知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 基础

《函数》全章复习与巩固

【学习目标】

1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；

4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；

5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；

6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：关于函数的概念

1．两个函数相等的条件

用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．

2．函数的常用表示方法

函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

3．映射

设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．

4．函数的定义域

函数的定义域是自变量的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：

（1）已知得函数表达式，求定义域；

（2）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；

（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围．

5．函数的值域

由函数的定义知，自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域．

函数值域的求法：

（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；

（2）形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域（注意）；

（3）形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为；

（4）形如（中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．

6．函数的解析式

函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．

求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出．

要点二：函数的单调性

（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．

（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．

（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．

与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．

要点三：函数的奇偶性

（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．

（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．

（3）奇、偶性图象的特点

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．

要点四：图象的作法与平移

（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；

（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；

（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．

要点五：一次函数和二次函数

1．一次函数

，其中．

2．二次函数

二次函数，通过配方可以得到决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为，对称轴方程为．

对于二次函数．

当时，的图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递减的，在上是单调递增的；当时，函数取得最小值．

当时，的图象开口向下；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值．

要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）

（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；

（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；

（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；

（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．

     求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

要点七：函数与方程

（1）对于函数，我们把使得实数叫做函数的零点．

（2）确定函数的零点，就是求方程的实数根．

（3）一般地，如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．

（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法来说，我们可以将它与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．

判断函数在某区间有零点的依据：

对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．

对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．

（5）在实数范围内，二次函数的零点与二次方程的根之间有密切关系．

①，方程有两个实根，其对应二次函数有两个零点；

②，方程有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；

③，方程无根，其对应二次函数无零点．

【典型例题】

类型一：映射

例1．设集合，f是A到B的映射，并满足．

（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；

（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；

（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．

【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．

【解析】

（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，

于是，解得或，

∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．

（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），

应满足

由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0．  ③

当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．

∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．

（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．

【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．

举一反三：

【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】  D

 【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．

类型二：函数的概念及性质

【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】

例2．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有 (    )

A．            B．

  C．              D．

     【答案】D

     【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．

 【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．

 举一反三：

【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】奇函数有和,又是增函数的只有选项D正确．

【变式2】 定义在R上的偶函数f (x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】由题知，为偶函数，故，又知x∈[0，+∞）时，为减函数，且3＞2＞1，∴，即．故选A．

例3．设偶函数满足，则（    ）

A．{x|x＜－2或x＞4}    B．{x|x＜0或x＞4}

C．{x|x＜0或x＞6}      D．{x|x＜－2或x＞2}

【答案】  B

 【解析】  当x＜0时，－x＞0，

∴，

又是偶函数，

∴，

∴，

∴，

或．

解得x＞4或x＜0，故选B．

例4．设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（    ）

A．－2    B．－4    C．－8    D．不能确定

【答案】 B

【解析】 依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，选B项．

举一反三：

【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（    ）

A．[0，1]    B．[0，1）    C．[0，1）∪（1，4]    D．（0，1）

【答案】  B

 【解析】 要使有意义，则，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．

例5．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】 C

 【解析】 函数的定义域为[－3，1]．

又．

而，∴4≤y2≤8．

又y＞0，∴．∴，m=2．

∴．故选C项．

举一反三：

【变式1】（2016 上海青浦区二模）对于函数，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为________．

