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2019-2020学年西安市铁一中学八年级下学期期中数学试卷（含答案与解析）
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这是一份2019-2020学年西安市铁一中学八年级下学期期中数学试卷（含答案与解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A．﹣ B．
C． D．
4．下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知a2﹣3a+1＝0，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
8．若关于x的方程﹣1＝的解为正数，则负整数m的值为（ ）
A．﹣3，﹣2，﹣1 B．﹣3，﹣2 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣3，﹣2，0
9．如图，设（a＞b＞0），则有（ ）
A． B． C．1＜k＜2 D．k＞2
10．一次数学活动，小明利用以下思路推导出“式子（x＞0）的最小值是2”：
∵x＞0，
∴，
∴当，即x＝1时，的最小值为2．
据此方法，可以推出（x＞0）的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若分式的值为0，则m的值为 ．
12．在直角坐标系中，点P（a，b）向左平移2个单位，向下平移3个单位后，得到的点的坐标为 ．
13．已知，则3A﹣B＝ ．
14．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为 ．
15．如图，已知经过点（1，0）的直线y1＝2x+b与y2＝kx+4相交于点P，点P的横坐标为2，则关于x的不等式组﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集为 ．
16．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．解不等式（组）
（1）x﹣＜3．
（2）．
18．解下列分式方程．
（1）＝1．
（2）＝2﹣．
19．先化简，再求值．
（1）1﹣+，其中a＝﹣1．
（2）（1+）÷，从1，2，3中选一个合适的数作为x的值，代入求值．
20．市政部打算翻新斑马线，相邻两条斑马线可通过平移得到．如图，AB已完工，请用尺规作图法，作出由AB平移得到的A'B'，其中点A的对应点为点A'．（不写作法，保留作图痕迹．）
21．已知关于x的方程组的解都为正数，求m的取值范围．
22．如图是一张土地规划图，管理人员把它分割成①号区（空白部分），2号区（阴影部分），③号区（下方的空白部分）三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区植树，四边形EFGH可以看作由四边形ABCD沿着AB平移得到，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，EH与CD交于点O．已知AD＝200m，BF＝10m．请回答以下问题．
（1）平移距离为 m，∠F＝ ，EO＝ m．
（2）求①号区的面积．
23．疫情期间，为满足市民的防护需求，某医药公司想要购买A、B两种口罩，在进行市场调研时发现：A型口罩比B型口罩每件进价多了10元，用68000元购买A型口罩的件数是用32000元购买B型口罩件数的2倍．
（1）A、B型口罩进价分别为每件多少元？
（2）若该公司计划购买A、B型口罩共200件，其中A型口罩的件数不大于B型口罩的件数，且用于购买A型口罩的钱数多于购买B型口罩的钱数．设购买A型口罩x件，则符合条件的进货方案共多少种？（件数均为整数，不用列出方案）
（3）在（2）的条件下，该公司决定每售出一件A型口罩，就捐献抗疫基金20元．已知A型口罩的售价为240元/件，B型口罩的售价为220元/件．假设所有口罩均能全部售出，请求出采用哪种方案时，该公司捐献后获得的收益最大？最大收益为多少？
24．[探索发现]如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝5+，BD＝2，EC＝2．
（1）如图①，在BC边上找一点P，使得EP+DP最小．请作出点P，EP+DP的最小值为 ．
（2）如图②，P、Q是BC边上两动点，且PQ＝2，求DP+PQ+EQ的最小值．
经过讨论，某小组得出一个解决方法：将点D沿着PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，连接DD'和D'Q，则DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，只需使D'Q+EQ最小即可，请你根据以上信息，作出使DP+PQ+EQ最小的P、Q（记为P1、Q1），并直接写出DP+PQ+EQ的最小值．DP+PQ+EQ的最小值为 ．
（3）[拓展应用]
如图③，供电公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．农田区两侧AB与CD平行，且AB与CD的距离为千米．M村到AB的距离为2干米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°．根据架线要求，在农田区内的线路与AB所夹锐角为30°．请计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）
2019-2020学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【解答】解：是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x共有2个．
故选：B．
