即可．
【解答】解：＝＝．
10．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 x＝1 ．
【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
11．（3分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为 1000（1+x）2＝1210 ．
【分析】设该厂四、五月份的月平均增长率为x，利用五月份的产量＝三月份的产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设该厂四、五月份的月平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1210，
故答案为：1000（1+x）2＝1210．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6cm，则线段DE＝ 3 cm．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×6＝3（cm），
故答案为：3．
13．（3分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积比为 1：4 ．
【分析】△AOB∽△COD，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
【解答】解：根据网格可知：AB∥CD，AB＝，CD＝2，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，
∴S△ABO：S△CDO＝（：2）2＝1：4，
故答案为：1：4．
14．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为 4 m．
【分析】根据题意，把x＝8直接代入解析式即可解答．
【解答】解：∵水面的宽度AB为16米
∴B的横坐标为8，
把x＝8代入y＝﹣x2，
得y＝﹣4，
∴B（8，﹣4），
∴OC＝4m．
水面离桥拱顶的高度OC为4m．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：﹣÷．
【分析】根据二次根式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：﹣÷
＝2﹣
＝．
16．（6分）解方程：2x2﹣4x+3＝5．
【分析】先求出Δ的值，再代入求根公式计算即可．
【解答】解：原方程可化为：2x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣2）＝32＞0，
∴x＝＝＝1±．
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
17．（6分）在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．
【分析】先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一次摸出的两个球都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中一次摸出的两个球都是红球的结果数为6，
所以一次摸出的两个球都是红球的概率＝＝．
18．（7分）学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
【分析】本题可设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
【解答】解：设道路的宽为xm，依题意有
（32﹣x）（20﹣x）＝540
整理，得x2﹣52x+100＝0．
∴（x﹣50）（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）
答：小道的宽应是2m．
19．（8分）已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）利用顶点式求解二次函数解析式即可．
（2）把x＝1代入函数的解析式求得函数值即可判断．
【解答】解：（1）由顶点（﹣2，2），可设抛物线为：y＝a（x+2）2+2，
将点（﹣1，3）代入上式可得：（﹣1+2）2a+2＝3，
解得a＝1，
所以二次函数的关系式y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6．
（2）点P（1，9）不在这个二次函数的图象上，理由如下：
把x＝1代入y＝x2+4x+6得，y＝1+4+6＝11，
∴点P（1，9）不在这个二次函数的图象上．
20．（6分）图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的2×7的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，△ABC即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．
要求：①所画三角形都与△ABC相似，且相似比不等于1．
②所画的两个三角形不全等.
【分析】根据相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：如图②③中，△DEF即为所求．
21．（8分）“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：
信息一：在D处用高1.2米的测角仪CD，测得最高点A仰角为32.6°．
信息二：在D′处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得DD′＝20米，点D、D′、B在同一条直线上．
信息四：参考数据：sin32.6°＝0.54，cos32.6°＝0.84，tan32.6°＝0.64．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在Rt△ACE中，
＝ tan32.6° （填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°），
∴＝ 0.64 （填0.54、0.84或0.64）．
设AE＝x米，
则CE＝ （用含x的代数式表示）米，C′E＝ x （用含x的代数式表示）米．
（2）在（1）的条件下，结合题中信息求出x的值．
（3）“太阳鸟”的高度AB约为 36.8 （精确到0.1）米．
【分析】（1）在Rt△ACE中，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
（2）用含x的代数式表示出CE、C′E，再利用线段的和差关系得方程，求解即可；
（3）利用线段的和差求出AB．
【解答】解：（1）在Rt△ACE中，
∵tan∠ACE＝，
∴tan32.6°＝＝0.64．
设AE＝x米，
∴CE＝＝．
∵∠AC′E＝45°，AE⊥CE，
∴C′E＝AE＝x．
故答案为：tan32.6°，0.64，，x．
（2）∵CE﹣C′E＝CC′，CC′＝DD′，
∴﹣x＝20．
解得x＝．
∴x的值为米．
（3）∵CD＝BE，
∴AB＝AE+BE
＝+1.2
≈35.56+1.2
＝36.76
≈36.8（米）．
故答案为：36.8．
22．（9分）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC；
（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；
