知识讲解_幂函数及图象变换_基础练习题

幂函数及图象变换

【学习目标】

1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.

2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。

3．掌握初等函数图象变换的常用方法．

【要点梳理】

要点一、幂函数概念

形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.

要点诠释：

幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.

要点二、幂函数的图象及性质

1.作出下列函数的图象：

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．

要点诠释：

幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

2.作幂函数图象的步骤如下:

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；

若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.

3.幂函数解析式的确定

(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．

(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．

(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．

4.幂函数值大小的比较

(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．

(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．

(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．

要点三、初等函数图象变换

基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．

如：的图象变换，

（1）平移变换

y=f(x)→y=f(x＋a)   图象左（）、右（）平移

y=f(x)→y=f(x)＋b   图象上（）、下（）平移

（2）对称变换

y=f(x) →y=f(－x),   图象关于y轴对称

y=f(x) →y=－f(x) ,   图象关于x轴对称

y=f(x) →y=－f(－x)  图象关于原点对称

y=f(x)→  图象关于直线y=x对称

（3）翻折变换：

        y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分

关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）

       y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象

关于x轴对称

要点诠释：

（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。

【典型例题】

类型一、求函数解析式

例1.已知是幂函数，求、的值．

【答案】

【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．

由题意得解得

即为所求．

【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．

举一反三：

【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．

答案：（4）、（5）是幂函数．

类型二、幂函数的图象

例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（　　　　　）．　

举一反三：

【变式1】（2015秋 江苏海安县期中）幂函数在第一象限的图象如图所示，若，则________．

【答案】

【解析】由幂函数的图象可以看到：此函数是单调递增且是非奇非偶函数，

因此只有满足条件．

故答案为：．

类型三、幂函数的性质

例3.比较下列各组数的大小.

(1)与； (2)与.

【答案】（1）；（2）。

【解析】(1)由于幂函数()单调递减且，∴.

(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)

因此，，，而(x>0)单调递减，且，

∴ .即.

【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.

(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.

举一反三：

【变式1】比较，，的大小.

【答案】

【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.

在上单调递增，且，

.

作出函数与在第一象限内的图象，

易知.

故.

类型四、求参数的范围

例4.（2015秋 黑龙江大庆期末）已知函数（m∈N*）的图象关于y轴对称，且f（3）＞f（5），求满足的a的取值范围．

【思路点拨】根据幂函数在（0，+∞）上是减函数，可以确定m－3＜0，再根据的图象关于y轴对称，即可得到f（x）为偶函数，从而确定m的值，构造函数g（x）=，利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围．

根据幂函数在（0，+∞）上函数值随x增大而减小，得到3m－9＜0，然后根据函数图象关于y轴对称，得到函数为偶函数，确定m的值，然后解不等式即可．

【答案】{a｜a＜－1或}．

【解析】∵函数（m∈N*）在（0，+∞）上递减，

∴，解得－1＜m＜3，

∵m∈N+，

∴m=1，2，

又∵函数的图象关于y轴对称，

∴f（x）为偶函数，

∴是偶数，

又m=1时，为偶数，

m=2时，为奇数，

∴m=1，

令，

∴在（－∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，

∵，

∴a+1＞3－2a＞0，或0＞a+1＞3－2a，或a+1＜0＜3－2a，

解得a＜－1，或，

故a的取值范围为{a｜a＜－1或}．

举一反三：

【变式1】若，求实数a的取值范围.

解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:

(1) (2) (3) (4)

分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).

∴a的取值范围是.

解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，

∴　要使， 即， 解得:.

【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.

类型五、幂函数的应用

例5.（2015秋 湖南长沙期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）是减函数，

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若a＞k，比较与的大小．

【思路点拨】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．

（2）利用指数函数的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）幂函数的图象关于y轴对称，

所以，，解得－1＜k＜3，

因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，

∴k=1，

函数的解析式为：．

（2）由（1）知，a＞1．

①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，；

②当a=e时，lna=1，；

③当a＞e时，lna＞1，．

举一反三：

【变式1】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．

【答案】，奇函数，在上单调递增

【解析】（1）是正偶数，

是正奇数．

函数的定义域为．

（2）是正奇数，

，且定义域关于原点对称．

是上的奇函数．

（3），且是正奇数，

函数在上单调递增．

类型六、基本初等函数图象变换

例6．作出下列函数的图象：

(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx；   (2) y=lg|x|；   (3) y=-1+lgx.

【解析】(1)如图(1)；  (2)如图(2)；  (3)如图(3).

【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可。

一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得。

含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称。

举一反三：

【高清课堂：幂函数及图象变换369074 例4（1）】  

【变式1】作出的图象。

【解析】

先画出的图象，然后 

如下图：

【变式2】作函数的图象。

【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成。

第一步：作的图象甲。

第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙。

第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙。

第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁。