2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷3

这是一份2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷3，共32页。

2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷3
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•鼓楼区期末）下列四个算式中，有一个算式与其他三个算式的计算结果不同，该算式是（　　）
A．（﹣1）2 B．﹣（﹣1） C．﹣12 D．|﹣1|
2．（2020秋•鼓楼区期末）与a2b是同类项的是（　　）
A．22b B．﹣3ab2 C．-13a2b D．a2c
3．（2019秋•溧水区期末）若要使得算式﹣3□0.5的值最大，则“□”中填入的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
4．（2019秋•溧水区期末）下列运算正确的是（　　）
A．5a2﹣3a2＝2 B．2x2+3x2＝5x4
C．3a+2b＝5ab D．7ab﹣6ba＝ab
5．（2019秋•高淳区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|a﹣b|的结果为（　　）

A．2a B．﹣2a C．﹣2b D．2b
6．（2020秋•南京期末）如图正方体纸盒，展开后可以得到（　　）

A． B．
C． D．
7．（2021•济南模拟）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2020秋•南京期末）若M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M≤N D．不能确定
二．填空题（共10小题）
9．（2020秋•建邺区期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为6.25×108，则原数中“0”的个数为　 　．
10．（2020秋•建邺区期末）一个角的度数是42°36′，则它的余角的度数为　 　°．（结果用度表示）
11．（2020秋•鼓楼区期末）如图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是：　 　．

12．（2020秋•鼓楼区期末）传统文化与创意营销的结合使已有近600年历史的故宫博物院重新焕发出生机，一些文创产品让顾客爱不释手．某购物网站上销售故宫文创笔记本和珐琅书签，若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700件，二者销量之和为5900件，用x表示珐琅书签的销量，则可列出一元一次方程　 　．
13．（2019秋•溧水区期末）当温度每下降100℃时，某种金属丝缩短0.2mm．把这种15℃时15mm长的金属丝冷却到零下5℃，那么这种金属丝在零下5℃时的长度是　 　mm．
14．（2019秋•溧水区期末）已知∠α＝25°15′，∠β＝25.15°，则∠α　 　∠β．（填“＞”“＜”或“＝”号）
15．（2019秋•高淳区期末）已知x＝1是方程ax﹣5＝3a+3的解，则a＝　 　．
16．（2019秋•高淳区期末）若x2﹣2x+1的值是4，则2x2﹣4x﹣5的值是　 　．
17．（2020秋•南京期末）如图，若数轴上的有理数a，b满足|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，则ab=　 　．

18．（2020秋•南京期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是　 　．

三．解答题（共8小题）
19．（2020秋•建邺区期末）解方程：
（1）5x﹣（2﹣x）＝1；
（2）2x+14-5x-16=-1．
20．（2020秋•建邺区期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形ABCD的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图：
（1）过点C画AD的平行线CE；
（2）过点B画CD的垂线，垂足为F．

21．（2020秋•鼓楼区期末）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
（1）经过点P画CB的平行线PQ．
（2）过点A，画CB的垂线AM．
（3）过点C，画CB的垂线CN．
（4）请直接写出AM、CN的位置关系．

22．（2020秋•鼓楼区期末）如图①是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在图②的方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图．

（2）保持小正方体的个数不变，只改变小正方体的位置，搭一个不同于上图的几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格纸中所画的一致，还有　 　种不同的搭法．
23．（2019秋•溧水区期末）工厂生产某种零件，其示意图如下（单位：mm）．
（1）该零件的主视图如图所示，请分别画出它的左视图和俯视图；
（2）如果要给该零件的表面涂上防锈漆，请你计算需要涂漆的面积．

24．（2019秋•溧水区期末）如图，点O是直线AB上一点，OC⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF＝25°，求∠BOE的度数．

25．（2019秋•高淳区期末）如图，∠AOB是平角，OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE．
（1）若∠AOC＝50°，则∠DOE＝　 　°；
（2）若∠AOC＝50°，则图中与∠COD互补的角为　 　；
（3）当∠AOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否发生改变？为什么？

26．（2019秋•高淳区期末）如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA运动速度为每秒30°，OB运动速度为每秒10°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，试解决下列问题：

（1）如图1，若OA顺时针转动，OB逆时针转动，t＝　 　秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图2，若OA、OB同时顺时针转动，
①当t＝3秒时，∠AOB＝　 　°；
②当t为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？