（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠DPB＝∠A+∠PDA，得到∠PDA＝∠CPB，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（应用）证明△ACP∽△BPE，分CP＝CE、PC＝PE、EC＝EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠DPB是△APD的外角，
∴∠DPB＝∠A+∠PDA，即∠DPC+∠CPB＝∠A+∠PDA，
∵∠A＝∠DPC，
∴∠PDA＝∠CPB，
∵∠A＝∠B，
∴△DAP∽△PBC；
（2）解：∵△DAP∽△PBC，
∴＝，
∵PD＝4，PC＝8，BC＝6，
∴＝，
解得：AP＝3；
（应用）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB＝∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB＝∠A+∠PCA，
∵∠A＝∠CPE，
∴∠ACP＝∠BPE，
∵∠A＝∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP＝CE时，∠CPE＝∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE＝∠A＝∠B，
∴CP＝CE不成立；
当PC＝PE时，△ACP≌△BPE，
则PB＝AC＝8，
∴AP＝AB﹣PB＝12﹣8＝4；
当EC＝EP时，∠CPE＝∠ECP，
∵∠B＝∠CPE，
∴∠ECP＝∠B，
∴PC＝PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴＝＝，即＝＝，
解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结PQ．作线段PQ的垂直平分线交折线AC﹣CB于点E，交AB于点F，交PQ于点G，连结CG．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长度为 4﹣2t ．
（2）当PQ与AB平行时，求t的值．
（3）当△PEG是等腰三角形时，求t的值．
（4）当CG＝时，直接写出t的值．
【分析】（1）由题意得CP＝4﹣2t；
（2）由题意得：CQ＝t，CP＝4﹣2t，根据PQ∥AB，得＝，解方程即可；
（3）由题意得：∠PGE＝90°，当△PEG是等腰三角形时，△PEG是等腰直角三角形，分析出△PCQ是等腰直角三角形，t＝4﹣2t，解方程即可；
（4）由题意PQ＝2CG＝2×＝，根据勾股定理得t2+（4﹣2t）2＝（）2，解得：t＝或．
【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动，
∴AP＝2t，
∴CP＝4﹣2t，
故答案为：4﹣2t；
（2）由题意得：CQ＝t，CP＝4﹣2t，
∵PQ∥AB，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝，
答：当PQ与AB平行时，t＝；
（3）由题意得：∠PGE＝90°，
当△PEG是等腰三角形时，△PEG是等腰直角三角形，
当点E在AC上，∠CPQ＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴CP＝CQ，此时点E和点C重合，
∴t＝4﹣2t，
解得：t＝，
答：当△PEG是等腰三角形时，t＝；
（4）∵点G是PQ中点，∠PCQ＝90°，
∴PQ＝2CG＝2×＝，
∵CQ＝t，CP＝4﹣2t，
∴t2+（4﹣2t）2＝（）2，
化简得：20t2﹣64t+51＝0，
解得：t＝或，
∵0＜t＜2，都符合题意，
当CG＝时，t＝或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为 2 ．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当﹣2≤x≤3时，求二次函数y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m﹣4．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点时，m的取值范围．
【分析】（1）令x＝0得y＝2，即可得答案；
（2）用待定系数法即可得答案；
（3）求出抛物线顶点为：（﹣1，），对称轴为直线x＝﹣1，由|﹣2﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，计算顶点坐标及x＝3时的函数值，即可得答案；
（4）PQ＝|﹣2m﹣4﹣m|＝|﹣3m﹣4|，由PQ的长度随m的增大而减小，得m＜﹣，①P到对称轴直线x＝﹣1的距离为﹣1﹣m，当PQ＜2（﹣1﹣m）时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点，故﹣3m﹣4＜2（﹣1﹣m），即得﹣2＜m＜﹣，②x＝时，y＝﹣x2﹣x+2＝，在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝得x＝或x＝﹣，故当﹣3＜m＜﹣时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点．
【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+2中，令x＝0得y＝2，
∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
故答案为：2；
（2）将A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴二次函数的关系式为y＝﹣x2﹣x+2；
（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线顶点为：（﹣1，），对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣2＜﹣1＜3，且﹣1＜0，
∴当﹣2≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2在x＝﹣1时取得最大值，最大值是，
而|﹣2﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，
∴x＝3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2在x＝3时取得最小值，最小值是﹣8，
∴当﹣2≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2最大值是，最小值是﹣8，
（4）PQ＝|﹣2m﹣4﹣m|＝|﹣3m﹣4|，
当﹣3m﹣4＞0时，PQ＝﹣3m﹣4，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m﹣4＜0时，PQ＝3m+4，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m﹣4＞0满足题意，解得m＜﹣，
①P到对称轴直线x＝﹣1的距离为﹣1﹣m，当PQ＜2（﹣1﹣m）时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点，如图：
∴﹣3m﹣4＜2（﹣1﹣m），
解得m＞﹣2，
∴﹣2＜m＜﹣，
②如图：
x＝时，y＝﹣x2﹣x+2＝，
在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝得﹣x2﹣x+2＝，
解得x＝或x＝﹣，
∴当﹣3＜m＜﹣时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点．
综上所述，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点，m的范围是﹣2＜m＜﹣或﹣3＜m＜﹣．
