2021-2022学年上学期广州市初中数学七年级期末典型试卷3

这是一份2021-2022学年上学期广州市初中数学七年级期末典型试卷3，共33页。试卷主要包含了天才能完成该工程等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年上学期广州市初中数学七年级期末典型试卷3
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•番禺区期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．b＜﹣a＜﹣b＜a B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．b＜﹣b＜﹣a＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a
2．（2019秋•花都区期末）下列解方程过程中，变形正确的是（　　）
A．由2x﹣1＝3得2x＝3﹣1
B．由2x﹣3（x+4）＝5得2x﹣3x﹣4＝5
C．由3x＝2得x＝
D．由得3x+2x﹣2＝6
3．（2019秋•越秀区期末）若关于x的方程ax+1＝2x+a无解，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
4．（2019秋•南沙区期末）小南在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意，去分母时出现漏乘错误，把原方程化为3x﹣m＝2，并计算得解为x＝1．则原方程正确的解为（　　）
A． B．x＝1 C． D．
5．（2019秋•荔湾区期末）解方程：2﹣＝﹣，去分母得（　　）
A．2﹣2 （2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣2 （2x﹣4）＝﹣x﹣7
C．2﹣（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．12﹣2 （2x﹣4）＝﹣（x﹣7）
6．（2019秋•番禺区期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．若x，y互为倒数，则（﹣xy）2020＝﹣1
B．如果|x|＝2，那么x的值一定是2
C．与原点的距离为4个单位的点所表示的有理数一定是4
D．若﹣7x6y4和3x2myn是同类项，则m+n的值是7
7．（2019秋•海珠区期末）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：
①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．2个 C．3个 D．1个
8．（2019秋•越秀区校级期末）已知∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，OE为∠AOB的平分线，OF为∠BOC的平分线，则∠EOF＝（　　）
A．25°或45° B．25°或50° C．35°或50° D．30°或45°
9．（2019秋•白云区期末）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要（　　）天才能完成该工程．
A．6 B．7 C．6 D．7
10．（2019秋•荔湾区期末）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到An，则△OA2A2019的面积是（　　）

A．504 B． C． D．1009
二．填空题（共6小题）
11．（2019秋•花都区期末）如图，在数轴上A、B两点表示的数分别为﹣4、3，则线段AB的长为　 　．

12．（2019秋•海珠区期末）在一次猜谜比赛中，每个选手要回答30题，答对一题得20分，不答或答错扣10分，如果小明一共得了120分，那么小明答对了　 　题．
13．（2019秋•越秀区期末）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和为27，则这三个数分别是　 　．
14．（2019秋•南沙区期末）如图，把一根绳子AB以中点O对折，点A和点B重合，折成一条线段OB，在线段OB取一点P，使OP：BP＝1：3，从P处把绳子剪断，得到三段绳子．若剪断后的三段绳子中最短的一段为16cm，则绳子的原长为　 　cm．

15．（2019秋•南沙区期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|a﹣b|的结果为　 　．

16．（2019秋•海珠区期末）利用计算机设计了一个程序，输入和输出的结果如下表：
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
a3




…
当输入数据是n时，输出的结果是　 　．
三．解答题（共9小题）
17．（2019秋•越秀区期末）计算
（1）（﹣5）+（+7）﹣（﹣3）﹣（+20）
（2）25÷×（﹣）+（﹣2）×（﹣1）2019
18．（2019秋•越秀区期末）解下列方程
（1）2x＝﹣3（x+5）
（2）﹣1＝
19．（2019秋•白云区期末）已知x＝，y＝2，且A＝x2﹣3xy+2y2，B＝2x2+xy﹣y2．
（1）化简A﹣（B﹣2A）；
（2）对（1）的化简结果求值．
20．（2019秋•越秀区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，B地在A地正东方向，且A、B两地相距2海里．从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船C，同时，从B地发现船C在它的北偏东30°方向．
（1）在图中画出船C所在的位置；（要求用直尺与量角器作图，保留作图痕迹）
（2）已知三角形的内角和等于180°，求∠ACB的度数；
（3）此时船C与B地相距　 　海里．（只需写出结果，不需说明理由）

21．（2019秋•越秀区期末）已知数轴上A，B两点对应的数分别为﹣2和8，P为数轴上一点，对应的数为x．
（1）线段PA的长度可表示为　 　（用含x的式子表示）．
（2）在数轴上是否存在点P，使得PA﹣PB＝6？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）当P为线段AB的中点时，点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度，每秒2个单位长度，每秒1个单位长度沿数轴正方向运动？试问经过几秒，PB＝2PA？
22．（2019秋•南沙区期末）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：
（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．