2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2020秋•鼓楼区期末）下列四个算式中，有一个算式与其他三个算式的计算结果不同，该算式是（　　）
A．（﹣1）2 B．﹣（﹣1） C．﹣12 D．|﹣1|
【考点】相反数；有理数的乘方．
【专题】计算题；实数．
【分析】各项计算得到结果，比较即可．
【解答】解：A、原式＝1；
B、原式＝1；
C、原式＝﹣1；
D、原式＝1，
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘方，以及相反数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
2．（2020秋•鼓楼区期末）与a2b是同类项的是（　　）
A．22b B．﹣3ab2 C．-13a2b D．a2c
【考点】同类项．
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解答】解：A、所含字母不相同，不是同类项；
B、相同字母的指数不相同，不是同类项；
C、符合同类项的定义，是同类项；
D、所含字母不相同，不是同类项．
故选：C．
【点评】同类项定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
3．（2019秋•溧水区期末）若要使得算式﹣3□0.5的值最大，则“□”中填入的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】把各项中的运算符合放入题中计算，判断即可．
【解答】解：﹣3+0.5＝﹣2.5，﹣3﹣0.5＝﹣3.5，﹣3×0.5＝﹣1.5，﹣3÷0.5＝﹣6，
∴﹣6＜﹣3.5＜﹣2.5＜﹣1.5，
则“□”中填入的运算符号是×，
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2019秋•溧水区期末）下列运算正确的是（　　）
A．5a2﹣3a2＝2 B．2x2+3x2＝5x4
C．3a+2b＝5ab D．7ab﹣6ba＝ab
【考点】合并同类项．
【专题】运算能力．
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：A、5a2﹣3a2＝2a的平方，故A错误；
B、2x2+3x2＝5x2，故B错误；
C、不是同类项不能合并，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变是解题关键，注意不是同类项不能合并．
5．（2019秋•高淳区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|a﹣b|的结果为（　　）

A．2a B．﹣2a C．﹣2b D．2b
【考点】绝对值；实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据图示，可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，据此化简|a+b|﹣|a﹣b|即可．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0＜1＜b，
∴a+b＞0，a﹣b＜0，
∴|a+b|﹣|a﹣b|
＝（a+b）+（a﹣b）
＝2a
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
6．（2020秋•南京期末）如图正方体纸盒，展开后可以得到（　　）

A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
【专题】探究型；几何直观．
【分析】根据折叠后白色圆与蓝色圆所在的面的位置进行判断即可．
【解答】解：根据题意可知，有两个圆的面与有蓝色圆的面相邻且有公共顶点．
故选：A．
【点评】本题主要考查了几何体的展开图，实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
7．（2021•济南模拟）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】余角和补角．
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
【解答】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
8．（2020秋•南京期末）若M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M≤N D．不能确定
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案．
【解答】解：∵M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，
∴N﹣M＝（4x2+5x+3）﹣（3x2+5x+2）
＝4x2+5x+3﹣3x2﹣5x﹣2
＝x2+1，
∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴N＞M．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
二．填空题（共10小题）
9．（2020秋•建邺区期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为6.25×108，则原数中“0”的个数为　6　．
【考点】科学记数法—表示较大的数；科学记数法—原数．
【专题】实数；数感．
【分析】先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．
【解答】解：用科学记数法表示为6.25×108的原数为625000000，
所以原数中“0”的个数为6，
故答案是：6．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示形式a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
10．（2020秋•建邺区期末）一个角的度数是42°36′，则它的余角的度数为　47.4　°．（结果用度表示）
【考点】度分秒的换算；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据余角的定义即可得到结论．
【解答】解：这个角的余角＝90°﹣42°36′＝47°24′＝47.4°，
故答案为：47.4．
【点评】本题考查了余角和补角，熟记余角的定义及度分秒的换算是解题的关键．
11．（2020秋•鼓楼区期末）如图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是：　答案不唯一，如：2x3　．