2021-2022学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）＝（ ）
A． B． C．3 D．5
2．（3分）若sinα＝，则锐角α＝（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
3．（3分）若3x＝4y，则＝（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
5．（3分）若点（3，a）、（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
7．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则AD＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且cosα＝，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分母有理化＝ ．
10．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 ．
11．（3分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6cm，则线段DE＝ cm．
13．（3分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积比为 ．
14．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为 m．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：﹣÷．
16．（6分）解方程：2x2﹣4x+3＝5．
17．（6分）在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．
18．（7分）学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
19．（8分）已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
20．（6分）图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的2×7的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，△ABC即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．
要求：①所画三角形都与△ABC相似，且相似比不等于1．
②所画的两个三角形不全等.
21．（8分）“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：
信息一：在D处用高1.2米的测角仪CD，测得最高点A仰角为32.6°．
信息二：在D′处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得DD′＝20米，点D、D′、B在同一条直线上．
信息四：参考数据：sin32.6°＝0.54，cos32.6°＝0.84，tan32.6°＝0.64．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在Rt△ACE中，
＝ （填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°），
∴＝ （填0.54、0.84或0.64）．
设AE＝x米，
则CE＝ （用含x的代数式表示）米，C′E＝ （用含x的代数式表示）米．
（2）在（1）的条件下，结合题中信息求出x的值．
（3）“太阳鸟”的高度AB约为 （精确到0.1）米．
22．（9分）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC；
（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；
（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结PQ．作线段PQ的垂直平分线交折线AC﹣CB于点E，交AB于点F，交PQ于点G，连结CG．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长度为 ．
（2）当PQ与AB平行时，求t的值．
（3）当△PEG是等腰三角形时，求t的值．
（4）当CG＝时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为 ．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当﹣2≤x≤3时，求二次函数y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m﹣4．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点时，m的取值范围．
2021-2022学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）＝（ ）
A． B． C．3 D．5
【分析】直接利用二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0），即可得出答案．
【解答】解：×＝＝．
故选：A．
2．（3分）若sinα＝，则锐角α＝（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：∵sinα＝，
∵锐角α＝30°．
故选：A．
3．（3分）若3x＝4y，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质求出答案即可．
【解答】解：∵3x＝4y，
∴除以3y，得＝，
即＝，
故选：C．
4．（3分）一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【分析】利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
【解答】解：根据题意可得，
a＝1，b＝﹣8，c＝20．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴一元二次方程无实数根．
故选：B．
5．（3分）若点（3，a）、（4，b）都在二次函数y＝（x﹣2）2的图象上，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
【分析】根据二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2，
∵2＜3＜4，
∴a＜b，
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系中，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
【分析】将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，相当于将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，然后根据旋转的性质得OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，从而得到点A1的坐标．
【解答】解：将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
