知识讲解_指数函数、对数函数、幂函数综合_基础练习题

指数函数、对数函数、幂函数综合

【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．

3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．

6．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）．

【知识框图】

【要点梳理】

要点一：指数及指数幂的运算

1．根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为．

负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．

式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．

2．n次方根的性质：

（1）当为奇数时，；当为偶数时，

（2）

3．分数指数幂的意义：

；

要点诠释：

0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义．

4．有理数指数幂的运算性质：

（1）        （2）        （3）

要点二：指数函数及其性质

1．指数函数概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为．

2．指数函数函数性质：

要点三：对数与对数运算

1．对数的定义

（1）若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．

（2）负数和零没有对数．

（3）对数式与指数式的互化：．

2．几个重要的对数恒等式

，，．

3．常用对数与自然对数

常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．

4．对数的运算性质

如果，那么

①加法：

②减法：

③数乘：

④

⑤

⑥换底公式：

要点四：对数函数及其性质

1．对数函数定义

一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域．

2．对数函数性质：

要点五：反函数

1．反函数的概念

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

2．反函数的性质

（1）原函数与反函数的图象关于直线对称．

（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

（3）若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

（4）一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

要点六：幂函数

1．幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．

2．幂函数的性质

（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．  

（2）过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

（3）单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

【典型例题】

类型一：指数、对数运算

例1．化简与计算下列各式

（1）；

（2）；

（3）．

【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．

【答案】（1）；（2）100；（3）．

【解析】

（1）原式=

=1+=；

（2）原式=

       =

       =100

（3） 原式=

．

【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；

举一反三：

【变式一】化简下列各式：

（1）； （2）．

【答案】（1）-27；（2）．

【解析】（1）

                           ；

（2）

                       ．

例2．已知：，求：的值．

【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法．

【答案】2

【解析】

∴ 当时，．

【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算． 解题时，要注意运用下列各式．，;

例3．计算

（1） ； （2）；

（3）．

【答案】（1）；（2）1；（3）3；（4）14．

【解析】（1）原式=；

（2）原式=

       =

       =1-+=1

（3）原式=

=

=2+=3；

【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．

【变式1】=（   ）

A．0           　B．1              C．2              D．4

【答案】C

【解析】=．

【变式2】（1）；（2）．

【答案】（1）2；（2）．

【解析】（1） 原式

           ；

（2） 原式

           ．

类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

4．（2015年山东高考）设函数，若，则b=（   ）

A．1     B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由题意，由得，

或，解得，故选D．

【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值．

举一反三：

【变式1】已知函数若，则实数等于（    ）．

A．           　B．              C． 2           D． 9

【答案】．

【解析】，由，则有．，，选．

例5．（2016 湖南岳阳模拟）若函数y=f（x）的定义域是[2，4]，则的定义域是（    ）

A．    B．[4，16]    C．    D．[2，4]

【思路点拨】令，使t满足y=f（x）的定义域中x的取值范围相同，求出的定义域即可．

【答案】C

【解析】∵，令，

∴，

∵函数y=f（x）的定义域是[2，4]，

∴y=f（t）的定义域也为[2，4]，即2≤t≤4，

∴有，解得：，

∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，

∴的定义域为，

即：．

故选C．

【总结升华】本题只要明确函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，运用整体代换（换元法）即可迎刃而解．

【高清课堂：幂指对综合377495 例4】

例6．函数的图象是（    ）

A．           B．               C．            D．

【答案】B

【解析】先作出的图象，然后作出这个图象关于轴对称的图象，得到的图象，再把的图象右移一个单位，得到的图象，故选B

【高清课堂：幂指对函数综合 377495 例1】

例7． 函数的单调递增区间是（　）

A．（3，+∞）     B．（－∞，3）    C．（4，+∞）     D．（－∞，2）

【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】D

【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D．

类型三：综合问题

例8．已知函数为常数）

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f（x）的单调性．

（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．

【思路点拨】（1）利用真数大于零求解（2）利用定义去证明函数的单调性

【答案】（1）；（2）f（x）为增函数；（3）a＞1．

【解析】（1）由

∵a＞0，x≥0

∴f（x）的定义域是．

（2）若a=2，则

设 ， 则

故f（x）为增函数．

（3）设

   ①

∵f（x）是增函数，

∴f（x1）＞f（x2）

即 ②

联立①、②知a＞1，

∴a∈（1，+∞）．

【总结升华】该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可．

举一反三：

【变式1】（2015北京高考真题）设函数

①若a=1，则f（x）的最小值为___________；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是_________．

【答案】－1；

【解析】①a=1时，函数f（x）在上为增函数，函数值大于1；在为减函数，在为增函数，当时，f（x）取得最小值为－1；

② i）若函数在x＜1时与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2－a＞0，所以0＜a＜2，

函数g（x）=4（x－a）（x－2a）有一个交点，所以2a≥1且a＜1

所以

ii）若函数h（x）＝2x－a与x轴没有交点，

则函数g（x）=4（x－a）（x－2a）与x轴有两个交点．

当a≤0，h（x）与x轴无交点，g（x）在x≥1时与x轴无交点，不满足题意（舍）

当h（1）=2－a≥0时，a≥2，

g（x）与x轴有两个交点为x1=a，x2=2a都满足题意

综上所述，a的取值范围是或a≥2．

故答案为：－1；