2020-2021学年湖北省鄂州市九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省鄂州市九年级（上）期末数学试卷

1. 下列方程中是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

2. 用配方法解方程的过程中，配方正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 一元二次方程的两根为、，则的值是

A. 4 B.  C.  D. 2

4. 如图，在中，，，则的度数是
    

A.  B.  C.  D.

5. 把抛物线向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是

A.  B.
C.  D.

6. 若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为

A. 1cm B. 2cm C. 3cm D.

7. 新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x的值为

A. 10 B. 9 C. 8 D. 7

8. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，则点与点B之间的距离为
   
    

A. 12 B. 6 C.  D.

9. 如图，在中，，，，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是

A. 9 B. 10 C.  D.

10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、点、点在该函数图象上，则；若方程的两根为和，且，则其中正确的结论有

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

11. 已知方程的一个根是，则方程的另一根______.
12. 顶点为，形状与函数的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为______.
13. 如图，PA，PB分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接AC、BC，若，则的度数为______.

14. 如图，有一张矩形纸片ABCD，其中，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图则半圆还露在外面的部分阴影部分的面积为______.
     

15. 中，，，，P为内一个动点，则的最小值为______.
16. 已知函数的图象与函数的图象恰好有四个交点，则b的取值范围是______.
17. 用适当的方法解下列方程．
    ；
    
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是、，将绕点O逆时针旋转后得到直接填写答案
    点A关于点O中心对称的点的坐标为______；
    点的坐标为______；
    在旋转过程中，点B运动的路径为，那么的长为______.

19. 为加强素质教育，某学校自主开设了A书法、B阅读、C足球、D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
    学生小明计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；用树状图或列表法表示选法
    若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好同时选修书法或足球的概率是多少？
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和
    求实数m的取值范围；
    当时，求m的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，CD为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，
    求AB的长；
    求的半径．
    
    
    
     

22. 根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润千元与进货量吨之间的函数的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润千元与进货量吨之间的函数的图象如图②所示．
    分别求出，与x之间的函数关系式；
    如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
    ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和千元与吨之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
    ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
     

23. 如图，在中，，点O在AC上，以OA为半径的交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接
    判断直线DE与的位置关系，并说明理由；
    若，，，求线段DE的长．

24. 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为，点C坐标为
    求抛物线的表达式；
    如图2，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标；
    如图3，过点作直线轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：根据题意得
故选：
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，
 

4.【答案】D
 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：
利用等腰三角形的性质求出，可得结论．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：将抛物线向右平移3个单位所得直线解析式为：，
再向上平移1个单位为：
故选：
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：根据圆锥侧面积公式：，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为，
故，
解得：
故选：
根据圆锥侧面积公式代入数据求出圆锥的母线长即可．
此题主要考查了圆锥侧面积公式的应用，正确记忆圆锥侧面积公式是解题关键．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：依题意得：，
解得：，不合题意，舍去
故选：
根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．
连接，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】
解：连接，

将绕点C按逆时针方向旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
，
将绕点C按逆时针方向旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
故选  

9.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型.如图，设与AC相切于点E，连接OE，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，求出，如图当在AB边上时，与B重合时，最大值，由此不难解决问题.
【解答】
解：如图，设与AC相切于点E，连接OE，作垂足为交于，
此时垂线段最短，最小值为，
，，，
，
，
，

，
，
，
，
四边形是矩形，
，
的最小值为，
如图，当在AB边上时，与B重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，
PQ的最大值，
长的最大值与最小值的和是
故选  

10.【答案】B
 

【解析】解：正确．，
故正确．
错误．时，，
，
，故错误．
正确．由图象可知抛物线经过和，
解得，
，
，
，故正确．
错误，点、点、点，
，，

点C离对称轴的距离近，
，
，，

，故错误．
正确．，
，
即，
故或，故正确．
正确的有三个，
故选：
正确．根据对称轴公式计算即可．
错误，利用时，，即可判断．
正确．由图象可知抛物线经过和，列出方程组求出a、b即可判断．
错误．利用函数图象即可判断．
正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
本题考查二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】5
 

【解析】解：根据题意得，
即，
解得
故答案为
利用根与系数的关系得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，
 

12.【答案】
 

【解析】解：设抛物线解析式为，
形状与函数的图象相同且开口方向相反，
，
把，顶点代入得：
，
故答案为：
由形状与函数的图象相同且开口方向相反可知，把顶点代入顶点式即可求得抛物线解析式．
本题考查了二次函数解析式的求法，掌握顶点式的特点是解决本题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：连接OA、OB，