即将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，
所以OB1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，
所以点A1的坐标是（﹣1，2）．
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则AD＝（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】由∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3可证明△CBD∽△CAB，由此可得，代入可求得CD，即可得到AD．
【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴，即，
∴CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝3﹣2＝1．
故选：B．
8．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且cosα＝，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出α的邻边和斜边，根据cosα＝求得．
【解答】解：如图1，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝，
∴cosα＝＝＝，
如图2，
由上得：AC＝，AB＝3，
∴cosα＝＝＝，
cosα＝＝，
如图4，
cosα＝＝＝
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）分母有理化＝ ．
【分析】分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．结合本题，分母的有理化因式为，因此将分子、分母同乘以，消去分母中的根式即可．
【解答】解：＝＝．
10．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的对称轴是直线 x＝1 ．
【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，
∴此函数的对称轴就是直线x＝1．
故答案为：x＝1．
11．（3分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为 1000（1+x）2＝1210 ．
【分析】设该厂四、五月份的月平均增长率为x，利用五月份的产量＝三月份的产量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设该厂四、五月份的月平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1210，
故答案为：1000（1+x）2＝1210．
12．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，若BC＝6cm，则线段DE＝ 3 cm．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D，点E分别是AB，AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×6＝3（cm），
故答案为：3．
13．（3分）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则△ABO的面积与△CDO的面积比为 1：4 ．
【分析】△AOB∽△COD，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．
【解答】解：根据网格可知：AB∥CD，AB＝，CD＝2，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴S△ABO：S△CDO＝（AB：CD）2，
∴S△ABO：S△CDO＝（：2）2＝1：4，
故答案为：1：4．
14．（3分）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度AB为16米时，水面离桥拱顶的高度OC为 4 m．
【分析】根据题意，把x＝8直接代入解析式即可解答．
【解答】解：∵水面的宽度AB为16米
∴B的横坐标为8，
把x＝8代入y＝﹣x2，
得y＝﹣4，
∴B（8，﹣4），
∴OC＝4m．
水面离桥拱顶的高度OC为4m．
故答案为：4．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：﹣÷．
【分析】根据二次根式的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：﹣÷
＝2﹣
＝．
16．（6分）解方程：2x2﹣4x+3＝5．
【分析】先求出Δ的值，再代入求根公式计算即可．
【解答】解：原方程可化为：2x2﹣4x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣2）＝32＞0，
∴x＝＝＝1±．
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
17．（6分）在一个不透明的盒子中有3个红球和1个白球，它们除颜色外其它都一样，从盒子中摸出两个球，求摸出的两个球都是红球的概率．
【分析】先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一次摸出的两个球都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中一次摸出的两个球都是红球的结果数为6，
所以一次摸出的两个球都是红球的概率＝＝．
18．（7分）学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？
【分析】本题可设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32﹣x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
【解答】解：设道路的宽为xm，依题意有
（32﹣x）（20﹣x）＝540
整理，得x2﹣52x+100＝0．
∴（x﹣50）（x﹣2）＝0，
∴x1＝2，x2＝50（不合题意，舍去）
答：小道的宽应是2m．
19．（8分）已知某二次函数的图象的顶点为（﹣2，2），且过点（﹣1，3）．
（1）求此二次函数的关系式．
（2）判断点P（1，9）是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）利用顶点式求解二次函数解析式即可．
（2）把x＝1代入函数的解析式求得函数值即可判断．
【解答】解：（1）由顶点（﹣2，2），可设抛物线为：y＝a（x+2）2+2，
将点（﹣1，3）代入上式可得：（﹣1+2）2a+2＝3，
解得a＝1，
所以二次函数的关系式y＝（x+2）2+2＝x2+4x+6．
（2）点P（1，9）不在这个二次函数的图象上，理由如下：
把x＝1代入y＝x2+4x+6得，y＝1+4+6＝11，
∴点P（1，9）不在这个二次函数的图象上．
20．（6分）图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的2×7的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，△ABC即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．
要求：①所画三角形都与△ABC相似，且相似比不等于1．
②所画的两个三角形不全等.
