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2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷1
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这是一份2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷1，共34页。试卷主要包含了|﹣2|的结果是 等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷1
一．选择题（共8小题）
1．（2021•港南区一模）﹣2021的倒数为（ ）
A．-12021 B．12021 C．﹣2021 D．2021
2．（2020秋•南京期末）下列合并同类项结果正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2 B．2a2+a＝2a3
C．2xy﹣xy＝xy D．2x3+3x3＝5x6
3．（2020秋•丹阳市期末）画如图所示物体的俯视图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020秋•建邺区期末）如图射线OA的方向是北偏东28°，在同一平面内∠AOB＝72°，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏东44° B．北偏西44°
C．南偏东80° D．B、C都有可能
5．（2021春•饶平县校级期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020秋•鼓楼区期末）如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2021次跳跃后它所停在的点对应的数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2019秋•溧水区期末）小明在某月的日历中圈出了三个数，算出它们的和是14，那么这三个数的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019秋•溧水区期末）下列说法：①两点之间，直线最短；②若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；③同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④过一点有且只有一条直线平行于已知直线．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题）
9．（2019秋•高淳区期末）|﹣2|的结果是 ．
10．（2019秋•高淳区期末）多项式ab+2b3的次数是 ．
11．（2020秋•南京期末）-2ab23的系数是 ，2x+3xy2﹣1的次数是 ．
12．（2020秋•南京期末）已知∠α＝32°，则∠α的补角为 度．
13．（2020秋•建邺区期末）如图，是小明同学在数学实践课上，所设计的正方体盒子的平面展开图．每个面上都有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“善”字相对的面上的字是 ．
14．（2020秋•建邺区期末）若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画 条直线．
15．（2020秋•鼓楼区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，∠1＝28°，∠2＝ °．
16．（2020秋•鼓楼区期末）线段AB＝6，在直线AB上截取线段BC＝3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为 ．
17．（2019秋•溧水区期末）数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC＝3，则AC的中点所表示的数是 ．
18．（2019秋•溧水区期末）某产品的形状是长方体，长为8cm，它的展开图如图所示，则长方体的体积为 cm3．
三．解答题（共8小题）
19．（2019秋•高淳区期末）计算：
（1）（﹣2）2﹣（﹣3）×（﹣4）
（2）（12-23-56）×（﹣60）
20．（2019秋•高淳区期末）先化简，再求值：（3a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b），其中a=-12，b＝2．
21．（2020秋•南京期末）解下列方程：
（1）﹣2（x+1）＝6x；
（2）x3-3x+12=1．
22．（2020秋•南京期末）如图，已知平面上三个点A，B，C，按要求完成下列画图：（要求保留作图痕迹）
（1）作射线AB和直线AC；
（2）连接CB并延长CB至点D，使BD＝2CB；
（3）点E为直线AC上一点，连接BE，请画出使得EA+EB+EC最小的点E的位置．
23．（2020秋•建邺区期末）如图是由7个同样大小棱长为1的小正方体搭成的几何体，
（1）请分别画出它的主视图、左视图和俯视图．
（2）这个组合几何体的表面积为 个平方单位（包括底面积）；
（3）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则搭这样的几何体最多要 个小立方体．
24．（2020秋•惠城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ；
（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；
（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
25．（2020秋•鼓楼区期末）阅读下面材料
两位同学在用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片B上的数字，把最后得到的数M的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦!”
乙同学：“这么神奇？我不信”
……
试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片A上的数字为2，卡片B上的数字为5，他最后得到的数M＝ ；
（2）若乙同学最后得到的数M＝57，则卡片A上的数字为 ，卡片B上的数字为 ．
解密：
请你说明：对任意告知的数M，甲同学是如何猜到卡片的．
26．（2020秋•奉化区校级期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 ；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021•港南区一模）﹣2021的倒数为（ ）
A．-12021 B．12021 C．﹣2021 D．2021
【考点】倒数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数为：-12021．
故选：A．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．（2020秋•南京期末）下列合并同类项结果正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2 B．2a2+a＝2a3
C．2xy﹣xy＝xy D．2x3+3x3＝5x6
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变，据此逐一判断即可．
【解答】解：2a2﹣a2＝a2，故本选项不合题意；
B、2a2与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、2xy﹣xy＝xy，故本选项符合题意；
D、2x3+3x3＝5x3，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．
3．（2020秋•丹阳市期末）画如图所示物体的俯视图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上面看矩形分成两个矩形，分线是实线，故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，能看到的线用实线画．
4．（2020秋•建邺区期末）如图射线OA的方向是北偏东28°，在同一平面内∠AOB＝72°，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏东44° B．北偏西44°
C．南偏东80° D．B、C都有可能
【考点】方向角．
【专题】平面直角坐标系；能力层次．