【答案】－4

【解析】若a＞0，由于，即x(ax+b)≥0，

∴对于正数b，f（x）的定义域为：，

但f（x）的值域，故D≠A，不合要求．

若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为．

由于此时，

故函数的值域．

由题意，有，

由于b＞0，所以a=－4．

故答案为：－4．

例6．（2016秋 河南金水区期中）已知函数．

（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；

（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．

【思路点拨】（1）当a=0时，函数f（x）=｜x(x－2)｜的图象如图所示，由函数的图象可得f（x）的增区间和减区间．

    （2）由题意可得函数f（x）的图象有4个零点，即函数的图象和直线y=a有4个交点，结合（1）中函数的图象可得a的范围．

【答案】（1）增区间为[0，1]、[2，+∞）；减区间为（－∞，0）、（1，2）；（2）0＜a＜1

【解析】（1）当a=0时，函数的图象如图所示：

由函数的图象可得f（x）的增区间为[0，1]、[2，+∞）；

减区间为（－∞，0）、（1，2）．

（2）若函数f（x）有4个零点，则函数f（x）的图象有4个零点，

即函数的图象和直线y=a有4个交点，

结合（1）中函数的图象可得0＜a＜1．

【总结升华】本题主要考查作函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想．

举一反三：

【变式1】直线y=1与曲线y=x2－|x|+a有四个交点，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】如图，作出y=x2－|x|+a的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得．

类型三：函数的零点问题

例7．若函数在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程在（－2，2）上仅有一个实根0，则的值（     ）

A．大于0   B．小于0    C．等于0    D．无法确定

【答案】D

【解析】根据连续函数零点的性质，若，则在（－1，1）内必有零点，即方程在（－1，1）内有根；反之，若方程在（－2，2）内有实根，不一定有，也有可能．

【总结升华】若，则在（－1，1）内必有零点，但当在（－1，1）内有零点时，却不一定总有．

举一反三：

【变式1】二次函数中，若ac＜0，则函数的零点个数是        个．

【思路点拨】有a•c＜0，可得对应方程的判别式，可得对应方程有两个不等实根，可得结论．

【答案】2

【解析】∵ ac＜0，∴ ，

∴对应方程有两个不等实根，故所求二次函数与x轴有两个交点．

故答案为：2

【总结升华】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．

根据偶函数的性质先求出a，b，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性．

【变式2】若函数有一个零点是2，那么函数的零点是       ．

【答案】

类型四：函数性质的综合应用

例8. 已知函数（x≠0，常数a∈R）．

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

【思路点拨】（1）对进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x1＜x2，则有恒成立，即可得的取值范围．

【解析】  （1）当a=0时，，对任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），，∴为偶函数．

当a≠0时，（a≠0，x≠0），

取x=±1，得，

∴，，

∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）解法一：设2≤x1＜x2，

，要使函数在x∈[2，+∞）上为增函数，必须恒成立．

∵x1－x2＜0，x1 x2＞4，即a＜x1 x2 (x1+ x2)恒成立．

又∵x1+ x2＞4，∴x1x2(x1+ x2)＞16．

∴a的取值范围是（－∞，16]．

解法二：当a=0时，，显然在[2，+∞）上为增函数．

当a＜0时，反比例函数在[2，+∞）上为增函数，

∴在[2，+∞）上为增函数．

当a＞0时，同解法一．

【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．

举一反三：

【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】

【变式1】已知函数，且f（1）=1．

（1）求实数k的值及函数的定义域；

（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

【解析】（1），，定义域为：．

（2）在（0，+∞）上任取，则

             =

所以函数在上单调递增．

类型五：函数的实际应用

例9．某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．

（Ⅰ）设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元．试求和．

（Ⅱ）问：小张选择哪家比较合算？为什么？

【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：(1)甲家每张球台每小时5元；(2)乙家按月计费，有标准；(3)比较哪家更合算问题．解决本题可先分别求出两家的解析式，从中找出x在不同的取值范围内，选择哪家的问题，建立函数模型，进而解决问题．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析

【解析】由题意，（Ⅰ）,

（Ⅱ）由得或

即或 (舍)．

当时，,

,即选甲家．

当时，,即选甲家和乙家都可以．

当时，, 

,即选乙家．

当时，,

,即选乙家．

综上所述:当时，选甲家;当时，选甲家和乙家都可以；

当时，选乙家．

【总结升华】本题考查生活中的实际问题，需要建立数学模型，转化为数学问题．关键是分段进行讨论．

举一反三：

【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？

【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值．

【答案】4

【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，

则 

      ，

当且仅当，即n=4时，y取得最小值且ymin=4000+c．

所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．

【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+∞）上的单调性求最值．