2021-2022学年厦门市松柏中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析）

这是一份2021-2022学年厦门市松柏中学九年级上学期期中数学试题（含答案与解析），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知x＝1是方程x2﹣m＝0的根，则m的值可以是（ ）
A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣2
【答案】A
【分析】根据x＝1是方程x2﹣m＝0的根，可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】解：∵x＝1是方程x2﹣m＝0的根，
∴1﹣m＝0，
解得，m＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．掌握一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．
2. 若是二次函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义可直接进行求解．
【详解】解：由是二次函数，则有：
，解得：，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3. 若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y2＞y3＞y1C. y1＞y3＞y2D. y3＞y2＞y1
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，
又∵﹣3＜﹣2＜6，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：．
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5. 若关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＜1B. k≤1C. k＜1且k≠0D. k≤1且k≠0
【答案】D
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于或等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
【详解】解：根据题意得：Δ＝b2−4ac＝36-36k≥0，且k≠0，
解得：k≤1且k≠0．
故选：D．
【点睛】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
6. 已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，然后对各选项进行判断．
【详解】解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=2（x-1）2满足条件．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质,利用数形结合思想来解决问题会事半功倍．
7. 函数与的图象如图所示，则的大致图象为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据反比例函数过一、三象限可确定出k的符号，根据二次函数图像的对称轴可以确定出a,b的符号，进而求解.
【详解】解：∵反比函数过一三象限，∴，
由二次函数开口向下可得，
又二次函数的对称轴，
∴，∴同号，∴，
∴
∴一次函数经过第一、二、三象限，
故答案为D．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数图象的知识，解题的关键是掌握一次和二次函数的图象性质，此类题属于中考常考题型．
8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. x(x+1)=1035B. x(x-1)=1035C. x(x+1)=1035D. x(x-1)=1035
【答案】B
【详解】试题分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1035．
故选B
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（ ）
A. 的长B. 的长C. 的长D. 的长
【答案】B
【详解】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.
【解答】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根.
故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
10. 二次函数y＝x2+bx﹣t的对称轴为x＝2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，则t的取值范围是（ ）
A. ﹣4≤t＜5B. ﹣4≤t＜﹣3C. t≥﹣4D. ﹣3＜t＜5
【答案】A
【分析】根据抛物线对称轴公式可先求出b的值，一元二次方程x2+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解相当于y＝x2﹣bx与直线y＝t的在﹣1＜x＜3的范围内有交点，即直线y＝t应介于过y＝x2﹣bx在﹣1＜x＜3的范围内的最大值与最小值的直线之间，由此可确定t的取值范围.
【详解】解：∵抛物线的对称轴x＝＝2，
∴b＝﹣4，
则方程x2+bx﹣t＝0，即x2﹣4x﹣t＝0的解相当于y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，
∵方程x2+bx﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数解，
∴当x＝﹣1时，y＝1+4＝5，
当x＝3时，y＝9﹣12＝﹣3，
又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣4≤t＜5时，在﹣1＜x＜3的范围内有解．
∴t的取值范围是﹣4≤t＜5，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程
的解相当于 与直线y=k的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.
二、填空题：（每空4分，共24分）
11. 一元二次方程的根________．
【答案】x1=0或x2=5
【分析】利用因式分解法解这个方程可得出.
【详解】 ，
，
，
， .
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，此题比较简单，易于掌握．
12. 二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为___．
【答案】（1，2）
【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k的性质解答即可．
【详解】解：二次函数y=-（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．
13. 如图，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1的图象（0≤x≤3），y的取值范围是___．
【答案】﹣1≤y≤3
【分析】根据函数图象得出在自变量取值范围内的对应y的最小值和最大值即可求得答案．
【详解】解：根据图象可知：当0≤x≤3时，此函数有最小值﹣1，有最大值3．
∴y的取值范围是：﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
【点睛】此题主要考查了根据函数图象判断函数的最值问题，结合图象得出最值是利用数形结合思想，此知识点是本题考查的重点．
14. 一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出___个小分支．
【答案】5
【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．
【详解】解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得：1+x+x2＝31，
解得x＝5或x＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出5根小分支，
故答案是：5．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
15. 如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为_____．
【答案】
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
详解】解：过C作CE⊥OB于E，
∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．
16. 已知非负实数x，y，z满足x+y+z＝1，则t＝2xy+yz+2zx最大值为___．
【答案】
【分析】先将转化为，再利用完全平方公式推出，然后对变形为关于的式子，最后根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】解：