【分析】根据OA的方向是北偏东28°，在同一平面内∠AOB＝72°即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵OA的方向是北偏东28°，在同 一平面内∠AOB＝72°，
∴当射线OB在第二象限时，∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝72°﹣28°＝44°，
即OB的方向是北偏西44°．
∴当射线OB在第四象限时，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOE＝90°﹣28°＝62°，
∴∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝72°﹣62°＝10°．
即OB的方向是南偏东80°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方向角，正确利用已知条件得出∠AOB度数是解题关键．
5．（2021春•饶平县校级期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】点到直线的距离．
【专题】常规题型；几何直观．
【分析】根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段．
6．（2020秋•鼓楼区期末）如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2021次跳跃后它所停在的点对应的数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；数据分析观念．
【分析】从跳跃次数为1开始，分析每次停的点表示的数，找出规律即可得出答案．
【解答】解：∵它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点，
∴这只跳蚤从1这点开始跳，第一次停的点表示3，第二次停的点表示5，第三次停的点表示2，第四次停的点表示1；
第五次停的点表示3，第六次停的点表示5，第七次停的点表示2，第八次停的点表示1…，可见每跳4次又回到表示1的点，
∵2021＝505×4+1，
∴经过2021次跳跃后它所停在的点对应的数为3．
故选：C．
【点评】本题考查规律探索，观察、分析前几次停的点表示的数的变化规律就容易得到答案．
7．（2019秋•溧水区期末）小明在某月的日历中圈出了三个数，算出它们的和是14，那么这三个数的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据各项中的位置设出相应的x，求出x的值判断即可．
【解答】解：A、设左下角数字为x，其余为x﹣7，x+1，
根据题意得：x+x﹣7+x+1＝14，
解得：x=203，不符合题意；
B、设左上角数字为x，其余为x+7，x+1，
根据题意得：x+x+7+x+1＝14，
解得：x＝2，符合题意；
C、设右上角的数字为x，其余为x﹣1，x+7，
根据题意得：x+x﹣1+x+7＝14，
解得：x=83，不符合题意；
D、设右下角的数字为x，其余为x﹣1，x﹣7，
根据题意得：x+x﹣1+x﹣7＝14，
解得：x=223，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
8．（2019秋•溧水区期末）下列说法：①两点之间，直线最短；②若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；③同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④过一点有且只有一条直线平行于已知直线．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离；平行公理及推论；平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据线段的性质，平行公理及推理，垂线的性质等知识点分析判断．
【解答】解：①两点之间，线段最短，故原来的说法错误；
②若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点，故原来的说法错误；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线是正确的；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原来的说法错误．
故其中正确的说法有1个．
故选：A．
【点评】考查了平行公理及推论，线段的性质，两点间的距离以及垂线，熟记基础只记题目，掌握相关概念即可解题．
二．填空题（共10小题）
9．（2019秋•高淳区期末）|﹣2|的结果是 2 ．
【考点】绝对值．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：|﹣2|的结果是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．
10．（2019秋•高淳区期末）多项式ab+2b3的次数是 3 ．
【考点】多项式．
【专题】整式；符号意识．
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案．
【解答】解：多项式ab+2b3的次数是：3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数确定方法是解题关键．
11．（2020秋•南京期末）-2ab23的系数是 -23 ，2x+3xy2﹣1的次数是 3 ．
【考点】单项式；多项式．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用单项式系数和多项式次数确定方法分析得出答案．
【解答】解：-2ab23的系数是：-23，2x+3xy2﹣1的次数是：3．
故答案为：-23，3．
【点评】此题主要考查了单项式和多项式，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2020秋•南京期末）已知∠α＝32°，则∠α的补角为 148 度．
【考点】余角和补角．
【分析】直接利用互补的定义得出答案．
【解答】解：∵∠α＝32°，
∴∠α的补角为：180°﹣32°＝148°．
故答案为：148．
【点评】此题主要考查了互补的定义，正确把握定义是解题关键．
13．（2020秋•建邺区期末）如图，是小明同学在数学实践课上，所设计的正方体盒子的平面展开图．每个面上都有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“善”字相对的面上的字是 文 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】解直角三角形及其应用；空间观念；模型思想．
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“文”与“善”是对面，
“明”与“信”是对面，
“诚”与“友”是对面，
故答案为：文．
【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
14．（2020秋•建邺区期末）若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画 1或4或6 条直线．
【考点】直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据四个点共线，其中三点共线，任意三点不共线3种情况讨论，作出图形可得答案
【解答】解：如图，
故平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画1条或4条或6条直线，
故答案为：1或4或6．
【点评】此题主要考查了直线，关键是掌握两点确定一条直线．
15．（2020秋•鼓楼区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，∠1＝28°，∠2＝ 58 °．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】求出∠EAC，再求∠2即可．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝28°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠1＝32°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠2＝∠DAE﹣∠EAC＝58°．
故答案为：58．
【点评】本题考查角的和差，题目较容易，根据已知求出∠EAC便可求出答案．
16．（2020秋•鼓楼区期末）线段AB＝6，在直线AB上截取线段BC＝3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为 6或12 ．