23．（2019秋•花都区期末）如图，射线OM上有三点A、B、C，OC＝45cm，BC＝15cm，AB＝30cm，已知动点P、Q同时运动，其中动点P从点O出发沿OM方向以速度2cm/s匀速运动，动点Q从点C出发沿CA方向匀速运动，当点Q运动到点A时，点Q停止运动（点P继续运动）．设运动时间为t秒．
（1）求点P运动到点B所用的时间；
（2）若点Q运动速度为每秒1cm，经过多少秒时，点P和点Q的距离为30cm；
（3）当PA＝2PB时，点Q恰好在线段AB的三等分点的位置，求点Q的速度．

24．（2019秋•越秀区校级期末）某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20个），现从 A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每个70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一个书架，B超市的优惠政策为所有商品打八折．设购买书架a个．
（1）若规定只能到其中一个超市购买所有物品，请分别用含有a的代数式写出在 A、B两家超市购买所有物品所需的费用（要求：化简）；
（2）在什么情况下到两家超市购买所用价钱一样？
25．（2019秋•白云区期末）为提高公民社会责任感，保证每个纳税人公平纳税，调节不同阶层贫富差距，营造“纳税光荣”社会氛围，2019年我国实行新的《个人收入所得税征收办法》，将个人收入所得税的起征点提高至5000元（即全月个人收入所得不超过5000元的，免征个人收入所得税）；个人收入超过5000元的，其超出部分称为“应纳税所得额”，国家对纳税人的“应纳税所得额”实行“七级超额累进个人所得税制度”该制度的前两级纳税标准如下：
①全月应纳税所得额不超过3000元的，按3%的税率计税．
②全月应纳税所得额超过3000元但不超过12000元的部分，按10%的税率计税．
按照新的《个人收入所得税征收办法》，在2019年某月，如果纳税人甲缴纳个人收入所得税75元，纳税人乙当月收入为9500元，纳税人丙缴纳个人收入所得税110元．
（1）甲当月个人收入所得是多少？
（2）乙当月应缴纳多少个人收入所得税？
（3）丙当月个人收入所得是多少？

2021-2022学年上学期广州市初中数学七年级期末典型试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•番禺区期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）

A．b＜﹣a＜﹣b＜a B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．b＜﹣b＜﹣a＜a D．﹣a＜﹣b＜b＜a
【考点】数轴；有理数大小比较．
【专题】实数．
【分析】先根据a，b两点在数轴上的位置判断出其符号，进而可得出结论．
【解答】解：∵由图可知，b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴0＜a＜﹣b，b＜﹣a＜0，
∴b＜﹣a＜a＜﹣b．
故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．
2．（2019秋•花都区期末）下列解方程过程中，变形正确的是（　　）
A．由2x﹣1＝3得2x＝3﹣1
B．由2x﹣3（x+4）＝5得2x﹣3x﹣4＝5
C．由3x＝2得x＝
D．由得3x+2x﹣2＝6
【考点】等式的性质；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】分别求出每个选项的变形结果，2x﹣1＝3变形得2x＝1+3；2x﹣3（x+4）＝5变形得2x﹣3x﹣12＝5；3x＝2变形得x＝．
【解答】解：2x﹣1＝3变形得2x＝1+3；
2x﹣3（x+4）＝5变形得2x﹣3x﹣12＝5；
3x＝2变形得x＝；
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次方程的解；熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
3．（2019秋•越秀区期末）若关于x的方程ax+1＝2x+a无解，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】移项，合并同类项，再根据方程无解得出a﹣2＝0，a﹣1≠0，求出a的值即可．
【解答】解：∵ax+1＝2x+a，
∴ax﹣2x＝a﹣1，
∴（a﹣2）x＝a﹣1，
当a﹣2＝0，a﹣1≠0时，方程无解，
解得：a＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据方程无解得出a﹣2＝0且a﹣1≠0是解此题的关键．
4．（2019秋•南沙区期末）小南在解关于x的一元一次方程时，由于粗心大意，去分母时出现漏乘错误，把原方程化为3x﹣m＝2，并计算得解为x＝1．则原方程正确的解为（　　）
A． B．x＝1 C． D．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】先根据题意求出m的值，然后代入原方程即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x＝1是方程3x﹣m＝2的解，
∴3﹣m＝2，
∴m＝1，
∴原方程为﹣1＝，
∴x＝，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义，本题属于基础题型．
5．（2019秋•荔湾区期末）解方程：2﹣＝﹣，去分母得（　　）
A．2﹣2 （2x﹣4）＝﹣（x﹣7） B．12﹣2 （2x﹣4）＝﹣x﹣7
C．2﹣（2x﹣4）＝﹣（x﹣7） D．12﹣2 （2x﹣4）＝﹣（x﹣7）
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】方程两边乘以6去分母得到结果，即可做出判断．
【解答】解：去分母得：12﹣2（2x﹣4）＝﹣（x﹣7），
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2019秋•番禺区期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．若x，y互为倒数，则（﹣xy）2020＝﹣1
B．如果|x|＝2，那么x的值一定是2
C．与原点的距离为4个单位的点所表示的有理数一定是4
D．若﹣7x6y4和3x2myn是同类项，则m+n的值是7
【考点】有理数；数轴；绝对值；倒数；有理数的乘方；同类项．
【专题】实数；整式；运算能力．
【分析】根据倒数的意义可判断A；根据绝对值的意义可判断B；根据数轴与绝对值可判断C；根据同类项的定义可判断D．
【解答】解：A、若x，y互为倒数，则（﹣xy）2020＝1，故A错误；
B、若|x|＝2，那么x是±2，故B错误；
C、与原点的距离为4个单位的点所表示的有理数是4或﹣4，故C错误；
D、若﹣7x6y4和3x2myn是同类项，则2m＝6，n＝4，所以m+n的值是7，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同类项、绝对值、有理数、倒数、数轴等知识．解题的关键是掌握同类项、绝对值、有理数、倒数、数轴的意义．
7．（2019秋•海珠区期末）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：
①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个 B．2个 C．3个 D．1个
【考点】数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．
【专题】实数；推理能力．
【分析】根据图示，可得：a＞0，然后根据a+b＜0，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞0，a+b＜0，
∴b＜0，
∴①符合题意；

