河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题

郑州市2022年高中毕业年级第一次质量预测

文科数学试题卷

注意事项：

1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准者证号填写在答题卡上．
2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号． 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上． 写 在本试卷上无效．
3. 考试结東后， 将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 ， 则 的子集的个数为
   A． 4
   B． 6
   C． 7
   D． 8
2. 设复数 满足 ， 其中 为虚数单位， 在复平面内， 复数 对应的点位于
   A． 第一象限
   B． 第二象限
   C． 第三象限
   D． 第四象限
3. 设等比数列 的前 项和为 ， 若 ， 则公比 等于
   A． 5
   B． 4
   C． 3
   D． 2
4. 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，以 为基底， 则 可表示

A．
B．
C．
D．

5. 已知命题 ； 命题 ， 则下列命 题中为真命题的是
   A．
   B．
   C．
   D．
6. 已知双曲线 的渐近线方程为 ， 则此双曲线的离心 率为
   A．
   B．
   C．
   D．
7. 已知函数 ， 设这三个函数的增长速度为 ， ， 当 时， 则下列选项中正确的是
   A．
   B．
   C．
   D．
8. 已知函数 的部分图象如图所示， 则下列说法 锠误的是

A．函数
B． 函数 的图象关于 中心对称

 C． 函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到

 D． 函数 在 上单调递减

9. 已知函数 的定义域为 ， 且 不恒为 0 ， 若 为偶函数， 为奇 函数， 则下列选项中一定成立的是
   A．
   B．
   C．
   D．
10. 许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体． 正二十面体 的每一个面均为等边三角形， 共有 12 个顶点、 30 条棱． 如图所示， 由 正二十面体的一个顶点 和与 相邻个顶点可构成正五棱锥 ， 则 与面 所成角的余弦值约为 （参 考数据： )

A．
B．
C．

D．

11. 年 12 月 8 日， 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 (单 位： m)， 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一． 如图是三角高程测量法的一个示意图， 现有 三点， 且 在同一水平面上的投影， 滿 足 ， 由 点测得 点的仰角为 ． ， 与 的差为 100 ； 由 点溡得 点的仰角为 ， 则 两 点到水平面 的高度差 为

A．
B．
C．
D．

12. 函数 ， 给出下列四个结论：

①若 恰 有 2 个零点；
②存在负数 ， 使得 恰有个 1 零点；
③存在负数 ， 使得 佮有个 3 零点；
④存在正数 ， 使得 恰有个 3 零点．
其中正确命题的个数为
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4

13. 已知实数 满足条件： 则 的最大值为________．
14. 甲、乙、丙三位同学打算利用假期外出游览， 约定每人从峝山少林寺、黄河游览区这 两处橸点中任选一处， 那么甲、乙两位同学佮好选取同一处景点的概率是________．
15. 已知一张纸上画有半径为 4 的圆 ， 在圆 内有一个定点 ， 且 ， 折叠纸片， 使圆上某一点 刚好与 点重合， 这样的每一种折法， 都留下一条直线折痕， 当 取遍圆 上所有点时， 所有折痕与 的交点形成的曲线记为 ， 则曲线 上的点到圆 上的点的 最大距离为________．
16. 已知一圆柱的轴截面为正方形， 母线长为 ， 在该圆柱内放畳一个棱长为 的正四 面体， 并且正四面体在该圆柱内可以任意转动， 则 的最大值为________．

三、解答題： 共 70 分． 解答应写出文字说明、证明过程或验算步㻖． 第 题为必考 题，每个试题考生都必须作答． 第 题为选考题， 考生根据要求作答．
(一) 必考题 ： 60 分

17. (本小题满分 12 分)
    2021 年 5 月习近平总书记到南阳的医圣祠考察， 总书记说， 过去中华民族几千年都是 靠中医药治病救人，特别是经过抗击新冠肺炎疫情、非典等重大传染病之后， 我们对中医药 的作用有了更深的认识， 我们要发展中医药， 注重用现代科学解读中医药学原理， 走中西医 结合的道路． 某农科所实地考察， 研究发现某地适合种植甲、乙两种药材， 通过大量考察研究 得到如下统计数据： 药材甲的亩产里约为 300 公斤， 其收购价格处于上涨趋势， 最近五年的 价格如下表：

