2020-2021学年湖北省宜昌市九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省宜昌市九年级（上）期末数学试卷

1. 以下四张扑克牌的图案，中心对称图形是

A.  B.  C.  D.

2. 将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是

A. 2， B. ， C. 2， D. ，

3. 下列事件是不可能事件的是

A. 任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
B. 李师傅买的彩票正好中奖
C. 掷两次骰子，骰子的点数之积为14
D. 翻开一本书，页码是奇数

4. 关于x的一元二次方程有两个实根，则实数k的取值范围是

A.  B.  C. 且 D. 且

5. 在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转后，得到对应点Q的坐标是

A.  B.  C.  D.

6. 将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是

A.  B.
C.  D.

7. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球

A. 32个 B. 36个 C. 40个 D. 42个

8. 如图，是四边形ABCD的外接圆，若，则的度数为
    

A.  B.  C.  D.

9. 在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则

A.  B.  C.  D.

11. 如图，抛物线与直线的交点为，当时，x的取值范围是

A.
B.
C. 或
D. 或
 

12. 如图所示的转盘中，红、黄、蓝三色扇形的圆心角度数分别为，，，自由转动转盘，当转盘停止后，指针落在黄色区域的概率是______ .
13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值是______.
14. 如图，将绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上．若，，则CD的长为______.
    
     

15. 若点，在如图所示的抛物线上，则，的大小关系是______.
    
    
    
     

16. 解方程：
    
    
    
    
    
    
     
17. 已知如图，扇形AOB的圆心角为，半径OA为
    求扇形AOB的弧长和扇形面积；
    若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高

18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点坐标分别为，，
    按下列要求画图：
    ①将沿x轴向左平移2个单位长度，得到，请画出；
    ②将绕点O逆时针旋转，得到，请画出
    是______三角形，其外接圆的半径______.

19. 901班召开“美丽宜昌”主题班会，准备随机选取1名主持人和两名介绍宜昌风光的学生．班主任准备了“①号三峡大坝”、“②号三峡人家”、“③号清江画廊”、“④号三峡大瀑布”四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置照片背面完全相同
    已知901班共有40名同学，请写出小明被选中为主持人的概率；
    小华和小丽被选中介绍宜昌风光，小华从四张照片中随机抽取一张，不放回；小丽再从剩下的照片中随机抽取一张．请用树状图法求小华、小丽两人中恰好有一人抽中“①号三峡大坝”的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示．已知，，其中AD、DC两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏围成．设米，花圃的面积为y平方米．
    用含有x的代数式表示出DC的长；
    求这块花圃的最大面积．

21. 中，，O为AB边上一点．经过点A，与AC，AB两边分别交于点E，F，连接
    
    如图1，若，，则______.
    如图2，AD平分，交CB于点D，经过点
    ①求证：BC为的切线；
    ②若，的半径为5，求CD的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出A，B两种健康食品套餐，到年底共卖出m万份，其中A套餐卖出a万份，两种套餐共获利润1500万元．已知销售一份A套餐可获利润20元，销售一份B套餐可获利润45元．
    用含a的代数式表示m；
    随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整．2017年，该公司将每份B套餐的利润增加到100元，每份A套餐的利润不变．经核算，两种套餐在这一年的销售总量与2016年相同，其中A套餐的销售量增加，两种套餐的总利润增加760万元．
    ①求2017年每种套餐的销售量；
    ②由于B套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份B套餐的利润在2017年的基础上增加，2019年在2018年的基础上又增加若B套餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利2856万元，求x的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知：是的外接圆，且，，D为上一动点．
    如图1，若点D是的中点，求的度数．
    过点B作直线AD的垂线，垂足为点
    ①如图2，若点D在上，求证：
    ②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值．

24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形ABCO的边OA落在x轴上，OC落在y轴上，，已知直线l：
    