【分析】根据相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：如图②③中，△DEF即为所求．
21．（8分）“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑．某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：
信息一：在D处用高1.2米的测角仪CD，测得最高点A仰角为32.6°．
信息二：在D′处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．
信息三：测得DD′＝20米，点D、D′、B在同一条直线上．
信息四：参考数据：sin32.6°＝0.54，cos32.6°＝0.84，tan32.6°＝0.64．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）在Rt△ACE中，
＝ tan32.6° （填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°），
∴＝ 0.64 （填0.54、0.84或0.64）．
设AE＝x米，
则CE＝ （用含x的代数式表示）米，C′E＝ x （用含x的代数式表示）米．
（2）在（1）的条件下，结合题中信息求出x的值．
（3）“太阳鸟”的高度AB约为 36.8 （精确到0.1）米．
【分析】（1）在Rt△ACE中，利用直角三角形的边角间关系可得结论；
（2）用含x的代数式表示出CE、C′E，再利用线段的和差关系得方程，求解即可；
（3）利用线段的和差求出AB．
【解答】解：（1）在Rt△ACE中，
∵tan∠ACE＝，
∴tan32.6°＝＝0.64．
设AE＝x米，
∴CE＝＝．
∵∠AC′E＝45°，AE⊥CE，
∴C′E＝AE＝x．
故答案为：tan32.6°，0.64，，x．
（2）∵CE﹣C′E＝CC′，CC′＝DD′，
∴﹣x＝20．
解得x＝．
∴x的值为米．
（3）∵CD＝BE，
∴AB＝AE+BE
＝+1.2
≈35.56+1.2
＝36.76
≈36.8（米）．
故答案为：36.8．
22．（9分）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．
（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．
（1）求证：△DAP∽△PBC；
（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；
（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠DPB＝∠A+∠PDA，得到∠PDA＝∠CPB，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（应用）证明△ACP∽△BPE，分CP＝CE、PC＝PE、EC＝EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠DPB是△APD的外角，
∴∠DPB＝∠A+∠PDA，即∠DPC+∠CPB＝∠A+∠PDA，
∵∠A＝∠DPC，
∴∠PDA＝∠CPB，
∵∠A＝∠B，
∴△DAP∽△PBC；
（2）解：∵△DAP∽△PBC，
∴＝，
∵PD＝4，PC＝8，BC＝6，
∴＝，
解得：AP＝3；
（应用）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵∠CPB是△APC的外角，
∴∠CPB＝∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB＝∠A+∠PCA，
∵∠A＝∠CPE，
∴∠ACP＝∠BPE，
∵∠A＝∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP＝CE时，∠CPE＝∠CEP，
∵∠CEP＞∠B，∠CPE＝∠A＝∠B，
∴CP＝CE不成立；
当PC＝PE时，△ACP≌△BPE，
则PB＝AC＝8，
∴AP＝AB﹣PB＝12﹣8＝4；
当EC＝EP时，∠CPE＝∠ECP，
∵∠B＝∠CPE，
∴∠ECP＝∠B，
∴PC＝PB，
∵△ACP∽△BPE，
∴＝＝，即＝＝，
解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝，
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结PQ．作线段PQ的垂直平分线交折线AC﹣CB于点E，交AB于点F，交PQ于点G，连结CG．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示线段CP的长度为 4﹣2t ．
（2）当PQ与AB平行时，求t的值．
（3）当△PEG是等腰三角形时，求t的值．
（4）当CG＝时，直接写出t的值．
【分析】（1）由题意得CP＝4﹣2t；
（2）由题意得：CQ＝t，CP＝4﹣2t，根据PQ∥AB，得＝，解方程即可；
（3）由题意得：∠PGE＝90°，当△PEG是等腰三角形时，△PEG是等腰直角三角形，分析出△PCQ是等腰直角三角形，t＝4﹣2t，解方程即可；