∵a＞0，a+b＜0，
∴b＜0，
∴a﹣b＞0，
∴②不符合题意；

∵a＞0，a+b＜0，
∴b＜﹣a＜a＜﹣b，
∴③符合题意；

∵a＞0，a+b＜0，
∴|a|＜|b|，
∴④符合题意，
∴结论正确的有3个：①、③、④．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．
8．（2019秋•越秀区校级期末）已知∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，OE为∠AOB的平分线，OF为∠BOC的平分线，则∠EOF＝（　　）
A．25°或45° B．25°或50° C．35°或50° D．30°或45°
【考点】角平分线的定义；角的计算．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】此题分点C在∠AOB的内部和外部两种情况讨论．
【解答】解：∵OE为∠AOB的平分线，OF为∠BOC的平分线，
∴∠BOE＝∠AOB＝35°，∠BOF＝∠BOC＝10°．
当点C在∠AOB的内部时，
∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝35°﹣10°＝25°；
当点C在∠AOB的外部时，
∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝35°+10°＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的定义，比较简单，掌握角平分线的性质和角的计算是解决本题的关键．
9．（2019秋•白云区期末）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要（　　）天才能完成该工程．
A．6 B．7 C．6 D．7
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】首先设甲还需x天完成全部工程，根据题意可得等量关系：甲乙合作2天的工作量+甲x天的工作量＝总工作量1，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设甲还需要x天才能完成该工程，
（+）×2+x＝1
解得：x＝7，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
10．（2019秋•荔湾区期末）如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到An，则△OA2A2019的面积是（　　）

A．504 B． C． D．1009
【考点】数轴；规律型：图形的变化类；三角形的面积．
【专题】规律型．
【分析】观察图形可知：OA4n＝2n，由OA2016＝1008，推出OA2019＝1009，由此即可解决问题．
【解答】解：观察图形可知：点A4n在数轴上，OA4n＝2n，
∵OA2016＝1008，
∴OA2019＝1009，点A2019在数轴上，
∴＝×1009×1＝，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
11．（2019秋•花都区期末）如图，在数轴上A、B两点表示的数分别为﹣4、3，则线段AB的长为　7　．