【考点】两点间的距离．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线．
【分析】分类讨论：C在线段AB的延长线上，C在线段AB的反向延长线上，根据BC＝3AB，可得BC的长，根据中点的性质，可得BD，BE的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：C在线段AB的延长线上，如图1：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD=12AB＝3，BE=12BC＝9，
DE＝BE+BD＝9+3＝12；
C在线段AB的反向延长线上，如图2：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD=12AB＝3，BE=12BC＝9，
DE＝BE﹣BD＝9﹣3＝6．
故线段DE的长为6或12．
故答案为：6或12．
【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．
17．（2019秋•溧水区期末）数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC＝3，则AC的中点所表示的数是 1.5或4.5 ．
【考点】数轴．
【专题】数形结合；实数；数感；应用意识．
【分析】先求出点C在数轴上表示的数，再根据中点计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵点B表示的数为5，BC＝3，
∴点C表示的数为2或8，
∵点A所表示的数为1，
∴AC的中点所表示的数为1+82=4.5或1+22=1.5，
故答案为：1.5或4.5．
【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点中点所表示的数的计算方法是正确解答的前提．
18．（2019秋•溧水区期末）某产品的形状是长方体，长为8cm，它的展开图如图所示，则长方体的体积为 192 cm3．
【考点】几何体的展开图．
【专题】推理填空题；空间观念；应用意识．
【分析】根据已知图形得出长方体的高进而得出答案．
【解答】解：设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（14﹣2x）cm，根据题意可得：
14﹣2x+8+x+8＝26，
解得：x＝4，
所以长方体的高为4cm，宽为6cm，长为8cm，
长方体的体积为：8×6×4＝192（cm3）．
故答案为：192．
【点评】本题考查几何体的展开图、几何体的体积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
19．（2019秋•高淳区期末）计算：
（1）（﹣2）2﹣（﹣3）×（﹣4）
（2）（12-23-56）×（﹣60）
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算乘法、减法，求出算式的值是多少即可．
（2）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）（﹣2）2﹣（﹣3）×（﹣4）
＝4﹣12
＝﹣8
（2）（12-23-56）×（﹣60）
=12×（﹣60）-23×（﹣60）-56×（﹣60）
＝﹣30+40+50
＝60
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
20．（2019秋•高淳区期末）先化简，再求值：（3a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b），其中a=-12，b＝2．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3a2b﹣ab2﹣2ab2﹣6a2b＝﹣3a2b﹣3ab2，
当a=-12，b＝2时，原式=-32+6＝4.5．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2020秋•南京期末）解下列方程：
（1）﹣2（x+1）＝6x；
（2）x3-3x+12=1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）﹣2（x+1）＝6x；
去括号得：﹣2x﹣2＝6x，
移项得：﹣2x﹣6x＝2，
合并得：﹣8x＝2，
解得：x=-14；
（2）x3-3x+12=1，
去分母得：2x﹣3（3x+1）＝6，
去括号得：2x﹣9x﹣3＝6，
移项合并得：﹣7x＝9，
解得：x=-97．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
22．（2020秋•南京期末）如图，已知平面上三个点A，B，C，按要求完成下列画图：（要求保留作图痕迹）
（1）作射线AB和直线AC；
（2）连接CB并延长CB至点D，使BD＝2CB；
（3）点E为直线AC上一点，连接BE，请画出使得EA+EB+EC最小的点E的位置．
【考点】直线、射线、线段；两点间的距离；作图—复杂作图．
【专题】作图题；应用意识．
【分析】（1）（2）根据射线，直线的定义画出图形即可
（3）根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）射线AB，直线AC如图所示．
（2）线段BD如图所示．
（3）如图，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，射线，直线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（2020秋•建邺区期末）如图是由7个同样大小棱长为1的小正方体搭成的几何体，
（1）请分别画出它的主视图、左视图和俯视图．
（2）这个组合几何体的表面积为 28 个平方单位（包括底面积）；
（3）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则搭这样的几何体最多要 10 个小立方体．
【考点】几何体的表面积；作图﹣三视图．
【专题】作图题；空间观念．
【分析】（1）根据主视图、左视图、俯视图的定义画出图形即可；
（2）分别求出6个面的面积，进一步得到这个组合几何体的表面积即可；
（3）根据保持这个几何体的左视图和俯视图不变，几何体的第二排的高度都是3个，可得这样的几何体最多要：1+3+3+3＝10个．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）1×1＝1，
这个组合几何体的表面积为（6×2+4×4）×1＝28（平方单位）．
故这个组合几何体的表面积为28个平方单位．
（3）1+3+3+3＝10（个）．
故搭这样的几何体最多要10个小立方体．
故答案为：28；10．
【点评】此题主要考查了作图﹣三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
24．（2020秋•惠城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ∠AOE或∠DOE ；
（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；
（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
【考点】角平分线的定义；余角和补角；对顶角、邻补角；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；应用意识．
【分析】（1）根据平角的意义，依据图形可直接得出答案；
（2）根据互余和∠COF＝2∠COE，可求出∠COF、∠COE，再根据角平分线的意义可求答案；
（3）根据互余，互补、角平分线的意义，证明∠FOA＝∠COF即可．
【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE+∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF=23×90°＝60°，∠COE=13×90°＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE+∠COF＝90°，
∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA＝180°，
∴∠COE+∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
【点评】考查互为余角、互为补角、角平分线的意义，通过图形直观，得到各个角之间的关系式解决问题的关键．
25．（2020秋•鼓楼区期末）阅读下面材料
两位同学在用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片B上的数字，把最后得到的数M的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦!”
