2020-2021学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷

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2020-2021学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）9的平方根是　　A．3 B． C． D．2．（2分）如图所示，中边上的高线是　　A．线段 B．线段 C．线段 D．线段3．（2分）如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是　　A． B． C． D．4．（2分）下列事件中，属于不确定事件的是　　A．科学实验，前10次实验都失败了，第11次实验会成功 B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点 C．太阳从西边升起来了 D．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形5．（2分）下列垃圾分类的标志中，是轴对称图形的是　　A． B． C． D．6．（2分）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有，，和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取　　A． B． C． D．7．（2分）下列命题的逆命题是假命题的是　　A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等8．（2分）如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为　　A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）的倒数为　　．10．（2分）如果分式的值为0，那么的值是　　．11．（2分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为　　．12．（2分）请写出一个大于3的无理数　　．13．（2分）对于任意两个实数、，定义运算“☆”为：☆．如3☆，根据定义可得4☆　　．14．（2分）如图，三角形纸片中，，，．在边上取一点，以为折痕，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为　　．15．（2分）学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确：　　，你的理由是　　．16．（2分）如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是　　，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是　　．三、解答题（本题共47分，第17、18每小题6分，其他每小题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（6分）计算：（1）；（2）．18．（6分）计算：（1）；（2）．19．（5分）解方程：．20．（5分）已知：，求代数式的值．21．（5分）阅读材料，并回答问题：问题：（1）上述计算过程中，从　　步开始出现错误（填序号）；（2）发生错误的原因是：　　；（3）在下面的空白处，写出正确解答过程．22．（5分）已知：如图，．请添加一个条件　　，使得，然后再加以证明．23．（5分）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线的垂线，使它经过点．作法：如图2，①以为圆心，大于到直线的距离为半径作弧，交直线于、两点；②连接和；③作的角平分线，交直线于点；④作直线．直线就是所求的直线．根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：平分．．又　　，．　　（填推理依据）．　　（填推理依据）．又，．．24．（5分）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．25．（5分）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．四、解答题（本题共21分，每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤26．（7分）如果实数，满足的形式，那么和就是“智慧数”，用表示．如：由于，所以是“智慧数”．（1）下列是“智慧数”的是　　（填序号）①和6，②和，③和．（2）如果是“智慧数，”那么“☆”的值为　　；（3）如果是“智慧数”．①与之间的关系式为　　；②当时，的取值范围是　　；③在②的条件下，随的增大而　　．（填“增大”，“减小”或“不变” 27．（7分）阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△中，，平分，，，求的长．小明的想法：因为平分，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在边上取点，使，并连接（如图．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①和的关系是　　，判断的依据是　　；②是　　三角形；③的长为　　．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在中，，，平分，，，求的长．28．（7分）已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点在的下方，作射线交直线于点，连接．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果①　　，　　；（用含有代数式表示）②用等式表示线段，与的数量关系，并证明；（3）如图2，如果，直接写出线段，与的数量关系，不证明．2020-2021学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）9的平方根是　　A．3 B． C． D．【解答】解：9的平方根是．故选：．2．（2分）如图所示，中边上的高线是　　A．线段 B．线段 C．线段 D．线段【解答】解：由图可得，中边上的高线是，故选：．3．（2分）如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是　　A． B． C． D．【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，，解得，，故选：．4．（2分）下列事件中，属于不确定事件的是　　A．科学实验，前10次实验都失败了，第11次实验会成功 B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点 C．太阳从西边升起来了 D．用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形【解答】解：、科学实验，前10次实验都失败了，第11次实验会成功，是随机事件，属于不确定事件；、投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点，是不可能事件；、太阳从西边升起来了，是不可能事件；、用长度分别是，，的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形是必然事件；故选：．5．（2分）下列垃圾分类的标志中，是轴对称图形的是　　A． B． C． D．【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、是轴对称图形，故本选项符合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意；、不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：．6．（2分）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有，，和四种规格，小朦同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取　　A． B． C． D．【解答】解：设第三根木棒的长为，已经取了和两根木棍，，即．四个选项中只有不在其范围内，符合题意．故选：．7．