2．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移与旋转的性质得出．
【解答】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意．
故选：D．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A．﹣ B．
C． D．
【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．
【解答】解：A．﹣＝﹣，此选项不符合题意；
B．＝＝，此选项不符合题意；
C．不能约分，是最简分式，此选项符合题意；
D．＝＝，此选项不符合题意；
故选：C．
4．下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案成立．
【解答】解：A．，不成立；
B．，不成立；
C．，当a＝0时不成立；
D．，成立．
故选：D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再结合各选项的解集在数轴上的表示可得答案．
【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式4﹣2x≤0，得：x≥2，
故选：A．
6．如图，A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．
【解答】解：由点A（2，0）的对应点A1（3，b）知向右平移1个单位，
由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，
∴a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
∴a﹣b＝0，
故选：A．
7．已知a2﹣3a+1＝0，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】由a2﹣3a+1＝0得到：a+＝3，将其整体代入整理后的代数式并求值即可．
【解答】解：由a2﹣3a+1＝0得到：a+﹣3＝0，
所以a+＝3，
所以＝a2+＝（a+）2﹣2＝32﹣2＝7．
故选：B．
8．若关于x的方程﹣1＝的解为正数，则负整数m的值为（ ）
A．﹣3，﹣2，﹣1 B．﹣3，﹣2 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣3，﹣2，0
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围，进而得出负整数m的值．
【解答】解：﹣1＝，
去分母得，1﹣（x﹣3）＝﹣m，
整理得，4﹣x＝﹣m，
解得，x＝4+m，
∵分式方程的解为正数，
∴4+m＞0，
∴m＞﹣4，
当分式方程无意义时，4+m≠3，
∴m≠﹣1，
∴m＞﹣4且m≠﹣1，
则负整数m的值为：﹣3，﹣2．
故选：B．
9．如图，设（a＞b＞0），则有（ ）
A． B． C．1＜k＜2 D．k＞2
【分析】先分别表示出甲乙图中阴影部分的面积，再利用因式分解进行化简即可．
【解答】解：甲图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，乙图中阴影部分的面积＝a（a﹣b），
＝，
∵a＞b＞0，
∴，
∴1＜k＜2．
故选：C．
10．一次数学活动，小明利用以下思路推导出“式子（x＞0）的最小值是2”：
∵x＞0，
∴，
∴当，即x＝1时，的最小值为2．
据此方法，可以推出（x＞0）的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2
【分析】根据（x+2）+＝（+）2﹣8进行解答．
【解答】解：∵x＞0，
∴x+2＞0．
∴＝（x+2）+＝（﹣）2+8≥8．
当﹣＝0，即x＝2时，的最小值是8．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若分式的值为0，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：若分式的值为0，则
（m﹣1）（m+3）＝0，
解得m＝1或﹣3，
又∵当m＝1时，分母m2﹣3m+2＝0，
∴m≠1，
∴m的值为﹣3，
故答案为：﹣3．
12．在直角坐标系中，点P（a，b）向左平移2个单位，向下平移3个单位后，得到的点的坐标为 （a﹣2，b﹣3） ．
【分析】让点P的横坐标减2，纵坐标减3即可得到平移后点的坐标．
【解答】解：点P（a，b）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（a﹣2，b﹣3），
故答案为：（a﹣2，b﹣3）．
13．已知，则3A﹣B＝ 3 ．
【分析】将等式右边合并后，根据分子中对应的部分的系数相等，求出A，B，即可求式子的值．
【解答】解：∵右边＝＝，
左边＝，
∴A+B＝5，2A﹣B＝1．
∴A＝2，B＝3．
∴3A﹣B＝3×2﹣3＝3．
故答案为：3．
14．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为 ≤a＜ ．
【分析】解两个不等式求出其解集，再根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：解不等式2x＜3（x﹣1）+1，得：x＞2，
解不等式≥x﹣a，得：x≤4a，
∵不等式组有3个整数解，
∴5≤4a＜6，
解得≤a＜，
故答案为：≤a＜．
15．如图，已知经过点（1，0）的直线y1＝2x+b与y2＝kx+4相交于点P，点P的横坐标为2，则关于x的不等式组﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集为 1＜x≤2 ．
