高二（上）期末模拟测试卷（B卷 能力提升）

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高二（上）期末模拟测试卷（B卷 能力提升）考试时间：120分钟   满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（     ）A.     B.     C.      D. 且【答案】C【详解】表示焦点在轴上的椭圆    ，解得：故选：2. 下列四个命题为真命题的是A. “若，则互为相反数”的逆命题；B. “全等三角形的面积相等” 的否命题；C. “若，则无实根”的逆否命题；D. “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；【答案】A【解析】选项的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，不全等三角形的面积也可以相等，为假命题；选项的逆否命题为“若有实根，则”，当有实根，则，解得，可知为假命题；选项的逆命题为“若三角形的三个内角相等，则该三角形是不等边三角形”，显然为假命题.本题正确选项：3. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题,“不破楼兰终不还”意味着如果“返回家乡”,则一定“攻破楼兰”；但“攻破楼兰”后,否还有其他任务,诗句中并未提及,无法判断此时可否“返回家乡”；故选:B4. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．5. 如图图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知，，在上任取一点，则此点取自正方形的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】设，因为，所以，即，解得，设在任取一点，则此点取自正方形的事件为，由几何概型概率公式可得，.故选A.6. 已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（　　）A. （1，） B. （1，2）C. （1，2] D. （1，]【答案】D【解析】设的内切圆的半径为，则，因为，所以,由双曲线的定义可知，所以，即，又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，故选D．7. 试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为　　A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为．过点P作于点，由定义可得所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时．故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A．8. 已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边､､的中点分别为､､，且三条边所在直线的斜率分别为､､，且､､均不为0.为坐标原点，若直线､､的斜率之和为1.则（    ）A.  B. -3 C.  D. 【答案】A【解析】因为椭圆的右焦点为，且离心率为，所以，解得 ，所以椭圆方程为：，设 ，则，两式相减得：，即，同理，又直线､､的斜率之和为1，所以，故选：A二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）9．若是的充分不必要条件，则实数的值可以是　A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【解析】：由，解得．又是的充分不必要条件，，，，则．实数的值可以是2，3，4．故选：．10．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为　　A． B． C． D．【答案】【解析】：当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为，把点代入可得，或，求得，或，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或．故选：．11. 已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（    ）A．的周长为12   B．   C．点P到x轴的距离为 D．【答案】. BCD【详解】由椭圆方程知，所以，所以，于是的周长为，故A选项错误；在中，由余弦定理可得，所以，解得，故，故B选项正确；设点到轴的距离为，则，所以，故C选项正确；，故D选项正确．12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：A.曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；B. 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；C.曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.D. ①②③都不对其中，所有正确结论序号是A. ① B. ② C. ①② D. ①②③【答案】AB【解析】由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论A正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论B正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法C错误. 二､填空题13. 抛物线的准线方程为________．【答案】【解析】因为抛物线的标准方程为：，因此其准线方程为：.故答案为【点睛】本题主要考查抛物线的准线，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14．若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由得，曲线C1表示以为圆心以1为半径的上半圆，显然直线与曲线C1有两个交点，交点为半圆的两个端点，∴直线与半圆有2个除端点外的交点，当直线经过点时，，当直线与半圆相切时，，解得或（舍去）所以时，直线与半圆有2个除端点外的交点，故答案为：15．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是______.【答案】【解析】由已知得，故，∵的面积为，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范围为.故答案为16. 过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若，O为坐标原点，则________.【答案】【解析】过A作AE⊥准线，过B作BG⊥准线，过A作AD⊥BG交BG于点D，交y轴于点C设|AF|＝x，则|BF|＝3x，F（0，），准线：y＝﹣，根据抛物线性质得：|AE|＝|AF|＝x，|BG|＝|BF|＝3x，|AB|＝x+3x＝4x，|BD|＝3x﹣x＝2x，|FC|＝p﹣x，由图可知：，即，解得x＝，则．故答案为：
三､解答题17. （1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线=1有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程.【答案】（1）或.；（2）.【解析】【分析】（1）分别讨论焦点在轴上，焦点在轴上，两种情况，根据题中条件，分别求解，即可得出结果；（2）根据题中条件，设双曲线标准方程为，点在双曲线上， 直接代入，求出，即可得出结果.【详解】（1）若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：，由长轴长知：，；由焦距知：，，解得：；椭圆标准方程为：；若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为：，同焦点在轴上，可得，，所以椭圆方程为；综上，所求椭圆方程为或.（2）所求双曲线与双曲线=1有共同的渐近线，可设双曲线标准方程为，又过点，所以，解得，所以即所求.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查求双曲线的标准方程，属于基础题型.18. 已知命题，，命题实数满足：方程表示双曲线． 1若命题为真命题，求实数的取值范围；2若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】1，恒成立，可得，从而求得m的范围；2由“p或q”为假命题，可得p，q均为假命题，求出当q为真命题时m的范围，再由交集与补集的运算求解．【详解】1，恒成立，，解得，实数m的取值范围是；2“p或q”为假命题，，q均为假命题，当q为真命题时，则，解得或．为假命题时，．由知，p为假命题时．从而，即．实数m的取值范围为．【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的横坐标为，．（1）求抛物线的方程；（2）设过焦点且倾斜角为交抛物线于两点，求线段的长．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由题意得，求出，即可得出抛物线方程；（2）先由题意，得到直线的方程为，与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公式，即可得出结果.【详解】（1）由题意得，∴，故抛物线方程为．（2）直线的方程为，即．与抛物线方程联立，得，消，整理得，其两根为，且．由抛物线的定义可知，．所以，线段的长是．【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的焦点弦公式即可，属于常考题型.20.已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．（1）求双曲线C的标准方程；（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）直线l不存在．详见解析【解析】（1）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，设双曲线方程为：，过点，可得，所求双曲线方程为：．（2）假设直线l存在．设是弦MN的中点，且，，则，．，N在双曲线上，，，，，直线l的方程为，即，联立方程组，得，直线l与双曲线无交点，直线l不存在．21.已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．【解析】(1)设直线，，，．∴由得，∴，．∴直线的斜率，即．即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（2）四边形能为平行四边形．∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．∴由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即∴．解得，．∵，，，∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．22. 如图，椭圆经过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，结合即得解；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，设，，用点坐标表示，韦达定理代入即得解.【详解】（1）由题设知，，结合，解得.所以椭圆的方程为.（2）由题设知，直线的方程为，代入，得.由已知，设，，，则，，从而直线的斜率之和.所以直线斜率之和为定值2.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.