（2分）下列命题的逆命题是假命题的是　　A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等【解答】解：、逆命题为：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；、逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；、逆命题为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，是真命题，不符合题意，故选：．8．（2分）如图，每个小方格的边长为1，，两点都在小方格的顶点上，点也是图中小方格的顶点，并且是等腰三角形，那么点的个数为　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当为腰时，点的个数有2个；当为底时，点的个数有1个，故选：．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）的倒数为　　．【解答】解：的倒数是，故答案为：．10．（2分）如果分式的值为0，那么的值是　3　．【解答】解：分式的值为0，，解得：．故答案为：3．11．（2分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为　　．【解答】解：根据题意可得：大于2的有3，4，5三个球，共5个球，任意摸出1个，摸到大于2的概率是．故答案为：．12．（2分）请写出一个大于3的无理数　　．【解答】解：由题意可得，，并且是无理数．故答案为：．13．（2分）对于任意两个实数、，定义运算“☆”为：☆．如3☆，根据定义可得4☆　　．【解答】解：4☆．故答案为：．14．（2分）如图，三角形纸片中，，，．在边上取一点，以为折痕，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为　3　．【解答】解：由勾股定理得，，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，由勾股定理得，，，故答案为：3．15．（2分）学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确：　不正确　，你的理由是　　．【解答】解：当腰为5时，周长；当腰长为2时，因为，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．故答案为：不正确，，2，2，5不构成三角形．16．（2分）如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是　分式的基本性质　，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是　　．【解答】解：如图是小华对“分式运算与解分式方程”这部分知识的梳理：其中，图中（①）“通分”的依据是分式的基本性质，图中（②）“将分式方程转化为整式方程”的具体方法是方程左右两边都乘以各分母的最简公分母．故答案为：分式的基本性质；方程左右两边都乘以各分母的最简公分母．三、解答题（本题共47分，第17、18每小题6分，其他每小题6分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（6分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）．（2）．18．（6分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式；（2）原式．19．（5分）解方程：．【解答】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．20．（5分）已知：，求代数式的值．【解答】解：原式，原式．21．（5分）阅读材料，并回答问题：问题：（1）上述计算过程中，从　③　步开始出现错误（填序号）；（2）发生错误的原因是：　　；（3）在下面的空白处，写出正确解答过程．【解答】解：（1）上述计算过程中，从第③步开始出现错误，故答案为：③；（2）发生错误的原因是把分式的分母去掉了，故答案为：分式的分母去掉了；（3）．22．（5分）已知：如图，．请添加一个条件　，　，使得，然后再加以证明．【解答】解：由题意，，根据，可以添加，使得，根据，可以添加，使得，故答案为：，．23．（5分）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线及直线外一点．求作：直线的垂线，使它经过点．作法：如图2，①以为圆心，大于到直线的距离为半径作弧，交直线于、两点；②连接和；③作的角平分线，交直线于点；④作直线．直线就是所求的直线．根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；（2）补全下面证明过程：证明：平分．．又　　，．　　（填推理依据）．　　（填推理依据）．又，．．【解答】解：（1）如图所示，直线即为所求．（2）证明：平分．．又，．（填推理依据）．（全等三角形的对应角相等）（填推理依据）．又，．．故答案是：；；全等三角形的对应角相等．24．（5分）如图，中，，，是边上一点，且，若．求的长．【解答】解：过点作于点，如图所示．，，，．，，．在中，，，即，，．又，，．25．（5分）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．【解答】解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则原来的燃油汽车所需的油费为元，由题意得，解得：经检验为原方程的解答：纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元．四、解答题（本题共21分，每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤26．（7分）如果实数，满足的形式，那么和就是“智慧数”，用表示．如：由于，所以是“智慧数”．（1）下列是“智慧数”的是　①③　（填序号）①和6，②和，③和．（2）如果是“智慧数，”那么“☆”的值为　　；（3）如果是“智慧数”．①与之间的关系式为　　；②当时，的取值范围是　　；③在②的条件下，随的增大而　　．（填“增大”，“减小”或“不变” 【解答】解：（1）①，，和6是“智慧数”；②，，和不是“智慧数”；③，，和是“智慧数”．故是“智慧数”的是①③．故答案为：①③；（2）依题意有☆☆，解得☆．故答案为：；（3）①依题意有，则与之间的关系式为．故答案为：；②，，，或，解得．故的取值范围是．故答案为：；③，当时，随的增大而增大．故答案为：增大．27．（7分）阅读材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△中，，平分，，，求的长．小明的想法：因为平分，所以可利用“翻折”来解决该问题．即在边上取点，使，并连接（如图．（1）如图2，根据小明的想法，回答下面问题：①和的关系是　　，判断的依据是　　；②是　　三角形；③的长为　　．（2）参考小明的想法，解决下面问题：已知：如图3，在中，，，平分，，，求的长．【解答】解：（1）如答图1，①在与中，，；②由①知，，，，，，，，是等腰三角形；③由①知，，则，．又，．．故答案是：①；；②等腰；③5.8；（2）中，，，，平分，，如答图2，在边上取点，使，连接，则，，，，在边上取点，使，连接，则，，，，，，，．28．（7分）已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边作等边，使得点在的下方，作射线交直线于点，连接．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果①　　，　　；（用含有代数式表示）②用等式表示线段，与的数量关系，并证明；（3）如图2，如果，直接写出线段，与的数量关系，不证明．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）①线段与线段关于直线对称，，垂直平分线段，，是等边三角形，，，，，．故答案是：；；②结论：．理由：在上截取，使得，连接，．，，，，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，即；（3）结论：．理由：如图3，在射线上截取，使得，连接，．，，，，是等边三角形，，，，，，在和中，，，，，即．小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：解：①②③④小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：解：①②③④