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，直线y1＝2x+b在x轴的上方，x≤2时在直线y2＝kx+4的下方，所以不等式组﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集为1＜x≤2．
【解答】解：∵直线y1＝2x+b经过点（1，0），
∴关于x的不等式2x+b＞0的解集为x＞1；
∵直线y1＝2x+b与y2＝kx+4相交于点P，点P的横坐标为2，
∴由图象可知，2x+b≤kx+4的解集是x≤2，
∴关于x的不等式组﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集为1＜x≤2．
故答案为1＜x≤2．
16．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是 3＜a≤3.5 ．
【分析】求钉子的总长度，应求出每次钉入木板的长度范围，然后相加即可求出．
【解答】解：第一次为2cm，第二次为1cm，第三次不会超过0.5cm．
故钉子的总长度为3＜a≤3.5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．解不等式（组）
（1）x﹣＜3．
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2x﹣3（x+1）＜6，
去括号，得：2x﹣3x﹣3＜6，
移项、合并，得：﹣x＜3，
系数化为1，得：x＞﹣3；
（2）解不等式≤，得：x≥﹣1，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
18．解下列分式方程．
（1）＝1．
（2）＝2﹣．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x2﹣2（x﹣1）＝x（x﹣1），
整理得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x（x﹣1）＝2≠0，
则分式方程的解为x＝2；
（2）去分母得：x﹣2＝2（x﹣3）+1，
去括号得：x﹣2＝2x﹣6+1，
移项得：x﹣2x＝﹣6+1+2，
合并得：﹣x＝﹣3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，
则x＝3是增根，分式方程无解．
19．先化简，再求值．
（1）1﹣+，其中a＝﹣1．
（2）（1+）÷，从1，2，3中选一个合适的数作为x的值，代入求值．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣+
＝
＝﹣
＝﹣，
当a＝﹣1时，原式＝﹣1；
（2）原式＝•
＝x﹣2，
当x＝1，2时，原式没有意义；
当x＝3时，原式＝1．
20．市政部打算翻新斑马线，相邻两条斑马线可通过平移得到．如图，AB已完工，请用尺规作图法，作出由AB平移得到的A'B'，其中点A的对应点为点A'．（不写作法，保留作图痕迹．）
【分析】连接BA′，作∠BA′B′＝∠ABA′，且A′B′＝AB即可．
【解答】解：如图，线段A′B′即为所求作．
21．已知关于x的方程组的解都为正数，求m的取值范围．
【分析】解方程组得出，再由方程组的解都是正数知，进一步求解即可．
【解答】解：解方程组得，
∵方程组的解都是正数，
∴，
解不等式①，得：m＞2，
解不等式②，得：m＜5，
∴2＜m＜5．
22．如图是一张土地规划图，管理人员把它分割成①号区（空白部分），2号区（阴影部分），③号区（下方的空白部分）三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区植树，四边形EFGH可以看作由四边形ABCD沿着AB平移得到，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，EH与CD交于点O．已知AD＝200m，BF＝10m．请回答以下问题．
（1）平移距离为 10 m，∠F＝ 135° ，EO＝ 190 m．
（2）求①号区的面积．
【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）由题意得四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直角梯形，所以①和③号区面积相等，延长BC，HG交于点M，则③区的面积等于梯形FGMB的面积减去三角形GMC的面积，求出③的面积，就得到了①的面积．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH可以看作由四边形ABCD沿着AB平移得到，
∴平移距离为10m，∠F＝∠ABC，AE＝BF＝10（m），
∵∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，
∴∠ABC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∴∠F＝135°，
过E作EM⊥AD于M，
则△AME是等腰直角三角形，四边形EMDO是矩形，
∴AM＝EM＝AE＝×10＝10（m），EO＝DM，
∴EO＝DM＝AD﹣AM＝200﹣10＝190（m）；
故答案为：10，135°，190；
（2）根据题意，因为四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直角梯形，可得①号区的面积等于③号区的面积．
则③号区的面积＝（200+200﹣10）×10＝1950（m2），
∴①号区的面积为1950m2．
23．疫情期间，为满足市民的防护需求，某医药公司想要购买A、B两种口罩，在进行市场调研时发现：A型口罩比B型口罩每件进价多了10元，用68000元购买A型口罩的件数是用32000元购买B型口罩件数的2倍．
（1）A、B型口罩进价分别为每件多少元？