    填空：______，______；当直线l与正方形ABCO没有交点时，k的取值范围是：______；
    当时，已知抛物线L：顶点P在直线l上，设抛物线与直线l的另一个交点为M，过M作轴交抛物线于另一点N，若，求a的值；
    在的条件下，抛物线L与边AB所在的直线交于点
    ①当点P向上运动的过程中，点E也随之向上运动，求此时m的取值范围，并写出点E在最高位置时的坐标；
    ②若抛物线L与线段OA只有一个公共点，求m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：将一元二次方程化为一般形式为：，其中二次项系数、一次项系数分别是2，
故选：
根据一元二次方程的一般形式解答．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常数且在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：A、任意画一个平行四边形，它是中心对称图形，是必然事件；
B、李师傅买的彩票正好中奖，是随机事件；
C、掷两次骰子，骰子的点数之积为14，是不可能事件；
D、翻开一本书，页码是奇数，是随机事件；
故选：
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个实根，
，
解得：且
故选：
由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：将点绕原点O旋转后，得到的对应点Q，
点Q和点P关于原点对称，
点P的坐标为，
点Q的坐标是
故选：
根据题意可得，点P和点P的对应点Q关于原点对称，据此求出Q的坐标即可．
本题考查坐标与图形变化-旋转，中心对称等知识，解题的关键是利用中心对称的性质，属于中考常考题型．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：变为：，向右平移1个单位得到的函数的解析式为：，
即，再向上平移2个单位后，所得图象的函数的解析式为，
故选：
将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据平移的单位可得新抛物线的解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换．讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根，可根据“黑球数量黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”.
【解答】
解：设盒子里有白球x个，
根据得：
，
解得：，
经检验得是方程的解，
答：盒中大约有白球32个，
故选  

8.【答案】B
 

【解析】解：，
圆周角定理，
是四边形ABCD的外接圆，
，
，
故选：
根据圆周角定理和已知条件求出，根据圆内接四边形得出，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．
 

9.【答案】A
 

【解析】解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：
故选：
设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种传染病，即可得出y与x的函数关系式．
此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出传染人数是解题关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：，，
，
又、为对应点，点A为旋转中心，
，即为等腰三角形，

故选：
旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：二次函数与一次函数的交点A、B的坐标分别为、，
当时，x的取值范围是或，
故选：
根据两函数的图象和A、B的坐标得出即可．
本题考查了二次函数与不等式、二次函数和一次函数的图象和性质等知识点，解决这类题目的关键是数形结合：能根据图象得出正确信息．
 

12.【答案】
 

【解析】解：指针落在黄色区域的概率
故答案为：
用黄色区域的圆心角的度数除以得到指针落在黄色区域的概率．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

13.【答案】
 

【解析】解：是关于x的一元二次方程的一个根，
满足关于x的一元二次方程，
，即，
解得，；
故答案是：
根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的解均满足该方程的解析式．
 

14.【答案】1
 

【解析】解：将绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
故答案为：
易证是等边三角形，再通过证明，从而有，
本题主要考查了旋转的性质、含角的直角三角形，以及等边三角形的判定与性质等知识，判断出是等边三角形是解决本题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：抛物线经过原点，对称轴为直线，
抛物线过点，
当时，，
由图象可知，当时，；

故答案为
根据抛物线的对称性得出，观察图象得到，即可得到
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
或，
，
 

【解析】先把方程左边进行因式分解得到，然后解一元一次方程即可．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
 

17.【答案】解：扇形AOB的弧长；
扇形AOB的扇形面积；
如图，设圆锥底面圆的半径为r，
所以，解得，
在中，，，
所以
 

【解析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式求解；
设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解得，然后根据勾股定理计算
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线．也考查了扇形的弧长和面积公式．
 

18.【答案】等腰直角 
 

【解析】解：①如图即为所画．

②如图即为所画．
为等腰直角三角形，
其外接圆的半径为
①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标；②根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的对应点、的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标．
结合根据网格可得，，可得是等腰直角三角形，其外接圆的半径是斜边上的中线，根据勾股定理即可得结果．
本题考查了作图-旋转变换，扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

19.【答案】解：班共有40名同学，准备选取1名主持人，
小明被选中为主持人的概率为：；

画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中其中小华、小丽两人中恰好有一人介绍“①号三峡大坝”的结果数有6种，
所以小华、小丽两人中恰好有一人介绍“①号三峡大坝”的概率为
 

【解析】直接利用班级人数即可得出小明被选中为主持人的概率；
利用树状图展示12种等可能的结果数，从中找到小华、小丽两人中恰好有一人抽中“①号三峡大坝”的结果数，根据概率公式计算可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：过点C作于点H，