（4）由题意PQ＝2CG＝2×＝，根据勾股定理得t2+（4﹣2t）2＝（）2，解得：t＝或．
【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动，
∴AP＝2t，
∴CP＝4﹣2t，
故答案为：4﹣2t；
（2）由题意得：CQ＝t，CP＝4﹣2t，
∵PQ∥AB，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝，
答：当PQ与AB平行时，t＝；
（3）由题意得：∠PGE＝90°，
当△PEG是等腰三角形时，△PEG是等腰直角三角形，
当点E在AC上，∠CPQ＝45°，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴CP＝CQ，此时点E和点C重合，
∴t＝4﹣2t，
解得：t＝，
答：当△PEG是等腰三角形时，t＝；
（4）∵点G是PQ中点，∠PCQ＝90°，
∴PQ＝2CG＝2×＝，
∵CQ＝t，CP＝4﹣2t，
∴t2+（4﹣2t）2＝（）2，
化简得：20t2﹣64t+51＝0，
解得：t＝或，
∵0＜t＜2，都符合题意，
当CG＝时，t＝或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为 2 ．
（2）求此二次函数的关系式．
（3）当﹣2≤x≤3时，求二次函数y＝ax2+bx+2的最大值和最小值．
（4）点P为二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m﹣4．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点时，m的取值范围．
【分析】（1）令x＝0得y＝2，即可得答案；
（2）用待定系数法即可得答案；
（3）求出抛物线顶点为：（﹣1，），对称轴为直线x＝﹣1，由|﹣2﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，计算顶点坐标及x＝3时的函数值，即可得答案；
（4）PQ＝|﹣2m﹣4﹣m|＝|﹣3m﹣4|，由PQ的长度随m的增大而减小，得m＜﹣，①P到对称轴直线x＝﹣1的距离为﹣1﹣m，当PQ＜2（﹣1﹣m）时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点，故﹣3m﹣4＜2（﹣1﹣m），即得﹣2＜m＜﹣，②x＝时，y＝﹣x2﹣x+2＝，在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝得x＝或x＝﹣，故当﹣3＜m＜﹣时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点．
【解答】解：（1）在y＝ax2+bx+2中，令x＝0得y＝2，
∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
故答案为：2；
（2）将A（﹣3，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：
，解得，
∴二次函数的关系式为y＝﹣x2﹣x+2；
（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线顶点为：（﹣1，），对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣2＜﹣1＜3，且﹣1＜0，
∴当﹣2≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2在x＝﹣1时取得最大值，最大值是，
而|﹣2﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，
∴x＝3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2在x＝3时取得最小值，最小值是﹣8，
∴当﹣2≤x≤3时，二次函数y＝﹣x2﹣x+2最大值是，最小值是﹣8，
（4）PQ＝|﹣2m﹣4﹣m|＝|﹣3m﹣4|，
当﹣3m﹣4＞0时，PQ＝﹣3m﹣4，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m﹣4＜0时，PQ＝3m+4，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m﹣4＞0满足题意，解得m＜﹣，
①P到对称轴直线x＝﹣1的距离为﹣1﹣m，当PQ＜2（﹣1﹣m）时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点，如图：
∴﹣3m﹣4＜2（﹣1﹣m），
解得m＞﹣2，
∴﹣2＜m＜﹣，
②如图：
x＝时，y＝﹣x2﹣x+2＝，
在y＝﹣x2﹣x+2中，令y＝得﹣x2﹣x+2＝，
解得x＝或x＝﹣，
∴当﹣3＜m＜﹣时，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点．
综上所述，线段PQ与二次函数y＝ax2+bx+2（﹣3＜x＜）的图象只有1个公共点，m的范围是﹣2＜m＜﹣或﹣3＜m＜﹣．
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