知识讲解_对数及对数运算_基础练习题

对数及对数运算

【学习目标】

1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；

2．了解常用对数与自然对数的意义；

3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；

4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．

5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．

【要点梳理】

要点一、对数概念

1．对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

要点诠释：

对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR．

2．对数具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即；

（2）1的对数为0，即；

（3）底的对数等于1，即．

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， ．

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．

要点二、对数的运算法则

已知

（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

推广：

（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2（-3）与log2（-5）是不存在的．

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

loga（MN）=logaMlogaN，

loga（M·N）=logaM·logaN，

loga．

要点三、对数公式

1．对数恒等式：

2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:

（1）

令 logaM=b， 则有ab=M，  （ab）n=Mn，即， 即，即:．

（2），令logaM=b， 则有ab=M， 则有

即， 即，即

当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:

．

【典型例题】

类型一、对数的概念

例1．求下列各式中的取值范围：

（1）；（2）；（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）且

【解析】（1）由题意，，即为所求．

（2）由题意

即．

（3）由题意

解得且．

【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．

举一反三：

【变式1】函数的定义域为          ．

【答案】

类型二、指数式与对数式互化及其应用

例2．将下列指数式与对数式互化：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

【解析】运用对数的定义进行互化．

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．

举一反三：

【变式1】求下列各式中x的值：

（1）   （2）   （3）lg1000=x   （4）

【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．

【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x．

（1）；

（2）；

（3）10x=1000=103，于是x=3；

（4）由．

【高清课堂：对数及对数运算369068例1】

【变式2】计算：并比较．

【解析】

    ．

类型三、利用对数恒等式化简求值

例3．不用计算器计算：

【答案】

【解析】原式

【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．

举一反三：

【变式1】求的值（a，b，c∈R+，且不等于1，N>0）

【答案】

【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．

．

类型四、积、商、幂的对数

【高清课堂：对数及对数运算369068 例3】

例4． 表示下列各式

【解析】（1）；

（2）；

（3）；

（4）=．

【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．

举一反三：

【变式1】求值

（1） 　　（2）lg2·lg50+（lg5）2     （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2

【答案】（1）22；（2）1；（3）2．

【解析】（1）

（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1

（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2

       =2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．

类型五、换底公式的运用

例5．已知，求．

【答案】

【解析】

解法一：，，

于是．

解法二：，，

于是

解法三：，，

．

解法四：，

又．

令，则，

即

．

【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．

（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．

（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．

举一反三：

【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】（1）

      ；

（2）；

（3）法一：

法二：．

类型六、对数运算法则的应用

例6．（2016春 陕西期中）计算

（1）

（2）

（3）

（4）

【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可．

【答案】（1）；（2）0；（3）3；（4）44．

【解析】（1）

（2）原式=

=

（3）原式=

（4）．

举一反三：

【变式1】计算下列各式的值

（1）；（2）．

【答案】（1）3；（2）1．

【解析】（1）原式==2=2+1=3；

（2）原式=+=

         =．

【变式2】已知，则    ．

【思路点拨】判断出，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解．

【答案】3

【解析】∵，

∴，

故答案为：3