【考点】数轴．
【专题】实数；几何直观．
【分析】用B点表示的数减去A点表示的数即可．
【解答】解：∵A、B两点表示的数分别为﹣4、3，
∴线段AB的长＝3﹣（﹣4）＝7．
故答案为7．
【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
12．（2019秋•海珠区期末）在一次猜谜比赛中，每个选手要回答30题，答对一题得20分，不答或答错扣10分，如果小明一共得了120分，那么小明答对了　14　题．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设小明答对了x道题，不答或答错（30﹣x）道题，根据得分＝20×答对题目数﹣10×不答或答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小明答对了x道题，不答或答错（30﹣x）道题，
依题意，得：20x﹣10（30﹣x）＝120，
解得：x＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．（2019秋•越秀区期末）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和为27，则这三个数分别是　2，9，16　．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为（x+7），（x+14），根据三个日期数之和为27，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为（x+7），（x+14），
依题意，得：x+x+7+x+14＝27，
解得：x＝2，
∴x+7＝9，x+14＝16．
故答案为：2，9，16．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．（2019秋•南沙区期末）如图，把一根绳子AB以中点O对折，点A和点B重合，折成一条线段OB，在线段OB取一点P，使OP：BP＝1：3，从P处把绳子剪断，得到三段绳子．若剪断后的三段绳子中最短的一段为16cm，则绳子的原长为　64　cm．

【考点】线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据线段的中点的定义和线段的倍分关系即可得到结论．
【解答】解：∵OA＝OB＝AB，OP：BP＝1：3，
∴OP＝AB＝AB，
∵剪断后的三段绳子中最短的一段为16cm，
∴2OP＝AB＝16，
∴AB＝64cm，
∴绳子的原长为64cm，
故答案为：64．
【点评】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
15．（2019秋•南沙区期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|a﹣b|的结果为　﹣2b　．

【考点】数轴；绝对值．
【专题】整式．
【分析】从数轴上点的位置先判断a、b的正负，根据加法、减法法则判断a+b、a﹣b的正负，再根据绝对值的意义化简即可．
【解答】解：由数轴知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
所以a+b＜0，a﹣b＞0，
∴|a+b|+|a﹣b|
＝﹣（a+b）+a﹣b
＝﹣a﹣b+a﹣b
＝﹣2b．
故答案为：﹣2b．
【点评】本题考查了数轴、加减法法则、绝对值的化简等知识点．根据加减法的符号法则，判断a+b、a﹣b的正负是解决本题的关键．
16．（2019秋•海珠区期末）利用计算机设计了一个程序，输入和输出的结果如下表：
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
a3




…
当输入数据是n时，输出的结果是　　．
【考点】有理数的混合运算；代数式求值；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】由表格中的数据可知，当输入数据是n时，输出的分母等于n，分子是a的（n2+2）次方，从而可以写出输出的结果．
【解答】解：由表格中的数据可知，
当输入n时，输出的结果为：，
故答案为：．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果分子和分母的特点，写出输入数据为n时的输出结果．
三．解答题（共9小题）
17．（2019秋•越秀区期末）计算
（1）（﹣5）+（+7）﹣（﹣3）﹣（+20）
（2）25÷×（﹣）+（﹣2）×（﹣1）2019
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）先化简，再计算加减法；
（2）先算乘方，再算乘除，最后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
【解答】解：（1）（﹣5）+（+7）﹣（﹣3）﹣（+20）
＝﹣5+7+3﹣20
＝﹣25+10
＝﹣15；
（2）25÷×（﹣）+（﹣2）×（﹣1）2019
＝25××（﹣）+（﹣2）×（﹣1）
＝﹣12+2
＝﹣10．
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
18．（2019秋•越秀区期末）解下列方程
（1）2x＝﹣3（x+5）
（2）﹣1＝
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．
【解答】解：（1）2x＝﹣3（x+5），
去括号，得：2x＝﹣3x﹣15，
移项，得：2x+3x＝﹣15，
合并同类项，得：5x＝﹣15，
系数化为1，得：x＝﹣3；

（2）﹣1＝，
去分母，得：3（5y﹣1）﹣18＝2（4y﹣7），
去括号，得：15y﹣3﹣18＝8y﹣14，
移项，得：15y﹣8y＝3+18﹣14，
合并同类项，得：7y＝7，
系数化为1，得：y＝1．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
19．（2019秋•白云区期末）已知x＝，y＝2，且A＝x2﹣3xy+2y2，B＝2x2+xy﹣y2．
（1）化简A﹣（B﹣2A）；
（2）对（1）的化简结果求值．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）直接去括号进而合并同类项，即可得出答案；
（2）直接把x，y的值代入求出答案．
【解答】解：（1）∵A＝x2﹣3xy+2y2，B＝2x2+xy﹣y2，
∴A﹣（B﹣2A）
＝A﹣B+2A
＝3A﹣B
＝3（x2﹣3xy+2y2）﹣（2x2+xy﹣y2），
＝3x2﹣9xy+6y2﹣2x2﹣xy+y2，
＝x2+7y2﹣10xy；