乙同学：“这么神奇？我不信”
……
试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片A上的数字为2，卡片B上的数字为5，他最后得到的数M＝ 39 ；
（2）若乙同学最后得到的数M＝57，则卡片A上的数字为 4 ，卡片B上的数字为 3 ．
解密：
请你说明：对任意告知的数M，甲同学是如何猜到卡片的．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】阅读型．
【分析】（1）根据游戏规则计算M的值即可；
（2）根据游戏规则表示M，为一个二元一次方程，取整数解即可；
解密：
设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，则M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14，M﹣14＝10x+y，可得结论．
【解答】解：（1）M＝（2×5+7）×2+5＝39，
故答案为：39；
（2）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，
则（5x+7）×2+y＝57，
10x+14+y＝57，
10x+y＝43，
∵x、y都是1至9这9个数字，
∴x＝4，y＝3，
故答案为：4，3；
解密：
设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y（其中x、y为1，2，…，9这9个数字），
则M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14，
得：M﹣14＝10x+y，其中十位数字是x，个位数字是y，
所以由给出的M的值减去14，所得两位数十位上的数字为卡片A上的数字x，个位数上的数字为卡片B上的数字y．
【点评】本题是阅读型问题，考查了学生有理数的加法和乘法，及规律计算问题，注意理解材料中M的由来．
26．（2020秋•奉化区校级期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 OB2 ；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）由∠MON内含对称的定义可求解；
（2）由∠MON内含对称的定义可得10°≤12（x+10）°≤30°，可求解；
（3）分两种情况讨论，利用∠MON内含对称的定义列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB1在∠MON的外部，
∴射线OA、OB1组成的∠AOB1的平分线在∠MON的外部，
∴OB1不是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
∵∠B2OM＝15°，∠AOM＝10°，
∴∠AOB2＝25°，
∴射线OA、OB2组成的∠AOB2的平分线在∠MON的内部，
∴OB2是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
故答案为：OB2；
（2）由（1）可知，当OC在直线OM的下方时，才有可能存在射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∵∠COM＝x°，∠AOM＝10°，∠MON＝20°，
∴∠AOC＝（x+10）°，∠AON＝30°，
∵射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∴10°≤12（x+10）°≤30°，
∴10≤x≤50；
（3）∵∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，
∴∠HOM＝50°，∠HON＝70°，∠EOM＝30°，∠FOM＝40°，
若射线OE与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t≤3t-30+50-t2≤70﹣t，
∴20≤t≤30；
若射线OF与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t≤50-t+3t-402≤70﹣t，
∴22.5≤t≤32.5，
综上所述：20≤t≤32.5．
【点评】本题是新定义题，考查了角平分线的性质，一元不等式的应用，理解新定义，运用新定义解决问题是本题的关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
6．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
7．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
8．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
9．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
10．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
11．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
12．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
13．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）
14．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
15．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
16．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
17．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
18．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
19．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
20．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
21．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
22．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
23．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
24．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
25．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
26．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
27．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
28．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
29．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
30．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
31．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷1
一．选择题（共8小题）
1．（2021•港南区一模）﹣2021的倒数为（ ）
A．-12021 B．12021 C．﹣2021 D．2021
2．（2020秋•南京期末）下列合并同类项结果正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2 B．2a2+a＝2a3
C．2xy﹣xy＝xy D．2x3+3x3＝5x6
3．（2020秋•丹阳市期末）画如图所示物体的俯视图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020秋•建邺区期末）如图射线OA的方向是北偏东28°，在同一平面内∠AOB＝72°，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏东44° B．北偏西44°