（2）若该公司计划购买A、B型口罩共200件，其中A型口罩的件数不大于B型口罩的件数，且用于购买A型口罩的钱数多于购买B型口罩的钱数．设购买A型口罩x件，则符合条件的进货方案共多少种？（件数均为整数，不用列出方案）
（3）在（2）的条件下，该公司决定每售出一件A型口罩，就捐献抗疫基金20元．已知A型口罩的售价为240元/件，B型口罩的售价为220元/件．假设所有口罩均能全部售出，请求出采用哪种方案时，该公司捐献后获得的收益最大？最大收益为多少？
【分析】（1）设B型口罩每件的进价为y元，则A型口罩每件的进价为（y+10）元，根据用68000元购买A型口罩的件数是用32000元购买B型口罩件数的2倍，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A型口罩x件，则购买B型口罩（200﹣x）件，根据“A型口罩的件数不大于B型口罩的件数，且用于购买A型口罩的钱数多于购买B型口罩的钱数”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出符合条件的进货方案的数量；
（3）设该公司捐献后获得的收益为w元，根据获得的收益＝销售每件的收益×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设B型口罩每件的进价为y元，则A型口罩每件的进价为（y+10）元，
依题意得：＝2×，
解得：y＝160，
经检验，y＝160是原方程的解，且符合题意，
∴y+10＝170．
答：A型口罩每件的进价为170元，B型口罩每件的进价为160元．
（2）设购买A型口罩x件，则购买B型口罩（200﹣x）件，
依题意得：，
解得：96＜x≤100，
又∵x为正整数，
∴x可以取97，98，99，100，
∴符合条件的进货方案共4种．
（3）设该公司捐献后获得的收益为w元，则w＝（240﹣170﹣20）x+（220﹣160）（200﹣x）＝﹣10x+12000．
∵k＝﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝97时，w取得最大值，最大值＝﹣10×97+12000＝11030．
答：当购买A型口罩97件，B型口罩103件时，该公司捐献后获得的收益最大，最大收益为11030元．
24．[探索发现]如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝5+，BD＝2，EC＝2．
（1）如图①，在BC边上找一点P，使得EP+DP最小．请作出点P，EP+DP的最小值为 3 ．
（2）如图②，P、Q是BC边上两动点，且PQ＝2，求DP+PQ+EQ的最小值．
经过讨论，某小组得出一个解决方法：将点D沿着PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，连接DD'和D'Q，则DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，只需使D'Q+EQ最小即可，请你根据以上信息，作出使DP+PQ+EQ最小的P、Q（记为P1、Q1），并直接写出DP+PQ+EQ的最小值．DP+PQ+EQ的最小值为 2+ ．
（3）[拓展应用]
如图③，供电公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．农田区两侧AB与CD平行，且AB与CD的距离为千米．M村到AB的距离为2干米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°．根据架线要求，在农田区内的线路与AB所夹锐角为30°．请计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）
【分析】（1）作点E关于BC的对称点E′，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，连接PE，EE′，EE′交BC于Q，过点D作DT⊥BC于T，过点E′作E′H⊥DT于H．想办法求出DE′即可解决问题．
（2）将点D沿着PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，连接DD'和D'Q，则DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，利用（1）中方法求出D'Q+EQ最小值即可．
（3）如图，过点M作MF⊥CD于F，交AB于E，过点N作NG⊥MF于G，作线段MR，使得MR＝+1，线段MR与AB的夹角为30°，连接MN，RN，RN交CD于W，作WH∥RM，交AB于H，过点H作HI⊥CD于I，过点R作RJ⊥ME于J．则最短线路的长＝MH+HW+WN＝MR+RW+WN＝MR+RN，
【解答】解：（1）如图①中，作点E关于BC的对称点E′，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，连接PE，EE′，EE′交BC于Q，过点D作DT⊥BC于T，过点E′作E′H⊥DT于H．
在Rt△BDT中，BD＝2，∠B＝45°，∠BTD＝90°，
∴BT＝DT＝2，
在Rt△CEQ中，EC＝2，∠EQC＝90°，∠C＝30°，
∴EQ＝EC＝1．CQ＝，
∴QT＝BC﹣BT﹣CQ＝3，
∴QE′＝QE＝1，
∵∠H＝∠HTQ＝∠TQE′＝90°，
∴四边形TQE′H是矩形，
∴E′H＝TQ＝3，TH＝E′Q＝1，
∴DT＝3，
∴DE′＝＝＝3，
∴PD+PE的最小值为3．
故答案为：3．
（2）由（1）可知，D'Q+EQ＝＝，
∴DP+PQ+EQ的最小值＝D'Q+EQ+2＝2+，
故答案为：2+．
（3）如图③中，过点M作MF⊥CD于F，交AB于E，过点N作NG⊥MF于G，作线段MR，使得MR＝+1，线段MR与AB的夹角为30°，连接MN，RN，RN交CD于W，作WH∥RM，交AB于H，过点H作HI⊥CD于I，过点R作RJ⊥ME于J．
则最短线路的长＝MH+HW+WN＝MR+RW+WN＝MR+RN，