（2）当x＝，y＝2时，
原式＝x2+7y2﹣10xy
＝+7×4﹣10××2
＝18．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
20．（2019秋•越秀区期末）如图，A地和B地都是海上观测站，B地在A地正东方向，且A、B两地相距2海里．从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船C，同时，从B地发现船C在它的北偏东30°方向．
（1）在图中画出船C所在的位置；（要求用直尺与量角器作图，保留作图痕迹）
（2）已知三角形的内角和等于180°，求∠ACB的度数；
（3）此时船C与B地相距　2　海里．（只需写出结果，不需说明理由）

【考点】方向角；平行线的性质；三角形内角和定理；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；应用意识．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝30°；
（3）由（2）知，
∠CAB＝∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝2，
答：船C与B地相距2海里，
故答案为：2．

【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，方位角的画法，解答此题的关键是熟知方向角的描述方法，即用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西，偏多少度．
21．（2019秋•越秀区期末）已知数轴上A，B两点对应的数分别为﹣2和8，P为数轴上一点，对应的数为x．
（1）线段PA的长度可表示为　|x+2|　（用含x的式子表示）．
（2）在数轴上是否存在点P，使得PA﹣PB＝6？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）当P为线段AB的中点时，点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度，每秒2个单位长度，每秒1个单位长度沿数轴正方向运动？试问经过几秒，PB＝2PA？
【考点】数轴；列代数式；一元一次方程的应用．
【专题】整式；一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）根据点A，P对应的数，利用数轴上两点间的距离公式可用含x的式子表示出线段PA的长；
（2）分x＜﹣2，﹣2≤x≤8及x＞8三种情况，由PA﹣PB＝6，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由点A，B对应的数及点P为线段AB的中点，可得出点P对应的数为3，当运动时间为t秒时，PA＝|5﹣2t|，PB＝t+5，由PB＝2PA，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A点对应的数为﹣2，P点对应的数为x，
∴PA＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|．
故答案为：|x+2|．
（2）当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣（8﹣x）＝6，方程无解；
当﹣2≤x≤8时，x+2﹣（8﹣x）＝6，
解得：x＝6；
当x＞8时，x+2﹣（x﹣8）＝6，方程无解．
答：存在符合题意的点P，此时x的值为6；
（3）∵P点为线段AB的中点，
∴P点对应的数为3．
当运动时间为t秒时，A点对应的数为3t﹣2，B点对应的数为2t+8，P点对应的数为t+3，
∴PA＝|t+3﹣（3t﹣2）|＝|5﹣2t|，PB＝|t+3﹣（2t+8）|＝t+5．
∵PB＝2PA，
∴t+5＝2|5﹣2t|，
即t+5＝10﹣4t或t+5＝4t﹣10，
解得：t＝1或t＝5．
答：经过1秒或5秒，PB＝2PA．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离公式，用含x的式子表示出线段PA的长；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
22．（2019秋•南沙区期末）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：
（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．

【考点】一元一次方程的应用；两点间的距离；作图—复杂作图．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观；推理能力．
【分析】（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时间t．
【解答】解：如图所示，

（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB；
（2）∵AB＝2，
∴BC＝3AB＝6，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD＝BC＝3，
∴AD＝AB+BD＝5．
答：线段AD的长度为5；
（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．
设点P的运动时间为t秒，
则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，
PB＝PA﹣PC
即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）
解得t＝6或．
但是当t＝时，PA﹣PC＝t﹣（8﹣t）＝2t﹣8＝﹣，不符合题意，舍去．
答：时间t为6．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、一元一次方程的应用、两点间的距离，解决本题的关键是根据图形和动点求值．
23．（2019秋•花都区期末）如图，射线OM上有三点A、B、C，OC＝45cm，BC＝15cm，AB＝30cm，已知动点P、Q同时运动，其中动点P从点O出发沿OM方向以速度2cm/s匀速运动，动点Q从点C出发沿CA方向匀速运动，当点Q运动到点A时，点Q停止运动（点P继续运动）．设运动时间为t秒．
（1）求点P运动到点B所用的时间；
（2）若点Q运动速度为每秒1cm，经过多少秒时，点P和点Q的距离为30cm；
（3）当PA＝2PB时，点Q恰好在线段AB的三等分点的位置，求点Q的速度．

【考点】一元一次方程的应用；两点间的距离．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）由时间＝，可求解；
（2）分相遇前和相遇后两种情况，列出方程可求解；
（3）分两种情况讨论，先求出OP的长，再分BQ＝AB或BQ＝AB讨论，即可求解．
【解答】解：（1）∵OC＝45cm，BC＝15cm，
∴OB＝60cm，
∴t＝＝30s；
（2）设经过x秒，点P和点Q的距离为30cm，
由题意可得：45+x＝2x+30，或45+15+30+30＝2x，
∴x＝15或60，
∴经过15秒或60秒，点P和点Q的距离为30cm；
（3）∵PA＝2PB，
∴90﹣OP＝2（60﹣OP），或90﹣OP＝2（OP﹣60），
∴OP＝30，或OP＝70，
当OP＝30cm，点Q的速度＝＝cm/s，或点Q的速度＝＝cm/s；
当OP＝70cm，点Q的速度＝＝cm/s，或点Q的速度＝＝1cm/s．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是利用分类讨论思想解决问题，不要漏解．
24．（2019秋•越秀区校级期末）某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20个），现从 A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每个70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一个书架，B超市的优惠政策为所有商品打八折．设购买书架a个．
（1）若规定只能到其中一个超市购买所有物品，请分别用含有a的代数式写出在 A、B两家超市购买所有物品所需的费用（要求：化简）；
（2）在什么情况下到两家超市购买所用价钱一样？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】销售问题；应用意识．
【分析】（1）根据优惠政策用含a的代数式分别表示A超市、B超市所需费用即可求解；
（2）根据两家超市购买所用价钱一样，列出一元一次方程．
【解答】解：（1）A超市所需的费用为：210×20+70（a﹣20）＝（70a+2800）元；
B超市所需的费用为：210×0.8×20+70×0.8a＝（56a+3360）元；
（2）由题意得：70a+2800＝56a+3360，
解得：a＝40．
答：购买40个书架时，到两家超市购买所用价钱一样．
【点评】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，理解A超市和B超市的优惠政策．
25．（2019秋•白云区期末）为提高公民社会责任感，保证每个纳税人公平纳税，调节不同阶层贫富差距，营造“纳税光荣”社会氛围，2019年我国实行新的《个人收入所得税征收办法》，将个人收入所得税的起征点提高至5000元（即全月个人收入所得不超过5000元的，免征个人收入所得税）；个人收入超过5000元的，其超出部分称为“应纳税所得额”，国家对纳税人的“应纳税所得额”实行“七级超额累进个人所得税制度”该制度的前两级纳税标准如下：
①全月应纳税所得额不超过3000元的，按3%的税率计税．
②全月应纳税所得额超过3000元但不超过12000元的部分，按10%的税率计税．
按照新的《个人收入所得税征收办法》，在2019年某月，如果纳税人甲缴纳个人收入所得税75元，纳税人乙当月收入为9500元，纳税人丙缴纳个人收入所得税110元．
（1）甲当月个人收入所得是多少？
（2）乙当月应缴纳多少个人收入所得税？
（3）丙当月个人收入所得是多少？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）直接利用纳税的标准进而得出甲当月个人收入所得；
（2）利用全月应纳税所得额超过3000元但不超过12000元的部分，按10%的税率计税，得出收入超过8000元后的纳税额；
（3）利用缴纳个人收入所得税110元，得出工资范围进而得出答案．
【解答】解：（1）∵3000×3%＝90（元），由甲缴纳个人收入所得税75元，
∴甲的当月个人收入所得小于5000+3000＝8000（元），
∴甲当月个人收入所得是：5000+75÷3%＝7500（元）；

（2）∵纳税人乙当月收入为9500元，
∴乙当月应缴纳个人收入所得税为：3000×3%+1500×10%＝240（元）；

（3）∵纳税人丙缴纳个人收入所得税110元，纳税超过90元，但纳税小于240元，即收入超过8000元，
∴设丙当月个人收入所得是x元，
则3000×3%+（x﹣8000）×10%＝110，
解得：x＝8200，
答：丙当月个人收入所得是8200元．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意掌握纳税的计算方式是解题关键．

考点卡片
1．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．
（2）方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．

【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
5．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
6．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
7．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
8．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．

9．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
12．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
13．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
14．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
15．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
16．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
17．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
18．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
19．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
20．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
21．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
22．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
23．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
24．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
25．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
26．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
27．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
28．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
29．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．