C．南偏东80° D．B、C都有可能
5．（2021春•饶平县校级期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020秋•鼓楼区期末）如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2021次跳跃后它所停在的点对应的数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2019秋•溧水区期末）小明在某月的日历中圈出了三个数，算出它们的和是14，那么这三个数的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2019秋•溧水区期末）下列说法：①两点之间，直线最短；②若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；③同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④过一点有且只有一条直线平行于已知直线．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题）
9．（2019秋•高淳区期末）|﹣2|的结果是 ．
10．（2019秋•高淳区期末）多项式ab+2b3的次数是 ．
11．（2020秋•南京期末）-2ab23的系数是 ，2x+3xy2﹣1的次数是 ．
12．（2020秋•南京期末）已知∠α＝32°，则∠α的补角为 度．
13．（2020秋•建邺区期末）如图，是小明同学在数学实践课上，所设计的正方体盒子的平面展开图．每个面上都有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“善”字相对的面上的字是 ．
14．（2020秋•建邺区期末）若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画 条直线．
15．（2020秋•鼓楼区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，∠1＝28°，∠2＝ °．
16．（2020秋•鼓楼区期末）线段AB＝6，在直线AB上截取线段BC＝3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为 ．
17．（2019秋•溧水区期末）数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC＝3，则AC的中点所表示的数是 ．
18．（2019秋•溧水区期末）某产品的形状是长方体，长为8cm，它的展开图如图所示，则长方体的体积为 cm3．
三．解答题（共8小题）
19．（2019秋•高淳区期末）计算：
（1）（﹣2）2﹣（﹣3）×（﹣4）
（2）（12-23-56）×（﹣60）
20．（2019秋•高淳区期末）先化简，再求值：（3a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b），其中a=-12，b＝2．
21．（2020秋•南京期末）解下列方程：
（1）﹣2（x+1）＝6x；
（2）x3-3x+12=1．
22．（2020秋•南京期末）如图，已知平面上三个点A，B，C，按要求完成下列画图：（要求保留作图痕迹）
（1）作射线AB和直线AC；
（2）连接CB并延长CB至点D，使BD＝2CB；
（3）点E为直线AC上一点，连接BE，请画出使得EA+EB+EC最小的点E的位置．
23．（2020秋•建邺区期末）如图是由7个同样大小棱长为1的小正方体搭成的几何体，
（1）请分别画出它的主视图、左视图和俯视图．
（2）这个组合几何体的表面积为 个平方单位（包括底面积）；
（3）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则搭这样的几何体最多要 个小立方体．
24．（2020秋•惠城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ；
（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；
（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
25．（2020秋•鼓楼区期末）阅读下面材料
两位同学在用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片B上的数字，把最后得到的数M的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦!”
乙同学：“这么神奇？我不信”
……
试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片A上的数字为2，卡片B上的数字为5，他最后得到的数M＝ ；
（2）若乙同学最后得到的数M＝57，则卡片A上的数字为 ，卡片B上的数字为 ．
解密：
请你说明：对任意告知的数M，甲同学是如何猜到卡片的．
26．（2020秋•奉化区校级期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 ；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
2021-2022学年上学期南京初中数学七年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021•港南区一模）﹣2021的倒数为（ ）
A．-12021 B．12021 C．﹣2021 D．2021
【考点】倒数．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021的倒数为：-12021．
故选：A．
【点评】此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键．
2．（2020秋•南京期末）下列合并同类项结果正确的是（ ）
A．2a2﹣a2＝2 B．2a2+a＝2a3
C．2xy﹣xy＝xy D．2x3+3x3＝5x6
【考点】合并同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】合并同类项是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变，据此逐一判断即可．
【解答】解：2a2﹣a2＝a2，故本选项不合题意；
B、2a2与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、2xy﹣xy＝xy，故本选项符合题意；
D、2x3+3x3＝5x3，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．
3．（2020秋•丹阳市期末）画如图所示物体的俯视图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上面看矩形分成两个矩形，分线是实线，故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，能看到的线用实线画．
4．（2020秋•建邺区期末）如图射线OA的方向是北偏东28°，在同一平面内∠AOB＝72°，则射线OB的方向是（ ）
A．北偏东44° B．北偏西44°
C．南偏东80° D．B、C都有可能
【考点】方向角．
【专题】平面直角坐标系；能力层次．
【分析】根据OA的方向是北偏东28°，在同一平面内∠AOB＝72°即可得到结论．
【解答】解：如图，
∵OA的方向是北偏东28°，在同 一平面内∠AOB＝72°，
∴当射线OB在第二象限时，∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝72°﹣28°＝44°，
即OB的方向是北偏西44°．
∴当射线OB在第四象限时，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOE＝90°﹣28°＝62°，
∴∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝72°﹣62°＝10°．
即OB的方向是南偏东80°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方向角，正确利用已知条件得出∠AOB度数是解题关键．