在Rt△WHI中，∠HIW＝90°，∠HWI＝30°，HI＝，
∴HW＝2HI＝+1，WI＝HI＝，
在Rt△MNG中，∠G＝90°，∠MNG＝45°，MG＝ME+EF+FG＝2++1＝，
∴GN＝MG＝，
∵ME＝HI＝，ER＝WI＝，
∴NT＝GN﹣GT＝GN﹣ER＝﹣＝2，RT＝EG＝MG﹣ME＝3，
在Rt△RTN中，RN＝＝＝，
∴最短线路的长度＝+1+．
2019-2020学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A．﹣ B．
C． D．
4．下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知a2﹣3a+1＝0，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
8．若关于x的方程﹣1＝的解为正数，则负整数m的值为（ ）
A．﹣3，﹣2，﹣1 B．﹣3，﹣2 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣3，﹣2，0
9．如图，设（a＞b＞0），则有（ ）
A． B． C．1＜k＜2 D．k＞2
10．一次数学活动，小明利用以下思路推导出“式子（x＞0）的最小值是2”：
∵x＞0，
∴，
∴当，即x＝1时，的最小值为2．
据此方法，可以推出（x＞0）的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若分式的值为0，则m的值为 ．
12．在直角坐标系中，点P（a，b）向左平移2个单位，向下平移3个单位后，得到的点的坐标为 ．
13．已知，则3A﹣B＝ ．
14．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为 ．
15．如图，已知经过点（1，0）的直线y1＝2x+b与y2＝kx+4相交于点P，点P的横坐标为2，则关于x的不等式组﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集为 ．
16．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．解不等式（组）
（1）x﹣＜3．
（2）．
18．解下列分式方程．
（1）＝1．
（2）＝2﹣．
19．先化简，再求值．
（1）1﹣+，其中a＝﹣1．
（2）（1+）÷，从1，2，3中选一个合适的数作为x的值，代入求值．
20．市政部打算翻新斑马线，相邻两条斑马线可通过平移得到．如图，AB已完工，请用尺规作图法，作出由AB平移得到的A'B'，其中点A的对应点为点A'．（不写作法，保留作图痕迹．）
21．已知关于x的方程组的解都为正数，求m的取值范围．
22．如图是一张土地规划图，管理人员把它分割成①号区（空白部分），2号区（阴影部分），③号区（下方的空白部分）三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区植树，四边形EFGH可以看作由四边形ABCD沿着AB平移得到，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，EH与CD交于点O．已知AD＝200m，BF＝10m．请回答以下问题．
（1）平移距离为 m，∠F＝ ，EO＝ m．
（2）求①号区的面积．
23．疫情期间，为满足市民的防护需求，某医药公司想要购买A、B两种口罩，在进行市场调研时发现：A型口罩比B型口罩每件进价多了10元，用68000元购买A型口罩的件数是用32000元购买B型口罩件数的2倍．
（1）A、B型口罩进价分别为每件多少元？
（2）若该公司计划购买A、B型口罩共200件，其中A型口罩的件数不大于B型口罩的件数，且用于购买A型口罩的钱数多于购买B型口罩的钱数．设购买A型口罩x件，则符合条件的进货方案共多少种？（件数均为整数，不用列出方案）
（3）在（2）的条件下，该公司决定每售出一件A型口罩，就捐献抗疫基金20元．已知A型口罩的售价为240元/件，B型口罩的售价为220元/件．假设所有口罩均能全部售出，请求出采用哪种方案时，该公司捐献后获得的收益最大？最大收益为多少？
24．[探索发现]如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝5+，BD＝2，EC＝2．
（1）如图①，在BC边上找一点P，使得EP+DP最小．请作出点P，EP+DP的最小值为 ．
（2）如图②，P、Q是BC边上两动点，且PQ＝2，求DP+PQ+EQ的最小值．
经过讨论，某小组得出一个解决方法：将点D沿着PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，连接DD'和D'Q，则DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，只需使D'Q+EQ最小即可，请你根据以上信息，作出使DP+PQ+EQ最小的P、Q（记为P1、Q1），并直接写出DP+PQ+EQ的最小值．DP+PQ+EQ的最小值为 ．
（3）[拓展应用]
如图③，供电公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．农田区两侧AB与CD平行，且AB与CD的距离为千米．M村到AB的距离为2干米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°．根据架线要求，在农田区内的线路与AB所夹锐角为30°．请计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）
2019-2020学年陕西省西安市碑林区铁一中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在x＞0，＜﹣1，2x＜﹣2+x，x+y≥﹣3，x+1＝0，x2＞3中，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【解答】解：是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x共有2个．