药材乙的收购价格始终为 21 元/公斤， 其亩产量的频率分布直方图如下：

(I) 若药材甲的单价 (单位： 元/公斤) 与年份编号 具有线性相关关系， 请求出 关
的线性回归方程， 并估计 2022 年药材甲的单价；

(II) 用上述频率分布直方图估计药材乙的平均亩产量， 若不考虑其他因素， 试判断 2022 年该地区种植哪种药材收益更高? 并说明理由．
附： 回驲方程 中， ．

18. (本小题满分 12 分)
    如图， 为直角三角形， 分别为 中点， 将 沿 折起， 使点 到达点 ， 且 ．

(I) 求证： 面 面 ；
(II) 求点 到平面 的距离．

19. (本小题满分 12 分)
    已知等差数列 的公差为 ， 前 项和为 ， 现给出下列三个条件： ① 、 成等比数列，②，③． 请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．
    (I) 求 的通项公式；
    (II) 若 ， 且 ， 求数列 的前 项和 ．
20. (本小题满分 12 分)
    已知函数 ．
    (I) 若 ， 求曲线 在点 处的切线方程，
    (II) 若 在 处取得极值， 求 的单调区间及其最大值与最小值．
21. (本小题满分 12 分)
    在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 拋物线 上不同两点 ， 满足 ．
    (I) 求抛物线 的标准方程；
    (II) 若直线 与抛物线 相切于点 与椭圆 相交于 两点， 与直 线 交于点 ， 以 为直径的圆与直线 交于 两点． 求证： 直线 经过 线段 的中点．

(二)选考题

请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑．如果多做，按所做的第一题计分，

22. [选修：坐标系与参数方程] (10 分)
    在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)． 以坐标原点为极 点， 轴正半牰为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
    (I) 若 ， 求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程
    (II)设点 的直角坐标系下的坐标为 ， 直线 与曲线 交于 两点， 且 ， 求直线 的倾斜角．
23.  [选修：不等式选讲] (10 分)
    已知 均为正数，且满足 ．
    (I)证明：
    （II)证明： ．

郑州市2022届高三第一次质量检测

文科数学 评分参考

一、选择题

1-5：DCDCB        6-10：ABDBD       11-12：BC

二、填空题

13. 14.  15.3； 16.2.

17.解　(1)＝＝3，=

所以＝.......................................3分

又因为＝＋，即23＝3.3×3＋，解得＝13.1，.......................................4分

所以＝3.3x＋13.1；当x＝6时，＝32.9........................................6分

(2)360×0.1＋380×0.2＋400×0.35＋420×0.25＋440×0.1＝401.

若种植甲种药材每亩地的收入约为32.9×300＝9870，

若种植乙种药材每亩地的收入约为401×21＝8 421<9870，

所以应该种植甲种药材．.......................................12分

18.解：(1)连接，为直角三角形，

       、分别为、中点，      ........................................2分

       ......................4分

...............................6分

（2）

  ......................................8分

由（1）得

....................................10分

.......................................12分

19.解：①：因为、、成等比数列，则，即，

因为，可得.

②即.

③，可得，可得.

若选①②，则有，可得，则；

若选①③，则，则；

若选②③，则，可得，所以，...............4分

（2）解：，且

所以，当时，则有

，则，

所以，当时，则有

，

也满足，故对任意的，，.........................8分

则，

所以，..................12分

20.解：（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；........4分

（2）因为，则，

由题意可得，解得，....................................8分

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为，，单调递减区间为....................10分

当时，；当时，..........................11分

所以，，..................12分

21.解：（1）由题意得：.....4分

设，故直线AB的斜率为.............7分

设两式相减可得

设中点，则...................10分

.............11分

故直线..............................12分

22. 解：（1）当时，直线的参数方程为(为参数)，

的普通方程为.

又因为，所以，所以，

所以曲线的直角坐标方程为...........................5分

（2）将代入中，

得，

设对应的参数分别为,所以，

，所以，所以，

又因为，所以或，

所以直线倾斜角为或.....................................10分

23.证明：（1）当且仅当，，时等号成立，

即证：...................................5分

（2）由柯西不等式得：

故

当且仅当，，时等号成立   即证：................10分.