5．（2021春•饶平县校级期末）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】点到直线的距离．
【专题】常规题型；几何直观．
【分析】根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
【解答】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段．
6．（2020秋•鼓楼区期末）如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2021次跳跃后它所停在的点对应的数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；数据分析观念．
【分析】从跳跃次数为1开始，分析每次停的点表示的数，找出规律即可得出答案．
【解答】解：∵它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点，
∴这只跳蚤从1这点开始跳，第一次停的点表示3，第二次停的点表示5，第三次停的点表示2，第四次停的点表示1；
第五次停的点表示3，第六次停的点表示5，第七次停的点表示2，第八次停的点表示1…，可见每跳4次又回到表示1的点，
∵2021＝505×4+1，
∴经过2021次跳跃后它所停在的点对应的数为3．
故选：C．
【点评】本题考查规律探索，观察、分析前几次停的点表示的数的变化规律就容易得到答案．
7．（2019秋•溧水区期末）小明在某月的日历中圈出了三个数，算出它们的和是14，那么这三个数的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据各项中的位置设出相应的x，求出x的值判断即可．
【解答】解：A、设左下角数字为x，其余为x﹣7，x+1，
根据题意得：x+x﹣7+x+1＝14，
解得：x=203，不符合题意；
B、设左上角数字为x，其余为x+7，x+1，
根据题意得：x+x+7+x+1＝14，
解得：x＝2，符合题意；
C、设右上角的数字为x，其余为x﹣1，x+7，
根据题意得：x+x﹣1+x+7＝14，
解得：x=83，不符合题意；
D、设右下角的数字为x，其余为x﹣1，x﹣7，
根据题意得：x+x﹣1+x﹣7＝14，
解得：x=223，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
8．（2019秋•溧水区期末）下列说法：①两点之间，直线最短；②若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；③同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；④过一点有且只有一条直线平行于已知直线．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离；平行公理及推论；平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据线段的性质，平行公理及推理，垂线的性质等知识点分析判断．
【解答】解：①两点之间，线段最短，故原来的说法错误；
②若AC＝BC，且A，B，C三点共线，则点C是线段AB的中点，故原来的说法错误；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线是正确的；
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原来的说法错误．
故其中正确的说法有1个．
故选：A．
【点评】考查了平行公理及推论，线段的性质，两点间的距离以及垂线，熟记基础只记题目，掌握相关概念即可解题．
二．填空题（共10小题）
9．（2019秋•高淳区期末）|﹣2|的结果是 2 ．
【考点】绝对值．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．
【解答】解：|﹣2|的结果是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握相关定义是解题关键．
10．（2019秋•高淳区期末）多项式ab+2b3的次数是 3 ．
【考点】多项式．
【专题】整式；符号意识．
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案．
【解答】解：多项式ab+2b3的次数是：3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了多项式，正确把握多项式的次数确定方法是解题关键．
11．（2020秋•南京期末）-2ab23的系数是 -23 ，2x+3xy2﹣1的次数是 3 ．
【考点】单项式；多项式．
【专题】整式；符号意识．
【分析】直接利用单项式系数和多项式次数确定方法分析得出答案．
【解答】解：-2ab23的系数是：-23，2x+3xy2﹣1的次数是：3．
故答案为：-23，3．
【点评】此题主要考查了单项式和多项式，正确掌握相关定义是解题关键．
12．（2020秋•南京期末）已知∠α＝32°，则∠α的补角为 148 度．
【考点】余角和补角．
【分析】直接利用互补的定义得出答案．
【解答】解：∵∠α＝32°，
∴∠α的补角为：180°﹣32°＝148°．
故答案为：148．
【点评】此题主要考查了互补的定义，正确把握定义是解题关键．
13．（2020秋•建邺区期末）如图，是小明同学在数学实践课上，所设计的正方体盒子的平面展开图．每个面上都有一个汉字，请你判断，正方体盒子上与“善”字相对的面上的字是 文 ．
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】解直角三角形及其应用；空间观念；模型思想．
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“文”与“善”是对面，
“明”与“信”是对面，
“诚”与“友”是对面，
故答案为：文．
【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
14．（2020秋•建邺区期末）若平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画 1或4或6 条直线．
【考点】直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据四个点共线，其中三点共线，任意三点不共线3种情况讨论，作出图形可得答案
【解答】解：如图，
故平面内有点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，可以画1条或4条或6条直线，
故答案为：1或4或6．
【点评】此题主要考查了直线，关键是掌握两点确定一条直线．
15．（2020秋•鼓楼区期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角的直角顶点重合，∠1＝28°，∠2＝ 58 °．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】求出∠EAC，再求∠2即可．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝28°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠1＝32°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠2＝∠DAE﹣∠EAC＝58°．
故答案为：58．
【点评】本题考查角的和差，题目较容易，根据已知求出∠EAC便可求出答案．
16．（2020秋•鼓楼区期末）线段AB＝6，在直线AB上截取线段BC＝3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为 6或12 ．
【考点】两点间的距离．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线．
【分析】分类讨论：C在线段AB的延长线上，C在线段AB的反向延长线上，根据BC＝3AB，可得BC的长，根据中点的性质，可得BD，BE的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：C在线段AB的延长线上，如图1：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD=12AB＝3，BE=12BC＝9，