故选：B．
2．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移与旋转的性质得出．
【解答】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意．
故选：D．
3．下列分式是最简分式的是（ ）
A．﹣ B．
C． D．
【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．
【解答】解：A．﹣＝﹣，此选项不符合题意；
B．＝＝，此选项不符合题意；
C．不能约分，是最简分式，此选项符合题意；
D．＝＝，此选项不符合题意；
故选：C．
4．下列各式中，一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案成立．
【解答】解：A．，不成立；
B．，不成立；
C．，当a＝0时不成立；
D．，成立．
故选：D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再结合各选项的解集在数轴上的表示可得答案．
【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式4﹣2x≤0，得：x≥2，
故选：A．
6．如图，A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．
【解答】解：由点A（2，0）的对应点A1（3，b）知向右平移1个单位，
由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，
∴a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
∴a﹣b＝0，
故选：A．
7．已知a2﹣3a+1＝0，则的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】由a2﹣3a+1＝0得到：a+＝3，将其整体代入整理后的代数式并求值即可．
【解答】解：由a2﹣3a+1＝0得到：a+﹣3＝0，
所以a+＝3，
所以＝a2+＝（a+）2﹣2＝32﹣2＝7．
故选：B．
8．若关于x的方程﹣1＝的解为正数，则负整数m的值为（ ）
A．﹣3，﹣2，﹣1 B．﹣3，﹣2 C．﹣3，﹣2，﹣1，0 D．﹣3，﹣2，0
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出m的取值范围，进而得出负整数m的值．
【解答】解：﹣1＝，
去分母得，1﹣（x﹣3）＝﹣m，
整理得，4﹣x＝﹣m，
解得，x＝4+m，
∵分式方程的解为正数，
∴4+m＞0，
∴m＞﹣4，
当分式方程无意义时，4+m≠3，
∴m≠﹣1，
∴m＞﹣4且m≠﹣1，
则负整数m的值为：﹣3，﹣2．
故选：B．
9．如图，设（a＞b＞0），则有（ ）
A． B． C．1＜k＜2 D．k＞2
【分析】先分别表示出甲乙图中阴影部分的面积，再利用因式分解进行化简即可．
【解答】解：甲图中阴影部分的面积＝a2﹣b2，乙图中阴影部分的面积＝a（a﹣b），
＝，
∵a＞b＞0，
∴，
∴1＜k＜2．
故选：C．
10．一次数学活动，小明利用以下思路推导出“式子（x＞0）的最小值是2”：
∵x＞0，
∴，
∴当，即x＝1时，的最小值为2．
据此方法，可以推出（x＞0）的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．4 D．2
【分析】根据（x+2）+＝（+）2﹣8进行解答．
【解答】解：∵x＞0，
∴x+2＞0．
∴＝（x+2）+＝（﹣）2+8≥8．
当﹣＝0，即x＝2时，的最小值是8．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若分式的值为0，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：若分式的值为0，则
（m﹣1）（m+3）＝0，
解得m＝1或﹣3，
又∵当m＝1时，分母m2﹣3m+2＝0，
∴m≠1，
∴m的值为﹣3，
故答案为：﹣3．
12．在直角坐标系中，点P（a，b）向左平移2个单位，向下平移3个单位后，得到的点的坐标为 （a﹣2，b﹣3） ．
【分析】让点P的横坐标减2，纵坐标减3即可得到平移后点的坐标．
【解答】解：点P（a，b）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（a﹣2，b﹣3），
故答案为：（a﹣2，b﹣3）．
13．已知，则3A﹣B＝ 3 ．
【分析】将等式右边合并后，根据分子中对应的部分的系数相等，求出A，B，即可求式子的值．
【解答】解：∵右边＝＝，
左边＝，
∴A+B＝5，2A﹣B＝1．
∴A＝2，B＝3．
∴3A﹣B＝3×2﹣3＝3．
故答案为：3．
14．若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围为 ≤a＜ ．
【分析】解两个不等式求出其解集，再根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：解不等式2x＜3（x﹣1）+1，得：x＞2，
解不等式≥x﹣a，得：x≤4a，
∵不等式组有3个整数解，
∴5≤4a＜6，
解得≤a＜，
故答案为：≤a＜．
15．如图，已知经过点（1，0）的直线y1＝2x+b与y2＝kx+4相交于点P，点P的横坐标为2，则关于x的不等式组﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集为 1＜x≤2 ．
