2020-2021学年广东省东莞外国语学校九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年广东省东莞外国语学校九年级（上）期末数学试卷

1. 下列银行标志图案中，是中心对称的是

A.  B.  C.  D.

2. 抛物线的顶点坐标是

A.  B.  C.  D.

3. 用配方法解方程：，下列配方正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知点，，都在反比例函数的图象上，那么，与的大小关系是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，中，，若，，则CD边的长是

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

7. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为
    

A.  B.  C.  D.

8. 如图，把绕顶点C按顺时针方向旋转得到，当，，时，的度数为
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，四边形ABCD内接于圆O，，，则的度数是
   
    

A.  B.  C.  D.

10. 已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

11. 已知点与点关于原点对称，则的值等于______.
12. 二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是______.
13. 已知一菱形的两条对角线的长分别是方程的两个实数根，则该菱形的面积为______.
14. 利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为米，测得米，米，则建筑物的高AB为____米．
     

15. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交是交点，已知，则的半径为______.
16. 在中，，，，则AC的长为______.
17. 如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点C在x轴上，轴，若点B的坐标为，，则k的值______.
    
     

18. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
19. 解方程：
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
    将沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的，若内有一点，则经过上述变换后点P的坐标为______.
    作出关于坐标原点O成中心对称的
    的面积为______.

21. 已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．
    求m的值及这个二次函数的解析式；
    当时，求线段DE的最大值．
     

22. 商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
    当每件盈利50元时，每天可销售多少件？
    每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到3150元？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点
    求证：≌；
    求证：∽；
    若，，求PC的长．

24. 如图，已知AB是的直径，点C在上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，，
    求证：PC是的切线；
    求证：；
    点M是的中点，CM交AB于点N，若，求的值．

25. 如图，已知二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B、C，点C坐标为，连接AB、
    请直接写出二次函数的表达式；
    若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；
    若点N在线段BC上运动不与点B、C重合，过点N作，交AB于点M，当面积最大时，求此时点N的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：二次函数的解析式为，
其顶点坐标为：
故选：
直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数，在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】
解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得
故选：  

4.【答案】B
 

【解析】解：因为是一元二次方程的实数根，
则，，
故选：
根据一元二次方程根与系数关系解答即可．
本题考查了根与系数的关系，熟记，是解题的关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：，
图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
，，
，
故选：
根据，图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大即可判断．
本题考查了反比例函数图象的性质，对于，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：，，
∽，
，，
，

答：DC边的长为
故选：
根据相似三角形的判定和性质，对应边成比例即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是找对相似三角形的对应边．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：过点C作于点D，
，，
由勾股定理可知：，
，
故选：
过点C作于点D，根据勾股定理可求出AC，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：根据旋转的性质可知，，

，

故选：
由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了旋转的性质，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据平行线的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理解答．
【解答】
解：，
，
四边形ABCD内接于圆O，
，
由圆周角定理得，，
故选：  

10.【答案】B
 

【解析】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：，，，，，故①正确；
②对称轴，
，
，故②正确；
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知，故③错误．
④当时，，，故④错误．
综上所述正确的个数为2个
故选：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

11.【答案】3
 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
所以，
故答案为：
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后相加计算即可得解．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
 

12.【答案】
 

【解析】解：二次函数的图象与x轴有交点，
，
解得，，
故答案为：
根据二次函数的图象与x轴有交点，可知，从而可以求得k的取值范围．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，
菱形的两条对角线长分别是方程的两个实数根，
，
菱形的面积
故答案为
设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
本题考查了根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，也考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．
 

14.【答案】15
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．
【解答】

解：，
∽，
，即，
米
故答案为：

15.【答案】5
 

【解析】解：由题意，与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，
在矩形ABCD中，，而，
，
在中，，
设求半径为r，则，
在中，，
解得，
故答案为：
首先由题意，与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则，然后在中，，解此方程即可求得答案．
此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
 

16.【答案】4
 

【解析】解：在中，
，






故答案为：
利用直角三角形的边角间关系先求出AB，再利用勾股定理求出
本题考查了解直角三角形．掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

17.【答案】7
 

【解析】解：轴，若点B的坐标为，
设点


点
点A在反比例函数的图象上，

故答案为：
设点，根据题意可得：，即可求点A坐标，代入解析式可求k的值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题是本题的关键．
 

18.【答案】解：原式


 

【解析】先去绝对值，算零指数幂及特殊三角形函数和二次根式，再进行乘除运算，最后进行加减运算．
本题主要考查实数的混合运算，包含去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值及算术平方根等知识，正确化简各部分的值是解题基础．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
所以，
 

【解析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程常用的解法有：直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法，解答时要根据方程的特征选择恰当的方法.解答此题应先将方程化为一般形式，然后再用因式分解法解之即可.
 

20.【答案】解：如图所示，；
如图所示；



 

【解析】

【分析】
本题考查了平移中的坐标变化，轴对称中的坐标变化，中心对称中的坐标变化，三角形的面积．
先利用关于x轴对称的坐标特征写出沿x轴翻折后对应的坐标，然后利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再描点即可；同时得到P点坐标；
利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出的面积．
【解答】
解：作图见答案；经过上述变换后点P的坐标为，
故答案为；
见答案；
的面积
故答案为  

21.【答案】解：直线经过点，
，
，
二次函数图象的顶点坐标为，
设
抛物线经过，
，
；

由题意得，，
，
，
当时，DE的最大值为
 

【解析】直线经过点，，，二次函数图象的顶点坐标为，即可求解；
由题意得，，，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
 

22.【答案】解：当每件盈利50元时，每件商品降价：元，
商场每天可多销售：件，
每天销售：件，
答：当每件盈利50元时，每天可销售60件；
设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，
则商场每天多销售2x件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：每件商品降价15元或25元时，商场日盈利可达到3150元．
 

【解析】根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，计算出每件盈利50元时，每件商品降价的钱数，从而计算出商场每天可多销售的数量，从而计算出每天销售的数量；
设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到3150元，则商场每天多销售2x件，根据“某种商品平均每天可销售40件，每件盈利60元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多销售2件”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形ABCD菱形，
，，
在和中，
，
≌；

≌，
，
，
，
，
又，
∽，

∽
，
，
≌，
，
，
，，
，

 

【解析】利用菱形的性质结合条件可证明≌；
根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，可得∽；
根据相似三角形的性质得到，于是得到，等量代换即可得到，求得
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，

又，，

又是的直径，


即，
是的半径．
是的切线．

证明：，
，

又，，
，



解：连接MA，MB，
点M是的中点，
，

，

，
∽


又是的直径，，
，
，


 

【解析】已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得，即；故PC是的切线；
是直径；故只需证明BC与半径相等即可；
连接MA，MB，由圆周角定理可得，进而可得∽，故；代入数据可得
此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．
 

25.【答案】解：二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B、C，点C坐标为，
，
，
二次函数的表达式为：；
，，
，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为，
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为或
③作AC的垂直平分线，交x轴于N，
，
，
，
，
，
的坐标为，
综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为或或或；
抛物线与x轴交于B，C两点，
，
，，
点，
，
设点N的坐标为，则，过M点作轴于点D，

，
∽，
，
，
，
，
，，，
，
，
当时，面积最大，
点坐标为
 

【解析】将点A，点C坐标代入解析式可求解；
分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；
设点N的坐标为，则，过M点作轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得，然后根据得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．