2022届初中数学一轮复习 课时作业22 圆的有关概念与性质

课时作业22　圆的有关概念与性质

1.下列说法中，正确的是(　　)

A.弦是直径

B.半圆是弧

C.过圆心的线段是直径

D.圆心相同半径相同的两个圆是同心圆

2.(2020·湖北十堰)如图，点A，B，C，D在☉O上，OA⊥BC，垂足为E.若∠ADC=30°，AE=1，则BC= (　　)

A.2 B.4

C. D.2

3.(2020·福建)如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=CD，A为中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于 (　　)

A.40° B.50°

C.60° D.70°

4.(2020·广西河池)如图，AB是☉O的直径，点C，D，E都在☉O上，∠1=55°，则∠2=　　　　°.  

5.(2020·山东聊城)如图，在☉O中，四边形OABC为菱形，点D在优弧AC上，则∠ADC的度数是　　　　. 

6.(2019·江苏泰州)如图，☉O的半径为5，点P在☉O上，点A在☉O内，且AP=3，过点A作AP的垂线交☉O于点B，C.设PB=x，PC=y，则y与x的函数表达式为　　　　. 

7.(2019·四川自贡)如图，在☉O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC.

求证：(1)；

(2)AE=CE.

8.(2020·江苏南京)如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，☉O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交☉O于点F.

求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；

(2)AF=EF.

9.(2019·四川绵阳)如图，AB是☉O的直径，点C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.

(1)求证：△BFG≌△CDG；

(2)若AD=BE=2，求BF的长.

10.(2020·四川雅安)如图，四边形ABCD内接于圆O，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD=2，DC=3，求△BDE的面积.

11.(2020·山东临沂)如图，在☉O中，AB为直径，∠AOC=80°.点D为弦AC的中点，点E为上任意一点.则∠CED的大小可能是(　　)

A.10° B.20° C.30° D.40°

12.(2019·山东东营)如图，AC是☉O的弦，AC=5，点B是☉O上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是　　　　. 

13.(2019·内蒙古包头)如图，在☉O中，B是☉O上的一点，∠ABC=120°，弦AC=2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC.

(1)求☉O半径的长；

(2)求证：AB+BC=BM.

14.如图，AB为☉O直径，点D为AB下方☉O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA.

(1)求证：∠ABD=2∠BDC；

(2)过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC；

(3)在(2)的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长.

参考答案

1.B　2.D　3.A　4.35　5.60°　6.y=

7.证明 (1)∵AB=CD，∴，即，∴.

(2)∵，∴AD=BC.又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE(ASA)，

∴AE=CE.

8.证明 (1)∵AC=BC，∴∠BAC=∠B.∵DF∥BC，

∴∠ADF=∠B.∵∠BAC=∠CFD，∴∠ADF=∠CFD，∴BD∥CF.∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形.

(2)连接AE，∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，

∴∠AEF=∠B.∵四边形AECF是☉O的内接四边形，∴∠ECF+∠EAF=180°.∵BD∥CF，

∴∠ECF+∠B=180°，∴∠EAF=∠B，

∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF.

9.(1)证明 ∵C是的中点，∴，∵AB是☉O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵，

∴△BFG≌△CDG(AAS).

(2)解 解法一：如图，连接OF，设☉O的半径为r，在Rt△ADB中，BD2=AB2-AD2，即BD2=(2r)2-22，在Rt△OEF中，OF2=OE2+EF2，即EF2=r2-(r-2)2.∵，∴，∴BD=CF，∴BD2=CF2=(2EF)2=4EF2，即(2r)2-22=4[r2-(r-2)2]，解得r=1(舍)或3.∴BF2=EF2+BE2=32-(3-2)2+22=12，∴BF=2.

解法二：如图，过C作CH⊥AD延长线于H，连接AC，BC.∵，∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB，

∴CH=CE.∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH.∵CH=CE，CD=CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2.∴AE=AH=2+2=4，∴AB=4+2=6.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC=90°.∵∠EBC=∠ABC，

∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=2.

解法三：如图，连接OC，交BD于H.∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH=BH.∵OA=OB，∴OH=AD=1.∵OC=OB，∠COE=∠BOH，∠OHB=∠OEC=90°，∴△COE≌△BOH(AAS)，∴OH=OE=1，

∴OB=3，∴CE=EF==2.

∴BF==2.

10.(1)证明 ∵四边形ABCD内接于☉O.

∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=60°，

∴∠ADC=120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°，∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，∴△ABC是等边三角形.

(2)解 过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N.∴∠AMD=90°，

∵∠ADC=120°，∴∠ADM=60°，∴∠DAM=30°，

∴DM=AD=1，AM=.

∵CD=3，∴CM=CD+DM=3+1=4，

∴S△ACD=CD·AM=×3×.

在Rt△AMC中，∠AMD=90°，

∴AC=.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=，∴BN=BC=，

∴S△ABC=.∴四边形ABCD的面积=.∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC=180°.∵∠ADC=120°，∴∠E=60°，∴∠E=BDC.∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠EAB=∠BCD.在△EAB和△DCB中

∴△EAB≌△DCB(AAS)，∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.

11.C　12.

13.(1)解 连接OA，OC，过O作OH⊥AC于点H，如图，

∵∠ABC=120°，∴∠AMC=180°-∠ABC=60°，

∴∠AOC=2∠AMC=120°，∴∠AOH=∠AOC=60°.∵AH=AC=，∴OA==2，故☉O的半径为2.

(2)证明 在BM上截取BE=BC，连接CE，如图，

∵∠MBC=60°，BE=BC，∴△EBC是等边三角形，

∴CE=CB=BE，∠BCE=60°，∴∠BCD+∠DCE=60°.∵∠ACM=∠ABM=60°，∴∠ECM+∠DCE=60°，∴∠ECM=∠BCD.∴△ACM是等边三角形.∴AC=CM，∴△ACB≌△MCE(SAS)，∴AB=ME，∵ME+EB=BM，∴AB+BC=BM.

14.(1)证明 如图1，连接AD，设∠BDC=α，∠DAC=β，则∠CAB=∠BDC=α.∵点C为弧ABD中点，∴，

∴∠ADC=∠DAC=β，∴∠DAB=β-α.

∵AB为☉O直径，∴∠ADB=90°，∴α+β=90°，∴β=90°-α，∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-(β-α)，

∴∠ABD=2α，∴∠ABD=2∠BDC.

(2)证明 ∵CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°.∵∠CAB=∠CDB，∴∠ACE=∠ADC.∵∠CAE=∠ADC，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE.

(3)解 如图2，连接OC，∴∠COB=2∠CAB.

∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，∴∠COB=∠ABD.∵∠OHC=∠ADB=90°，∴△OCH∽△BAD，∴.∵OH=5，∴BD=10，

∴AB==26，∴AO=13，∴AH=18.

∵△AHE∽△ADB，∴，即，

∴AE=，∴DE=.

　　　　图1　　　　　　　　图2