【分析】观察函数图象得到当x＞1时，直线y1＝2x+b在x轴的上方，x≤2时在直线y2＝kx+4的下方，所以不等式组﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集为1＜x≤2．
【解答】解：∵直线y1＝2x+b经过点（1，0），
∴关于x的不等式2x+b＞0的解集为x＞1；
∵直线y1＝2x+b与y2＝kx+4相交于点P，点P的横坐标为2，
∴由图象可知，2x+b≤kx+4的解集是x≤2，
∴关于x的不等式组﹣4＜2x+b﹣4≤kx的解集为1＜x≤2．
故答案为1＜x≤2．
16．用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是 3＜a≤3.5 ．
【分析】求钉子的总长度，应求出每次钉入木板的长度范围，然后相加即可求出．
【解答】解：第一次为2cm，第二次为1cm，第三次不会超过0.5cm．
故钉子的总长度为3＜a≤3.5．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．解不等式（组）
（1）x﹣＜3．
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2x﹣3（x+1）＜6，
去括号，得：2x﹣3x﹣3＜6，
移项、合并，得：﹣x＜3，
系数化为1，得：x＞﹣3；
（2）解不等式≤，得：x≥﹣1，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
18．解下列分式方程．
（1）＝1．
（2）＝2﹣．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x2﹣2（x﹣1）＝x（x﹣1），
整理得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x（x﹣1）＝2≠0，
则分式方程的解为x＝2；
（2）去分母得：x﹣2＝2（x﹣3）+1，
去括号得：x﹣2＝2x﹣6+1，
移项得：x﹣2x＝﹣6+1+2，
合并得：﹣x＝﹣3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，
则x＝3是增根，分式方程无解．
19．先化简，再求值．
（1）1﹣+，其中a＝﹣1．
（2）（1+）÷，从1，2，3中选一个合适的数作为x的值，代入求值．
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝﹣+
＝
＝﹣
＝﹣，
当a＝﹣1时，原式＝﹣1；
（2）原式＝•
＝x﹣2，
当x＝1，2时，原式没有意义；
当x＝3时，原式＝1．
20．市政部打算翻新斑马线，相邻两条斑马线可通过平移得到．如图，AB已完工，请用尺规作图法，作出由AB平移得到的A'B'，其中点A的对应点为点A'．（不写作法，保留作图痕迹．）
【分析】连接BA′，作∠BA′B′＝∠ABA′，且A′B′＝AB即可．
【解答】解：如图，线段A′B′即为所求作．
21．已知关于x的方程组的解都为正数，求m的取值范围．
【分析】解方程组得出，再由方程组的解都是正数知，进一步求解即可．
【解答】解：解方程组得，
∵方程组的解都是正数，
∴，
解不等式①，得：m＞2，
解不等式②，得：m＜5，
∴2＜m＜5．
22．如图是一张土地规划图，管理人员把它分割成①号区（空白部分），2号区（阴影部分），③号区（下方的空白部分）三块，拟在①号区种花，②号区建房，③号区植树，四边形EFGH可以看作由四边形ABCD沿着AB平移得到，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，EH与CD交于点O．已知AD＝200m，BF＝10m．请回答以下问题．
（1）平移距离为 10 m，∠F＝ 135° ，EO＝ 190 m．
（2）求①号区的面积．
【分析】（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）由题意得四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直角梯形，所以①和③号区面积相等，延长BC，HG交于点M，则③区的面积等于梯形FGMB的面积减去三角形GMC的面积，求出③的面积，就得到了①的面积．
【解答】解：（1）∵四边形EFGH可以看作由四边形ABCD沿着AB平移得到，
∴平移距离为10m，∠F＝∠ABC，AE＝BF＝10（m），
∵∠A＝45°，∠C＝∠D＝90°，
∴∠ABC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∴∠F＝135°，
过E作EM⊥AD于M，
则△AME是等腰直角三角形，四边形EMDO是矩形，
∴AM＝EM＝AE＝×10＝10（m），EO＝DM，
∴EO＝DM＝AD﹣AM＝200﹣10＝190（m）；
故答案为：10，135°，190；
（2）根据题意，因为四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直角梯形，可得①号区的面积等于③号区的面积．
则③号区的面积＝（200+200﹣10）×10＝1950（m2），
∴①号区的面积为1950m2．
23．疫情期间，为满足市民的防护需求，某医药公司想要购买A、B两种口罩，在进行市场调研时发现：A型口罩比B型口罩每件进价多了10元，用68000元购买A型口罩的件数是用32000元购买B型口罩件数的2倍．
（1）A、B型口罩进价分别为每件多少元？
（2）若该公司计划购买A、B型口罩共200件，其中A型口罩的件数不大于B型口罩的件数，且用于购买A型口罩的钱数多于购买B型口罩的钱数．设购买A型口罩x件，则符合条件的进货方案共多少种？（件数均为整数，不用列出方案）
（3）在（2）的条件下，该公司决定每售出一件A型口罩，就捐献抗疫基金20元．已知A型口罩的售价为240元/件，B型口罩的售价为220元/件．假设所有口罩均能全部售出，请求出采用哪种方案时，该公司捐献后获得的收益最大？最大收益为多少？
