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    知识讲解_指数与指数幂的运算_提高练习题

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    知识讲解_指数与指数幂的运算_提高练习题

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    这是一份知识讲解_指数与指数幂的运算_提高练习题,共9页。
    指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n次方根,n次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算; (2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化;(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.掌握无理指数幂的概念,将指数的取值范围推广到实数集;3.通过指数范围的扩大,我们要能理解运算的本质,认识到知识之间的联系和转化,认识到符号化思想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力;4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识,能学会透过表面去认清事物的本质.【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念2.运算法则(1)(2)(3)(4).要点二、根式的概念和运算法则1.n次方根的定义:若xn=y(nN*,n>1,yR),则x称为y的n次方根.n为奇数时,正数y的奇次方根有一个,是正数,记为;负数y的奇次方根有一个,是负数,记为;零的奇次方根为零,记为n为偶数时,正数y的偶次方根有两个,记为;负数没有偶次方根;零的偶次方根为零,记为.2.两个等式(1)当时,(2)要点诠释:要注意上述等式在形式上的联系与区别;计算根式的结果关键取决于根指数的取值,尤其当根指数取偶数时,开方后的结果必为非负数,可先写成的形式,这样能避免出现错误.要点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论,我们约定a>0,n,mN*,且为既约分数,分数指数幂可如下定义:要点四、有理数指数幂的运算1.有理数指数幂的运算性质(1) (2) (3)当a>0,p为无理数时,ap是一个确定的实数,上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释:(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质,将根式转化为分数指数幂运算;(2)根式运算中常出现乘方与开方并存,要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如(3)幂指数不能随便约分.如.2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的;无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数,先要化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数运算性质.在化简运算中,也要注意公式:a2b2=(ab)(ab),(a±b2a2±2abb2,(a±b3a3±3a2b3ab2±b3a3b3=(ab)(a2abb2),a3b3=(ab)(a2abb2的运用,能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.计算:(1)(2).【答案】【解析】对于(1)需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质求解.对于(2),则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.(1)=+-==||+||-||=+-(=2        (2)            =           =           =【总结升华】 对于多重根式的化简,一般是设法将被开方数化成完全次方,再解答,或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时,将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可,如本例(2)中,的分子、分母中同乘以.举一反三:【变式1】化简:(1)(2)【答案】(1);(2)类型二、指数运算、化简、求值例2.用分数指数幂形式表示下列各式(式中):(1);(2);(3);(4)【答案】【解析】先将根式写成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质化简即可。(1)(2)(3)(4)解法一:从里向外化为分数指数幂=====解法二:从外向里化为分数指数幂。  =====【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外或由外向里,用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简。举一反三:【高清课堂:指数与指数运算369050 例1】【变式1】把下列根式用指数形式表示出来,并化简(1)【答案】(1);(2)【变式2】把下列根式化成分数指数幂:(1);(2);(3);(4)【答案】【解析】(1)= (2)(3)(4)=    =例3.计算:(1)(2)(3)【答案】3;0;2【解析】(1)原式=   (2)原式=   (3)原式=-5+6+4--(3-)=2;【总结升华】(1)运算顺序(能否应用公式);(2)指数为负先化正;(3)根式化为分数指数幂.举一反三:【变式1】计算下列各式:(1);  (2).【答案】(1)112 (2)【解析】(1)原式=(2)原式.例4.化简下列各式.12;  (3.【答案】;0.09【解析】(1)即合并同类项的想法,常数与常数进行运算,同一字母的化为该字母的指数运算;(2)对字母运算的理解要求较高,即能够认出分数指数的完全平方关系;(3)具体数字的运算,学会如何简化运算.(1)原式(2)(3)举一反三:【变式1】化简【答案】【解析】应注意到之间的关系,对分子使用乘法公式进行因式分解,原式.【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质;(2)被开方数分母为1,且不含非正整数指数幂;(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式2】化简下列式子:(1)  (2)  (3)【答案】【解析】(1)原式(2)由平方根的定义得:(3).【高清课堂:指数与指数运算369050 例4】例5.已知,求的值。【答案】【解析】从已知条件中解出的值,然后代入求值,这种方法是不可取的,而应设法从整体寻求结果与条件的联系,进而整体代入求值。    ==【总结升华】对于条件求值问题一定要弄清已知与未知的联系,然后采用整体代换化简后代换方法求值。本题的关键是先求的值,然后整体代入。举一反三:【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数),求8x+8-x的值.(2)已知x+y=12, xy=9,且x<y,求的值.【答案】【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3(2) x+y=12, xy=9, (x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. x<y, x-y=代入(1)式得:.【总结升华】(1)对幂值的计算,一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂,再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.(2)一般不采用分别把x, y, 2x的值求出来代入求值的方法,应先将原式进行分母有理化,并用乘法公式变形,把2x+2-xx+yxy整体代入后再求值.【变式2已知,求的值.【答案】【解析】 x0 62016 甘肃期末)(1)已知,求的值.2)化简【思路点拨】1)化简所求表达式,利用已知条件求解即可.2)利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可.【答案】13;(2【解析】1        2【总结升华】本题考查对数运算法则的应用,有理指数幂的运算法则的应用,考查计算能力. 

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