【考点】多项式．
【专题】整式．
【分析】根据多项式的次数定义进行填写，答案不唯一，可以是2x3，3x3等．
【解答】解：可以写成：2x3+xy﹣5，
故答案为：2x3．
【点评】本题考查了多项式的定义和次数，明确如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
12．（2020秋•鼓楼区期末）传统文化与创意营销的结合使已有近600年历史的故宫博物院重新焕发出生机，一些文创产品让顾客爱不释手．某购物网站上销售故宫文创笔记本和珐琅书签，若文创笔记本的销量比珐琅书签销量的2倍少700件，二者销量之和为5900件，用x表示珐琅书签的销量，则可列出一元一次方程　（2x﹣700）+x＝5900　．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【分析】设珐琅书签的销售了x件，则文创笔记本销售了（2x﹣700）件，根据文创笔记本和珐琅书签共销售5900件，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设珐琅书签的销售了x件，则文创笔记本销售了（2x﹣700）件，
根据题意得：（2x﹣700）+x＝5900．
故答案为：（2x﹣700）+x＝5900．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．（2019秋•溧水区期末）当温度每下降100℃时，某种金属丝缩短0.2mm．把这种15℃时15mm长的金属丝冷却到零下5℃，那么这种金属丝在零下5℃时的长度是　14.96　mm．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】根据温度每下降100℃时，某种金属丝缩短0.2mm，可以计算出这种金属丝在零下5℃时的长度，本题得以解决．
【解答】解：15﹣（0.2÷100）×[15﹣（﹣5）]
＝15﹣0.002×（15+5）
＝15﹣0.002×20
＝15﹣0.04
＝14.96（mm）
故答案为：14.96．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
14．（2019秋•溧水区期末）已知∠α＝25°15′，∠β＝25.15°，则∠α　＞　∠β．（填“＞”“＜”或“＝”号）
【考点】度分秒的换算．
【分析】首先把：∠β＝25.15°化为25°9′，然后再比较即可．
【解答】解：∠β＝25.15°＝25°9′，
∵25°15′＞25°9′，
∴∠α＞∠β，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
15．（2019秋•高淳区期末）已知x＝1是方程ax﹣5＝3a+3的解，则a＝　﹣4　．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据x＝1是方程ax﹣5＝3a+3的解，可得：a﹣5＝3a+3，据此求出a的值是多少即可．
【解答】解：∵x＝1是方程ax﹣5＝3a+3的解，
∴a﹣5＝3a+3，
解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
16．（2019秋•高淳区期末）若x2﹣2x+1的值是4，则2x2﹣4x﹣5的值是　1　．
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据已知条件求出x2﹣2x＝3，从而得出2x2﹣4x＝6，然后整体代入即可求出所求的结果．
【解答】解：∵x2﹣2x+1的值是4，
∴x2﹣2x＝3，
∴2x2﹣4x＝6，
∴2x2﹣4x﹣5＝6﹣5＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查了代数值求值，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2﹣2x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
17．（2020秋•南京期末）如图，若数轴上的有理数a，b满足|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，则ab=　-13　．

【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；数感．
【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a+2b＞0，a﹣b＜0，a＜0，然后化简绝对值，从而可求得答案．
【解答】解：由题意可知：a+2b＞0，a﹣b＜0，a＜0，
∵|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，
∴a+2b+a﹣b＝﹣a．
整理得：3a+b＝0，
∴ab=-13．
故答案为：-13．
【点评】本题主要考查的是绝对值的化简、数轴的认识，根据a、b在数轴上的位置，判断出a+2b＞0，a﹣b＜0，a＜0是解题的关键．
18．（2020秋•南京期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是　①②④　．

【考点】角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；
由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断，②确；
由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；
由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了角度的计算：1周角＝60°，1平角＝180°，等角的余角相等．关键是根据角平分线的定义解答．
三．解答题（共8小题）
19．（2020秋•建邺区期末）解方程：
（1）5x﹣（2﹣x）＝1；
（2）2x+14-5x-16=-1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：5x﹣2+x＝1，
移项，可得：5x+x＝1+2，
合并同类项，可得：6x＝3，
系数化为1，可得：x＝0.5．

（2）去分母，可得：3（2x+1）﹣2（5x﹣1）＝﹣12，
去括号，可得：6x+3﹣10x+2＝﹣12，
移项，可得：6x﹣10x＝﹣12﹣3﹣2，
合并同类项，可得：﹣4x＝﹣17，
系数化为1，可得：x=174．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．（2020秋•建邺区期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形ABCD的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图：
（1）过点C画AD的平行线CE；
（2）过点B画CD的垂线，垂足为F．

【考点】平行线的判定与性质；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
【解答】解：（1）如图，直线CE即为所求作．
（2）如图，直线BF即为所求作．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，垂线等知识解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（2020秋•鼓楼区期末）在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
（1）经过点P画CB的平行线PQ．
（2）过点A，画CB的垂线AM．
（3）过点C，画CB的垂线CN．
（4）请直接写出AM、CN的位置关系．

【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）把B点向上平移1个单位，向右平移3个单位，则把C点向上平移1个单位，向右平移3个单位得到Q点，连接PQ即可；
（2）（3）把CK绕C点顺时针旋转90°得到CN，则CN⊥BC，然后把NC平移到AM，使N点与A点重合，AM⊥CN；
（4）根据平行线的判定方法进行判断．
【解答】解：（1）如图，PQ为所作；
（2）如图，AM为所作；
（3）如图，CN为所作；
（4）AM∥CN．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
22．（2020秋•鼓楼区期末）如图①是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在图②的方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图．

（2）保持小正方体的个数不变，只改变小正方体的位置，搭一个不同于上图的几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格纸中所画的一致，还有　2　种不同的搭法．
【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体；作图﹣三视图．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．
（2）将最上面的小正方体左右平移，得到的几何体的俯视图和左视图不变，有2种情形．
【解答】解：（1）三视图如图所示：