、PB分别与相切于A、B两点，
，，
，
，

故答案为：
先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

14.【答案】
 

【解析】解：作于H，连接OK，
以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，

，
，
，
，
，
，
，
扇形ODK的面积为，
，，
，；
，
的面积为，
半圆还露在外面的部分阴影部分的面积是：
故答案为：
如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与的面积差来求得，在中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出的度数，进而得出和的度数，即可求得和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．
此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，垂直于过切点的半径；还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接AK，PT，KC，过点K作交CA的延长线于

，，，
，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为
故答案为：
如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接AK，PT，KC，过点K作交CA的延长线于解直角三角形求出CK，再证明，，推出，可得结论．
本题考查旋转变换，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转变换，添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：当时，；
此时函数的一个端点为，顶点坐标为；
当时，；
顶点坐标为
画出函数图象如图所示：

故答案为：
当时，及时，对函数进行化简，并画出函数图象，结合函数图象可得出b的取值范围．
本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
则或，
解得，；

，，，
，
则，
即，
 

【解析】利用因式分解法求解即可；
利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：
点A关于点O中心对称的点的坐标为，
故答案为：；

由平面直角坐标系坐标定义，
直接写出，
故答案为：；

根据勾股定理，，
所以，弧的长，
故答案为：
根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
根据平面直角坐标系写出即可；
先利用勾股定理求出OB的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解．
本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

19.【答案】解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，所有可能的选法为、、、、、；
画树状图如图：

共有16个等可能的结果，小明和小刚两人恰好同时选修书法或足球的结果有2个，
小明和小刚两人恰好同时选修书法或足球的概率为
 

【解析】画树状图，得到所有可能的选法；
画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小明和小刚两人恰好选修书法或足球的结果数，然后根据概率公式求解．
此题考查了列表法或树状图法求概率．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】解：根据题意得，
解得；
根据题意得，，
，
，
或，
即或，
解得或，
而，
的值为
 

【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到得，，利用得到或，所以或，然后解m的方程可得到满足条件的m的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

21.【答案】解：连接AC，如图，
，
，即CD垂直平分AB，
，
，
，即AE垂直平分BC，
；
，
为等边三角形，
，
，
平分，即，
在中，，
，
即的半径为
 

【解析】连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则，同理可得AE垂直平分BC，所以；
先证明为等边三角形，则AE平分，所以，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

22.【答案】解：由题意得：，
解得，
；
由，
解得：，
；

①，
当时，W有最大值，
答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元；
②当元时，有：，
，，
，
当时，，
答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在范围内合适．
 

【解析】把代入正比例函数即可求得k的值也就求得了的关系式；把原点及，代入即可求得的关系式；
①销售利润之和甲种蔬菜的利润+乙种蔬菜的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可；
②由题意可得W关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
本题主要考查二次函数的应用，得到总利润的关系式以及用二次函数来处理一元二次不等式是解决本题的关键．
 

23.【答案】证明：连接OD，如图，
垂直平分BD，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线DE是的切线；
解：，，，
，
作于H，如图，则，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
线段DE的长为
 

【解析】连接OD，如图，根据线段垂直平分线的性质得，则，再利用等量代换计算出，则，然后根据切线的判定定理得到结论；
作于H，如图，则，利用的正弦可计算出，则，，所以，然后利用的余弦计算出EB，从而得到ED的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．
 

24.【答案】解：将，两点坐标代入抛物线得：
，
解得：
抛物线的表达式为：
设直线BC的解析式为，则：
，
解得：
直线BC的解析式为
过点P作直线轴，交BC于点Q，如下图，

点B坐标为，点C坐标为，

设点，则点，

，

，
当时，
当时，，

当的面积最大时，点P的坐标；
直线MD上存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离．
设点N的坐标为，则，
过点N作于点F，连接NO，如下图，

设直线MC的解析式为：，
，
解得：
直线MC的解析式为：
设直线MC交x轴于点E，则，
，
，

轴于点D，
，
，

点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，




解得：或
或
在直线MD上存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，N的坐标为或
 

【解析】将B，C两点坐标代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
设点，求得直线BC的解析式，过点P作直线轴，交BC于点Q，则点，可得线段PQ的长度，利用，得出关于m的关系式，利用配方法可得当的面积最大时的m的值，则点P的坐标可求；
依据题意画出图形，求出直线MC的解析式，进而得出；设点N的坐标为，则，利用点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离列出关于n的方程，解方程即可求得点N的坐标．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，利用点的坐标表示相应线段的长度，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象上嗲的坐标的特征，勾股定理，一元二次方程的解法．利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．