则四边形ADCH为矩形，
，
在中，，，
米．
依题意有：，
解得：，
四边形ABCD是梯形，
，
该二次函数的对称轴为：，且开口向下，
当时，，
花圃的面积的最大值为平方米．
 

【解析】过点C作于H，用含x的式子表示BH，再由即可得到CD的长；
用含x的式子表示出四边形ABCD的面积，根据二次函数的性质即可得出四边形的面积的最大值．
本题主要考查含有角的直角三角形的性质和梯形的面积公式，关键是要能用含x的式子表示出CD的长度．
 

21.【答案】
 

【解析】解：如图1中，

是直径，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，

故答案为：

①证明：如图2中，连接

，
，
平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又是的半径，
为的切线．

②解：如图2中，过O作于点
由垂径定理，得：，
又，
，
，
，
在中，由勾股定理，得：，
的半径为5，
，
，
，
，
四边形GCDO为矩形，

证明是等腰直角三角形可得结论．
①连接OD，欲证明BC是切线，只要证明
②过O作于点证明四边形四边形GCDO为矩形，求出OG，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
 

22.【答案】解：根据题意知，，
所以或；

①依题意得2017年A项套餐销售量为万份，B项套餐销售量为万份，
根据题意得：，
解得
所以2017年A项套餐销售量为万份
2017年B项套餐销售量为万份；
②依题意可知，
2017年B项套餐每份盈利100元，
2018年B项套餐每份盈利元，
2019年B项套餐每份盈利元，
所以根据题意得：
设，则
解得不符合题意，舍去

 

【解析】根据总利润万元列出方程，并解答；
①依题意得2017年A项套餐销售量为万份，B项套餐销售量为万份，根据题意列出方程组并解答；
②2017年B项套餐每份盈利100元，2018年B项套餐每份盈利元，2019年B项套餐每份盈利元，所以根据题意得：解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程组一元二次方程
 

23.【答案】解：如图1中，连接

，
，
，
，
是的中点，
，
，


①过B作于点H，则

又于点E，
，
，
又，
，
，
，
≌，
，
又四边形ACBD是的内接四边形，
，
又，
，
，
又，，
，
，


②连接BO并延长交于点I，则点D在上．

如图：过B作于点H，
则，，
又于点E，
，
，
又四边形ABCD是的内接四边形，
，
又，
，
≌
，
，
，
又，

，
，
是直径，
，
垂直平分AC，
，
，
当点D运动到点I时取得最大值，此时
 

【解析】证明是等边三角形，再证明，可得结论．
①过B作于点H，则证明≌，推出，证明，推出，可得结论．
②连接BO并延长交于点I，则点D在上．证明此时满足，当点D运动到点I时取得最大值，此时
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】或
 

【解析】解：根据正方形的性质，可得，
，
当直线l经过点A时，
有，解得，
，
当直线l经过点C时，
有，解得，
，
或，
故答案为2，2，或；
当时，直线l：，
抛物线L：，
顶点，
轴且，
，，
将或代入抛物线L：，
得：；
①由知抛物线L：，、，
令，
当时，随着m的增大而增大，
当时，，
即此时m的取值范围为，，
②当抛物线L过时，，
解得，，
当时，顶点P与O重合，符合题意，
当时，抛物线L为：，
令，得：，，
此时抛物线L与线段OA有两个交点，分别为，，
，
当抛物线L过时，，
解得，，
当时，不符合题意，
当时，抛物线L与x轴交于，，符合题意，
，
综上：且
根据正方形的性质即可求出点B的坐标，根据直线l经过点A和点C两点时求出对应的k值即可求出k的范围；
先根据解析式用m表示出点P的坐标，在根据用m表示出M的坐标，代入解析式即可求出a的值；
①根据用含m的式子表示出抛物线的解析式，然后表示出点P和点E的坐标，求出E的纵坐标的最大值即可确定m的范围和此时E的坐标；
②分抛物线过原点和点A两种情况讨论，取，求出满足抛物线在OA上只有一个根的m的范围即可．
本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要能根据抛物线的解析式表示出顶点的坐标，在求抛物线与线段的交点问题时一般先考虑两个端点的情况，再根据变化规律确定取值范围．