DE＝BE+BD＝9+3＝12；
C在线段AB的反向延长线上，如图2：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD=12AB＝3，BE=12BC＝9，
DE＝BE﹣BD＝9﹣3＝6．
故线段DE的长为6或12．
故答案为：6或12．
【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．
17．（2019秋•溧水区期末）数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC＝3，则AC的中点所表示的数是 1.5或4.5 ．
【考点】数轴．
【专题】数形结合；实数；数感；应用意识．
【分析】先求出点C在数轴上表示的数，再根据中点计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵点B表示的数为5，BC＝3，
∴点C表示的数为2或8，
∵点A所表示的数为1，
∴AC的中点所表示的数为1+82=4.5或1+22=1.5，
故答案为：1.5或4.5．
【点评】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点中点所表示的数的计算方法是正确解答的前提．
18．（2019秋•溧水区期末）某产品的形状是长方体，长为8cm，它的展开图如图所示，则长方体的体积为 192 cm3．
【考点】几何体的展开图．
【专题】推理填空题；空间观念；应用意识．
【分析】根据已知图形得出长方体的高进而得出答案．
【解答】解：设长方体的高为xcm，则长方形的宽为（14﹣2x）cm，根据题意可得：
14﹣2x+8+x+8＝26，
解得：x＝4，
所以长方体的高为4cm，宽为6cm，长为8cm，
长方体的体积为：8×6×4＝192（cm3）．
故答案为：192．
【点评】本题考查几何体的展开图、几何体的体积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共8小题）
19．（2019秋•高淳区期末）计算：
（1）（﹣2）2﹣（﹣3）×（﹣4）
（2）（12-23-56）×（﹣60）
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算乘法、减法，求出算式的值是多少即可．
（2）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）（﹣2）2﹣（﹣3）×（﹣4）
＝4﹣12
＝﹣8
（2）（12-23-56）×（﹣60）
=12×（﹣60）-23×（﹣60）-56×（﹣60）
＝﹣30+40+50
＝60
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
20．（2019秋•高淳区期末）先化简，再求值：（3a2b﹣ab2）﹣2（ab2+3a2b），其中a=-12，b＝2．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3a2b﹣ab2﹣2ab2﹣6a2b＝﹣3a2b﹣3ab2，
当a=-12，b＝2时，原式=-32+6＝4.5．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2020秋•南京期末）解下列方程：
（1）﹣2（x+1）＝6x；
（2）x3-3x+12=1．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）﹣2（x+1）＝6x；
去括号得：﹣2x﹣2＝6x，
移项得：﹣2x﹣6x＝2，
合并得：﹣8x＝2，
解得：x=-14；
（2）x3-3x+12=1，
去分母得：2x﹣3（3x+1）＝6，
去括号得：2x﹣9x﹣3＝6，
移项合并得：﹣7x＝9，
解得：x=-97．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
22．（2020秋•南京期末）如图，已知平面上三个点A，B，C，按要求完成下列画图：（要求保留作图痕迹）
（1）作射线AB和直线AC；
（2）连接CB并延长CB至点D，使BD＝2CB；
（3）点E为直线AC上一点，连接BE，请画出使得EA+EB+EC最小的点E的位置．
【考点】直线、射线、线段；两点间的距离；作图—复杂作图．
【专题】作图题；应用意识．
【分析】（1）（2）根据射线，直线的定义画出图形即可
（3）根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）射线AB，直线AC如图所示．
（2）线段BD如图所示．
（3）如图，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，射线，直线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（2020秋•建邺区期末）如图是由7个同样大小棱长为1的小正方体搭成的几何体，
（1）请分别画出它的主视图、左视图和俯视图．
（2）这个组合几何体的表面积为 28 个平方单位（包括底面积）；
（3）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则搭这样的几何体最多要 10 个小立方体．
【考点】几何体的表面积；作图﹣三视图．
【专题】作图题；空间观念．
【分析】（1）根据主视图、左视图、俯视图的定义画出图形即可；
（2）分别求出6个面的面积，进一步得到这个组合几何体的表面积即可；
（3）根据保持这个几何体的左视图和俯视图不变，几何体的第二排的高度都是3个，可得这样的几何体最多要：1+3+3+3＝10个．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）1×1＝1，
这个组合几何体的表面积为（6×2+4×4）×1＝28（平方单位）．
故这个组合几何体的表面积为28个平方单位．
（3）1+3+3+3＝10（个）．
故搭这样的几何体最多要10个小立方体．
故答案为：28；10．
【点评】此题主要考查了作图﹣三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
24．（2020秋•惠城区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
（1）图中∠BOE的补角是 ∠AOE或∠DOE ；
（2）若∠COF＝2∠COE，求∠BOE的度数；
（3）试判断OF是否平分∠AOC，并说明理由．
【考点】角平分线的定义；余角和补角；对顶角、邻补角；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；应用意识．
【分析】（1）根据平角的意义，依据图形可直接得出答案；
（2）根据互余和∠COF＝2∠COE，可求出∠COF、∠COE，再根据角平分线的意义可求答案；
（3）根据互余，互补、角平分线的意义，证明∠FOA＝∠COF即可．
【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE+∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，
∴∠COF=23×90°＝60°，∠COE=13×90°＝30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝30°；
（3）OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF．
∴∠BOE＝∠COE，∠COE+∠COF＝90°，
∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA＝180°，
∴∠COE+∠FOA＝90°，
∴∠FOA＝∠COF，
即，OF平分∠AOC．
【点评】考查互为余角、互为补角、角平分线的意义，通过图形直观，得到各个角之间的关系式解决问题的关键．
25．（2020秋•鼓楼区期末）阅读下面材料
两位同学在用标有数字1，2，…，9的9张卡片做游戏．
甲同学：“你先从这9张卡片中随意抽取两张（按抽取的先后顺序分别称为“卡片A”和“卡片B”），别告诉我卡片上是什么数字，然后你把卡片A上的数字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片B上的数字，把最后得到的数M的值告诉我，我就能猜出你抽出的是哪两张卡片啦!”