【分析】（1）设B型口罩每件的进价为y元，则A型口罩每件的进价为（y+10）元，根据用68000元购买A型口罩的件数是用32000元购买B型口罩件数的2倍，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买A型口罩x件，则购买B型口罩（200﹣x）件，根据“A型口罩的件数不大于B型口罩的件数，且用于购买A型口罩的钱数多于购买B型口罩的钱数”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出符合条件的进货方案的数量；
（3）设该公司捐献后获得的收益为w元，根据获得的收益＝销售每件的收益×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设B型口罩每件的进价为y元，则A型口罩每件的进价为（y+10）元，
依题意得：＝2×，
解得：y＝160，
经检验，y＝160是原方程的解，且符合题意，
∴y+10＝170．
答：A型口罩每件的进价为170元，B型口罩每件的进价为160元．
（2）设购买A型口罩x件，则购买B型口罩（200﹣x）件，
依题意得：，
解得：96＜x≤100，
又∵x为正整数，
∴x可以取97，98，99，100，
∴符合条件的进货方案共4种．
（3）设该公司捐献后获得的收益为w元，则w＝（240﹣170﹣20）x+（220﹣160）（200﹣x）＝﹣10x+12000．
∵k＝﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝97时，w取得最大值，最大值＝﹣10×97+12000＝11030．
答：当购买A型口罩97件，B型口罩103件时，该公司捐献后获得的收益最大，最大收益为11030元．
24．[探索发现]如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝5+，BD＝2，EC＝2．
（1）如图①，在BC边上找一点P，使得EP+DP最小．请作出点P，EP+DP的最小值为 3 ．
（2）如图②，P、Q是BC边上两动点，且PQ＝2，求DP+PQ+EQ的最小值．
经过讨论，某小组得出一个解决方法：将点D沿着PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，连接DD'和D'Q，则DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，只需使D'Q+EQ最小即可，请你根据以上信息，作出使DP+PQ+EQ最小的P、Q（记为P1、Q1），并直接写出DP+PQ+EQ的最小值．DP+PQ+EQ的最小值为 2+ ．
（3）[拓展应用]
如图③，供电公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．农田区两侧AB与CD平行，且AB与CD的距离为千米．M村到AB的距离为2干米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°．根据架线要求，在农田区内的线路与AB所夹锐角为30°．请计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）
【分析】（1）作点E关于BC的对称点E′，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，连接PE，EE′，EE′交BC于Q，过点D作DT⊥BC于T，过点E′作E′H⊥DT于H．想办法求出DE′即可解决问题．
（2）将点D沿着PQ方向平移到D'，使DD′＝PQ＝2，连接DD'和D'Q，则DP＝D'Q．所以DP+PQ+EQ＝D'Q+EQ+2，利用（1）中方法求出D'Q+EQ最小值即可．
（3）如图，过点M作MF⊥CD于F，交AB于E，过点N作NG⊥MF于G，作线段MR，使得MR＝+1，线段MR与AB的夹角为30°，连接MN，RN，RN交CD于W，作WH∥RM，交AB于H，过点H作HI⊥CD于I，过点R作RJ⊥ME于J．则最短线路的长＝MH+HW+WN＝MR+RW+WN＝MR+RN，
【解答】解：（1）如图①中，作点E关于BC的对称点E′，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，连接PE，EE′，EE′交BC于Q，过点D作DT⊥BC于T，过点E′作E′H⊥DT于H．
在Rt△BDT中，BD＝2，∠B＝45°，∠BTD＝90°，
∴BT＝DT＝2，
在Rt△CEQ中，EC＝2，∠EQC＝90°，∠C＝30°，
∴EQ＝EC＝1．CQ＝，
∴QT＝BC﹣BT﹣CQ＝3，
∴QE′＝QE＝1，
∵∠H＝∠HTQ＝∠TQE′＝90°，
∴四边形TQE′H是矩形，
∴E′H＝TQ＝3，TH＝E′Q＝1，
∴DT＝3，
∴DE′＝＝＝3，
∴PD+PE的最小值为3．
故答案为：3．
（2）由（1）可知，D'Q+EQ＝＝，
∴DP+PQ+EQ的最小值＝D'Q+EQ+2＝2+，
故答案为：2+．
（3）如图③中，过点M作MF⊥CD于F，交AB于E，过点N作NG⊥MF于G，作线段MR，使得MR＝+1，线段MR与AB的夹角为30°，连接MN，RN，RN交CD于W，作WH∥RM，交AB于H，过点H作HI⊥CD于I，过点R作RJ⊥ME于J．
则最短线路的长＝MH+HW+WN＝MR+RW+WN＝MR+RN，
在Rt△WHI中，∠HIW＝90°，∠HWI＝30°，HI＝，
∴HW＝2HI＝+1，WI＝HI＝，
在Rt△MNG中，∠G＝90°，∠MNG＝45°，MG＝ME+EF+FG＝2++1＝，
∴GN＝MG＝，
∵ME＝HI＝，ER＝WI＝，
∴NT＝GN﹣GT＝GN﹣ER＝﹣＝2，RT＝EG＝MG﹣ME＝3，
在Rt△RTN中，RN＝＝＝，
∴最短线路的长度＝+1+．
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