当时，取最大值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数最值，有一定的难度，根据所给等式及完全平方公式得出关于的函数表达式是解题的关键．
三、解答题：（共86分）
17. 解方程：．
【答案】，
【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可．
【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为，．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键．
18. 判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0根的情况．
【答案】见解析
【分析】先计算b2﹣4ac＝﹣4k﹣4，然后根据根的判别式的意义分情况讨论即可．
【详解】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝k+2，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）
＝4﹣4k﹣8
＝﹣4k﹣4，
∴当﹣4k﹣4＞0，即k＜﹣1时，b2﹣4ac＞0，方程两个不相等的实数根；
当﹣4k﹣4＝0，即k＝﹣1时，b2﹣4ac＝0，方程两个相等的实数根；
当﹣4k﹣4＜0，即k＞﹣1时，b2﹣4ac＜0，方程没有实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
19. 已知二次函数y＝x2﹣4x+4．
（1）画出它的图象．
（2）当函数值y＞0时，观察图象，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）图见解析（2）x≠2．
【分析】（1）y＝x2﹣4x+4＝（x−2）2，故抛物线的顶点坐标为（2，0），对称轴为x＝2；用五点法绘制函数图象即可；
（2）观察图象即可求解．
【详解】解：（1）y＝x2﹣4x+4＝（x−2）2，
故抛物线的顶点坐标为（2，0），对称轴为x＝2；
故绘制如下函数图象：
（2）观察图象图象知，使y＞0时，x的取值范围是x≠2．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
20. 如图，用一段30米长的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18米．求当平行于墙的边长为多少米时，围成的矩形面积最大，并求出面积的最大值．
【答案】当平行于墙的边长为15米时，围成的矩形面积最大，最大值为．
【分析】设平行于墙的长为x米，则垂直于墙的长为米，矩形的面积为S，然后根据矩形的面积公式可得，再利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：设平行于墙的长为x米，则垂直于墙的长为米，矩形的面积为S，
则由题意得：，
∵墙的长度为18米，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
∴当平行于墙的边长为15米时，围成的矩形面积最大，最大值为，
答：当平行于墙的边长为15米时，围成的矩形面积最大，最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
21. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1），；（2）或．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，从而得到反比例函数的解析式，然后将点B的坐标代入可求得n的值，接下来，利用待定系数法求得直线AB的解析式即可；
（2）不等式的解集为直线y=kx+b位于反比例函数上方部分时，自变量x的取值范围．
【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，
．
，
反比例函数的表达式为，
点在反比例函数的图象上，
，
，
点坐标为．
点和点在一次函数图象上，
，
解得，
一次函数表达式为，
(2)点坐标，点坐标为，
不等式解释函数的图像在函数图像的上方，
∵满足条件的图像部分是在B点右侧,y轴左侧或A点右侧，
不等式解集为或．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，会利用待定系数法求解析式，利用数形结合思想解不等式是解题关键．
22. 如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．
【答案】拱门的最大高度是200米
【分析】根据题意可以建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式即可解答本题．
【详解】解：如图所示，以CD所在直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
∵CD＝200，
∴抛物线与轴的交点为，，
∴设这条抛物线的解析式为，
∵AB＝100，AB与CD的距离为150，
∴点B的坐标为（50，150），
抛物线经过点，
，
解得：，
，
当时，取得最大值，此时，
即拱门的最大高度是200米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立适当的平面直角坐标系，求出相应的函数解析式．
23. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”．
（1）判断一元二次方程x2﹣6x+8＝0是否是“2倍根方程”，请你说明理由．
（2）若方程ax2﹣3ax+c＝0（a≠0）是2倍根方程，抛物线y＝ax2﹣3ax+c与直线y＝ax﹣2有且只有一个交点，求该点坐标．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）（2，0）．
【分析】（1）x2−6x＋8＝0，解得：x＝2或4，即可求解；
（2）设方程的根分别为x，2x，利用根与系数的关系得到＝2，联立两函数，由Δ＝16a2−4a（c＋2）＝0，求出：a＝1，c＝2，即可求解．
【详解】解：（1）x2−6x＋8＝0，解得：x＝2或4，
4＝2×2，该方程是“2倍根方程”；
（2）设方程的根分别为x，2x，
则3x＝x+2x=3，2x2＝，
解得：＝2…①，
联立y＝ax2−3ax＋c、y＝ax−2并整理得：
ax2−4ax＋c＋2＝0…②，
Δ＝16a2−4a（c＋2）＝0…③，
联立①③并解得：a＝0或1（舍去0），
故a＝1，c＝2，
将a、c值代入②式得：
x2−4x＋4＝0，
解得：x＝2，
则该点的坐标为（2，0）．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法、抛物线与x轴的交点，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
24. 2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9-15表示）
（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；
（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】（1）；（2）队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（3）至少增加2个检测点
【分析】（1）先根据表中数据的变化趋势猜想：①当时，是的二次函数．根据提示设出抛物线的解析式，再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求函数解析式，再检验其它数据是否满足解析式，从而可得答案；
（2）设第分钟时的排队人数是，列出与第分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多人数，利用检测点的检测人数列方程求解检测时间；
（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可得答案．
【详解】解：（1）根据表中数据的变化趋势可知：
①当时，是的二次函数．
∵当时，，
∴二次函数的关系式可设为．
当时，；当时，．
将它们分别代入关系式得
解得．
∴二次函数的关系式为．
将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足．
②当时，．
∴与的关系式为．
（2）设第分钟时的排队人数是，根据题意，得
①当时，．
∴当时，．
②当时，，随的增大而减小，
∴．
∴排队人数最多时是490人．
要全部考生都完成体温检测，根据题意，
得，
解得．
∴排队人数最多时是490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
（3）设从一开始就应该增加个检测点，
根据题意，得，
解得．
∵是整数，
∴的最小整数是2．
∴一开始就应该至少增加2个检测点．
【点睛】本题考查的根据实际的数据探究各数据符合的函数形式，同时考查待定系数法求解函数解析式，考查二次函数的实际应用及二次函数的性质，同时考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键．
25. 已知，抛物线y=x2+(2m－1)x－2m(－－， (2m－k+2)2≥0
∴△>0，抛物线与直线l必有两个交点.
（3）依题意可知y最小值=－4
即：=－4，m＝或m＝－
∵－－1（舍去），k2＝－2
②当k－2