乙同学：“这么神奇？我不信”
……
试验一下：
（1）如果乙同学抽出的卡片A上的数字为2，卡片B上的数字为5，他最后得到的数M＝ 39 ；
（2）若乙同学最后得到的数M＝57，则卡片A上的数字为 4 ，卡片B上的数字为 3 ．
解密：
请你说明：对任意告知的数M，甲同学是如何猜到卡片的．
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】阅读型．
【分析】（1）根据游戏规则计算M的值即可；
（2）根据游戏规则表示M，为一个二元一次方程，取整数解即可；
解密：
设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，则M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14，M﹣14＝10x+y，可得结论．
【解答】解：（1）M＝（2×5+7）×2+5＝39，
故答案为：39；
（2）设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y，
则（5x+7）×2+y＝57，
10x+14+y＝57，
10x+y＝43，
∵x、y都是1至9这9个数字，
∴x＝4，y＝3，
故答案为：4，3；
解密：
设卡片A上的数字为x，卡片B上的数字为y（其中x、y为1，2，…，9这9个数字），
则M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14，
得：M﹣14＝10x+y，其中十位数字是x，个位数字是y，
所以由给出的M的值减去14，所得两位数十位上的数字为卡片A上的数字x，个位数上的数字为卡片B上的数字y．
【点评】本题是阅读型问题，考查了学生有理数的加法和乘法，及规律计算问题，注意理解材料中M的由来．
26．（2020秋•奉化区校级期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 OB2 ；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）由∠MON内含对称的定义可求解；
（2）由∠MON内含对称的定义可得10°≤12（x+10）°≤30°，可求解；
（3）分两种情况讨论，利用∠MON内含对称的定义列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB1在∠MON的外部，
∴射线OA、OB1组成的∠AOB1的平分线在∠MON的外部，
∴OB1不是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
∵∠B2OM＝15°，∠AOM＝10°，
∴∠AOB2＝25°，
∴射线OA、OB2组成的∠AOB2的平分线在∠MON的内部，
∴OB2是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
故答案为：OB2；
（2）由（1）可知，当OC在直线OM的下方时，才有可能存在射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∵∠COM＝x°，∠AOM＝10°，∠MON＝20°，
∴∠AOC＝（x+10）°，∠AON＝30°，
∵射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∴10°≤12（x+10）°≤30°，
∴10≤x≤50；
（3）∵∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，
∴∠HOM＝50°，∠HON＝70°，∠EOM＝30°，∠FOM＝40°，
若射线OE与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t≤3t-30+50-t2≤70﹣t，
∴20≤t≤30；
若射线OF与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t≤50-t+3t-402≤70﹣t，
∴22.5≤t≤32.5，
综上所述：20≤t≤32.5．
【点评】本题是新定义题，考查了角平分线的性质，一元不等式的应用，理解新定义，运用新定义解决问题是本题的关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
6．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
7．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
8．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
9．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
10．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
11．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
12．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
13．几何体的表面积
（1）几何体的表面积＝侧面积+底面积（上、下底的面积和）
（2）常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR2+2πRh （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）
②圆锥体表面积：πr2+nπ（h2+r2）360（r为圆锥体低圆半径，h为其高，n为圆锥侧面展开图中扇形的圆心角）
③长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a为长方体的长，b为长方体的宽，h为长方体的高）
④正方体表面积：6a2 （a为正方体棱长）
14．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
15．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
16．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
17．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
18．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
19．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
20．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
21．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
22．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
23．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
24．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
25．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
26．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
27．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
28．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
29．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
30．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
31．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
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