（2）将最上面的小正方体左右平移，得到的几何体的俯视图和左视图不变，有2种情形．
故答案为：2．
【点评】本题考查三视图，解题的关键是理解题意，学会正确画出三视图，属于中考常考题型．
23．（2019秋•溧水区期末）工厂生产某种零件，其示意图如下（单位：mm）．
（1）该零件的主视图如图所示，请分别画出它的左视图和俯视图；
（2）如果要给该零件的表面涂上防锈漆，请你计算需要涂漆的面积．

【考点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图．
【专题】作图题；空间观念．
【分析】（1）利用从不同角度进而得出观察物体进而得出左视图和俯视图；
（2）直接利用几何体的表面积求法，分别求出各侧面即可．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）[5×2+2×（3﹣2）+5×3+3×3]×2
＝（10+2+15+9）×2
＝36×2
＝72（mm2）．
故需要涂漆的面积是72mm2．
【点评】此题主要考查了几何体的表面积求法以及三视图画法，注意观察角度是解题关键．
24．（2019秋•溧水区期末）如图，点O是直线AB上一点，OC⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF＝25°，求∠BOE的度数．

【考点】角平分线的定义；余角和补角；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据垂直的定义和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：∵OC⊥OE，
∴∠COE＝90°，
∵∠COF＝25°，
∴∠EOF＝90°﹣25°＝65°，
∴OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝130°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝50°．
【点评】本题考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握余角的性质是解题的关键．
25．（2019秋•高淳区期末）如图，∠AOB是平角，OD是∠AOC的角平分线，∠COE＝∠BOE．
（1）若∠AOC＝50°，则∠DOE＝　90　°；
（2）若∠AOC＝50°，则图中与∠COD互补的角为　∠BOD　；
（3）当∠AOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否发生改变？为什么？

【考点】角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】（1）根据补角和角平分线的定义解答即可；
（2）根据补角和角平分线的定义解答即可；
（3）不发生改变，设∠AOC＝2x，根据补角和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC＝130°，
又∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE=12(360°-∠BOC)=115°，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠COD=12∠AOC=25°，
∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝115°﹣25°＝90°．
故答案为：90；

（2）∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠AOD＝∠COD，
∴∠AOC＝50°，则图中与∠COD互补的角为∠BOD．
故答案为：∠BOD；

（3）不发生改变，设∠AOC＝2x，
∵OD是∠AOC的角平分线，
∴∠AOD＝∠COD＝x，
∠BOC＝180°﹣2x，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE=360°-(180°-2x)2=90°+x，
∴∠DOE＝90°+x﹣x＝90°．
【点评】本题主要考查了平角，角平分线的定义，余角的定义，是一个基本的类型．
26．（2019秋•高淳区期末）如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA运动速度为每秒30°，OB运动速度为每秒10°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒，试解决下列问题：

（1）如图1，若OA顺时针转动，OB逆时针转动，t＝　4.5　秒时，OA与OB第一次重合；
（2）如图2，若OA、OB同时顺时针转动，
①当t＝3秒时，∠AOB＝　120　°；
②当t为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？
【考点】一元一次方程的应用；角平分线的定义；角的计算．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【分析】（1）设t秒后第一次重合．根据题意，列出方程，解方程即可；
（2）①利用180°减去OA转动的角度，加上OB转动的角度，即可得到答案；
②先用t的代数式表示∠BON和∠AON，然后分为三种情况进行讨论：当ON、OA、OB为角平分线时，分别求出t的值，即可得到答案．
【解答】解：（1）若OA顺时针转动，OB逆时针转动，
∴∠AOM+∠BON＝180°，
∴30t+10t＝180，
解得：t＝4.5；
∴t＝4.5秒，OA与OB第一次重合；
故答案为：4.5；
（2）①若OA、OB同时顺时针转动，
∴∠AOM＝30°×3＝90°，∠BON＝10°×3＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣90°+30°＝120°；
故答案为：120；
②由题意知 0≤t≤12，
∴∠BON＝10t，∠AON＝180﹣30t （0≤t≤6），∠AON＝30t﹣180（6＜t≤12）．
当ON为∠AOB的角平分线时，有
180﹣30t＝10t，
解得：t＝4.5；
当OA为∠BON的角平分线时，
10t＝2（30t﹣180），
解得：t＝7.2；
当OB为∠AON的角平分线时，
30t﹣180＝2×10t，
解得：t＝18（舍去）；
∴经过4.5秒或7.2秒时，射线OA、OB、ON其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会设未知数列方程解决问题，注意利用分类讨论的思想进行解题，属于中考常考题型．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

5．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
6．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
7．科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
8．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
9．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
10．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
11．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
12．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
13．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
14．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
15．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
16．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
17．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
18．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
19．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
20．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
21．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
22．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
23．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
24．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
25．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
26．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
27．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
28．由三视图判断几何体
（1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
（2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：
①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；
②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；
③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；
④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．
29．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．